1. 如果两个方程的解相差1,那么称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”。例如,方程$x - 2 = 0是方程x - 1 = 0$的“后移方程”。
(1) 方程$2x + 1 = 0$__
(2) 若关于$x的方程3x + m + n = 0是关于x的方程3x + m = 0$的“后移方程”,求$n$的值；
(3) 当$a ≠ 0$时,如果方程$ax + b = 0是方程ax + c = 0$的“后移方程”,用等式表示$a$,$b$,$c$满足的数量关系：__
(1) 方程$2x + 1 = 0$__
是
__(填“是”或“不是”)方程$2x + 3 = 0$的“后移方程”；(2) 若关于$x的方程3x + m + n = 0是关于x的方程3x + m = 0$的“后移方程”,求$n$的值；
解:方程3x+m+n=0的解为$x=-\frac{m+n}{3},$方程3x+m=0的解为$x=-\frac{m}{3}.$根据题意,得$-\frac{m+n}{3}-(-\frac{m}{3})=1,$解得n=-3.
(3) 当$a ≠ 0$时,如果方程$ax + b = 0是方程ax + c = 0$的“后移方程”,用等式表示$a$,$b$,$c$满足的数量关系：__
a+b-c=0
__。答案：1.(1)是 点拨:方程2x+1=0的解是$x=-\frac{1}{2},$方程2x+3=0的解是$x=-\frac{3}{2}.$因为$(-\frac{1}{2})-(-\frac{3}{2})=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1,$所以方程2x+1=0是方程2x+3=0的"后移方程".
(2)解:方程3x+m+n=0的解为$x=-\frac{m+n}{3},$方程3x+m=0的解为$x=-\frac{m}{3}.$根据题意,得$-\frac{m+n}{3}-(-\frac{m}{3})=1,$解得n=-3.
(3)a+b-c=0 点拨:方程ax+b=0的解为$x=-\frac{b}{a},$方程ax+c=0的解为$x=-\frac{c}{a}.$根据题意,得$-\frac{b}{a}-(-\frac{c}{a})=1,$即$\frac{c-b}{a}=1,$整理得a+b-c=0.
(2)解:方程3x+m+n=0的解为$x=-\frac{m+n}{3},$方程3x+m=0的解为$x=-\frac{m}{3}.$根据题意,得$-\frac{m+n}{3}-(-\frac{m}{3})=1,$解得n=-3.
(3)a+b-c=0 点拨:方程ax+b=0的解为$x=-\frac{b}{a},$方程ax+c=0的解为$x=-\frac{c}{a}.$根据题意,得$-\frac{b}{a}-(-\frac{c}{a})=1,$即$\frac{c-b}{a}=1,$整理得a+b-c=0.
2. 如果两个一元一次方程的解之和为1,我们就称这两个方程互为“美好方程”。例如,方程$4x = 8和方程x + 1 = 0$互为“美好方程”。
(1) 请判断方程$4x - (x + 5) = 1与方程-2y - y = 3$是否互为“美好方程”；
(2) 若关于$x的方程3x + m = 0与方程4x - 2 = x + 10$互为“美好方程”,求$m$的值；
(3) 若关于$x的方程\frac{1}{2025}x + 3 = 2x + k和\frac{1}{2025}x + 1 = 0$互为“美好方程”,求关于$y的方程\frac{1}{2025}(y + 1) + 3 = 2y + k + 2$的解。
(1) 请判断方程$4x - (x + 5) = 1与方程-2y - y = 3$是否互为“美好方程”；
(2) 若关于$x的方程3x + m = 0与方程4x - 2 = x + 10$互为“美好方程”,求$m$的值；
(3) 若关于$x的方程\frac{1}{2025}x + 3 = 2x + k和\frac{1}{2025}x + 1 = 0$互为“美好方程”,求关于$y的方程\frac{1}{2025}(y + 1) + 3 = 2y + k + 2$的解。
答案：2.(1)方程4x-(x+5)=1与方程-2y-y=3互为"美好方程".理由如下:解方程4x-(x+5)=1得x=2,解方程-2y-y=3得y=-1.因为x+y=2-1=1,所以方程4x-(x+5)=1与方程-2y-y=3互为"美好方程".
(2)关于x的方程3x+m=0的解为$x=-\frac{m}{3},$方程4x-2=x+10的解为x=4.因为关于x的方程3x+m=0与方程4x-2=x+10互为"美好方程",所以$-\frac{m}{3}+4=1,$解得m=9.
(3)方程$\frac{1}{2025}x+1=0$的解为x=-2025.因为关于x的方程$\frac{1}{2025}x+1=0$与$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$互为"美好方程",所以关于x的方程$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$的解为x=2026.因为关于y的方程$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2y+k+2$就是$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2(y+1)+k,$所以y+1=x=2026,解得y=2025.所以关于y的方程$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2y+k+2$的解为y=2025.
(2)关于x的方程3x+m=0的解为$x=-\frac{m}{3},$方程4x-2=x+10的解为x=4.因为关于x的方程3x+m=0与方程4x-2=x+10互为"美好方程",所以$-\frac{m}{3}+4=1,$解得m=9.
(3)方程$\frac{1}{2025}x+1=0$的解为x=-2025.因为关于x的方程$\frac{1}{2025}x+1=0$与$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$互为"美好方程",所以关于x的方程$\frac{1}{2025}x+3=2x+k$的解为x=2026.因为关于y的方程$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2y+k+2$就是$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2(y+1)+k,$所以y+1=x=2026,解得y=2025.所以关于y的方程$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2y+k+2$的解为y=2025.