1. 计算下面各题。
(1)$(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5})×(\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5}+\frac {1}{6})-(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5}+\frac {1}{6})×(\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5})$
(2)$(1+\frac {1}{2019}+\frac {1}{2020}+\frac {1}{2021})×(\frac {1}{2019}+\frac {1}{2020}+\frac {1}{2021}+\frac {1}{2022})-(1+\frac {1}{2019}+\frac {1}{2020}+\frac {1}{2021}+\frac {1}{2022})×(\frac {1}{2019}+\frac {1}{2020}+\frac {1}{2021})$
(1)$(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5})×(\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5}+\frac {1}{6})-(\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5}+\frac {1}{6})×(\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+\frac {1}{5})$
(2)$(1+\frac {1}{2019}+\frac {1}{2020}+\frac {1}{2021})×(\frac {1}{2019}+\frac {1}{2020}+\frac {1}{2021}+\frac {1}{2022})-(1+\frac {1}{2019}+\frac {1}{2020}+\frac {1}{2021}+\frac {1}{2022})×(\frac {1}{2019}+\frac {1}{2020}+\frac {1}{2021})$
答案：1. (1)设$A=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$，$B=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$。
$(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})×(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})×(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})$
$=(\frac{1}{2}+A)×B-(\frac{1}{2}+B)×A$
$=\frac{1}{2}B+AB-\frac{1}{2}A-AB$
$=\frac{1}{2}(B - A)$
$=\frac{1}{2}[\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})]$
$=\frac{1}{2}×\frac{1}{6}$
$=\frac{1}{12}$
[提示]观察题目中各式的特点，利用整体替换的方法，设$A=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$，$B=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$，据此方便计算。
(2)设$A=\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}$，$B=\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}+\frac{1}{2022}$。
$(1+\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021})×(\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}+\frac{1}{2022})-(1+\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}+\frac{1}{2022})×(\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021})$
$=(1+A)×B-(1+B)×A$
$=B+AB - A - AB$
$=B - A$
$=\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}+\frac{1}{2022}-(\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021})$
$=\frac{1}{2022}$
[提示]观察题目中各式的特点，利用整体替换的方法，设$A=\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}$，$B=\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}+\frac{1}{2022}$，据此方便计算。
$(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})×(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})×(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})$
$=(\frac{1}{2}+A)×B-(\frac{1}{2}+B)×A$
$=\frac{1}{2}B+AB-\frac{1}{2}A-AB$
$=\frac{1}{2}(B - A)$
$=\frac{1}{2}[\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})]$
$=\frac{1}{2}×\frac{1}{6}$
$=\frac{1}{12}$
[提示]观察题目中各式的特点，利用整体替换的方法，设$A=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$，$B=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$，据此方便计算。
(2)设$A=\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}$，$B=\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}+\frac{1}{2022}$。
$(1+\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021})×(\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}+\frac{1}{2022})-(1+\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}+\frac{1}{2022})×(\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021})$
$=(1+A)×B-(1+B)×A$
$=B+AB - A - AB$
$=B - A$
$=\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}+\frac{1}{2022}-(\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021})$
$=\frac{1}{2022}$
[提示]观察题目中各式的特点，利用整体替换的方法，设$A=\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}$，$B=\frac{1}{2019}+\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}+\frac{1}{2022}$，据此方便计算。
例2红星小学六年级有3个班,六(1)班、六(2)班共有学生75人,六(2)班、六(3)班共有学生81人。已知六(2)班学生占全年级的$\frac {3}{10}$,则该校六年级共有学生多少人?
答案：思路分析
由“六(2)班学生占全年级的$\frac {3}{10}$”可知,是把全年级学生人数看作单位“1”;用75人加上81人,就得到全年级人数与六(2)班人数的和,而全年级的人数是单位“1”,六(2)班人数的分率是全年级的$\frac {3}{10},(1+\frac {3}{10})$就正好与人数的和相对应,从而可以求出全年级的人数。
解答:$(75+81)÷(1+\frac {3}{10})= 120$(人)
答:该校六年级共有学生120人。
归纳点拨
已知比一个数多几分之几的数是多少,求这个数,解答关键是找单位“1”(是未知的)。
由“六(2)班学生占全年级的$\frac {3}{10}$”可知,是把全年级学生人数看作单位“1”;用75人加上81人,就得到全年级人数与六(2)班人数的和,而全年级的人数是单位“1”,六(2)班人数的分率是全年级的$\frac {3}{10},(1+\frac {3}{10})$就正好与人数的和相对应,从而可以求出全年级的人数。
解答:$(75+81)÷(1+\frac {3}{10})= 120$(人)
答:该校六年级共有学生120人。
归纳点拨
已知比一个数多几分之几的数是多少,求这个数,解答关键是找单位“1”(是未知的)。
2. 甲数占乙、丙两个数和的$\frac {2}{7}$,丙数占甲、乙两个数和的$\frac {4}{5}$。已知乙数是120,则甲、乙、丙三个数的和是多少?
答案：$120÷(1-\frac{2}{7+2}-\frac{4}{5+4})=360$
[提示]甲数占甲、乙、丙三个数和的$\frac{2}{7+2}=\frac{2}{9}$，丙数占甲、乙、丙三个数和的$\frac{4}{5+4}=\frac{4}{9}$，从而可以求出乙数占甲、乙、丙三个数和的$1-\frac{2}{9}-\frac{4}{9}=\frac{1}{3}$。
[提示]甲数占甲、乙、丙三个数和的$\frac{2}{7+2}=\frac{2}{9}$，丙数占甲、乙、丙三个数和的$\frac{4}{5+4}=\frac{4}{9}$，从而可以求出乙数占甲、乙、丙三个数和的$1-\frac{2}{9}-\frac{4}{9}=\frac{1}{3}$。
3. 甲、乙、丙三人共同加工一批零件,甲加工的是乙、丙所加工总数的$\frac {1}{4}$,乙加工的是甲、丙所加工总数的$\frac {1}{3}$,丙加工了220个。这批零件一共有多少个?
答案：$220÷(1-\frac{1}{1+4}-\frac{1}{1+3})=400$(个)
[提示]甲加工的零件个数是总数的$\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$，乙加工的零件个数是总数的$\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$，从而可以求出丙加工的零件个数是总数的$1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}=\frac{11}{20}$。
[提示]甲加工的零件个数是总数的$\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$，乙加工的零件个数是总数的$\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$，从而可以求出丙加工的零件个数是总数的$1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}=\frac{11}{20}$。