例1加工一批零件,甲、乙两人共同加工需要12天完成。如果让甲先加工8天,剩下的零件由乙单独加工,那么还需要14天。乙单独加工这批零件需要多少天完成?
思路分析
根据“甲、乙两人共同加工需要12天完成”可知,甲、乙两人每天共加工这批零件的$\frac {1}{12}$。我们可以把条件“如果让甲先加工8天,剩下的零件由乙单独加工,那么还需要14天”变换成“甲、乙共同加工8天,乙再单独加工(14-8)天完成”,这样可以求出甲、乙共同加工8天后,还剩下这批零件的$1-\frac {1}{12}×8= \frac {1}{3}$;然后求出乙每天加工这批零件的$\frac {1}{3}÷(14-8)= \frac {1}{18}$;最后求出乙单独加工这批零件需要的天数。
解答:$1÷[(1-\frac {1}{12}×8)÷(14-8)]= 18$(天)
答:乙单独加工这批零件需要18天完成。
归纳点拨
通过变换条件的表达形式,将题目中的条件进行重组,使题目中的数量关系变得简单,从而顺利地解题。
思路分析
根据“甲、乙两人共同加工需要12天完成”可知,甲、乙两人每天共加工这批零件的$\frac {1}{12}$。我们可以把条件“如果让甲先加工8天,剩下的零件由乙单独加工,那么还需要14天”变换成“甲、乙共同加工8天,乙再单独加工(14-8)天完成”,这样可以求出甲、乙共同加工8天后,还剩下这批零件的$1-\frac {1}{12}×8= \frac {1}{3}$;然后求出乙每天加工这批零件的$\frac {1}{3}÷(14-8)= \frac {1}{18}$;最后求出乙单独加工这批零件需要的天数。
解答:$1÷[(1-\frac {1}{12}×8)÷(14-8)]= 18$(天)
答:乙单独加工这批零件需要18天完成。
归纳点拨
通过变换条件的表达形式,将题目中的条件进行重组,使题目中的数量关系变得简单,从而顺利地解题。
答案：甲、乙两人每天共加工这批零件的$\frac{1}{12}$。
甲先加工8天，乙再单独加工14天，可看作甲、乙共同加工8天，乙再单独加工$14 - 8 = 6$天。
甲、乙共同加工8天完成的工作量为：$\frac{1}{12}×8 = \frac{2}{3}$
剩余工作量为：$1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
乙6天完成$\frac{1}{3}$，则乙每天加工：$\frac{1}{3}÷6 = \frac{1}{18}$
乙单独加工需要的天数：$1÷\frac{1}{18} = 18$（天）
答：乙单独加工这批零件需要18天完成。
甲先加工8天，乙再单独加工14天，可看作甲、乙共同加工8天，乙再单独加工$14 - 8 = 6$天。
甲、乙共同加工8天完成的工作量为：$\frac{1}{12}×8 = \frac{2}{3}$
剩余工作量为：$1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
乙6天完成$\frac{1}{3}$，则乙每天加工：$\frac{1}{3}÷6 = \frac{1}{18}$
乙单独加工需要的天数：$1÷\frac{1}{18} = 18$（天）
答：乙单独加工这批零件需要18天完成。
1. 加工一批零件,甲车间单独加工要10天完成,乙车间单独加工要15天完成。甲、乙两个车间共同加工3天后,剩下的由甲车间单独加工,甲车间还要几天才能完成?
答案：$[1-(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})×3]÷\frac{1}{10}=5$(天)
[提示]解答本题要掌握工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系，关键是把工作量看作单位“1”。
[提示]解答本题要掌握工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系，关键是把工作量看作单位“1”。
2. 修一条公路,甲、乙两队合修36天完成。如果甲队单独修20天后,乙队加入合修,两队合修17天后,甲队因事离去,由乙队单独继续修了16天才完成。这条公路若由甲队单独修,则需要多少天?
答案：$[1-\frac{1}{36}×(17+16)]÷(20 - 16)=\frac{1}{48}$
$1÷\frac{1}{48}=48$(天)
[提示]将已知条件变换为两队合修$17 + 16 = 33$ (天)后，甲队还要修$(20 - 16)$天才能完成，这样甲、乙两队一共修了全长的$\frac{1}{36}×(17+16)=\frac{11}{12}$，剩下全长的$(1-\frac{11}{12})$由甲队$(20 - 16)$天完成，甲队每天修全长的$(1-\frac{11}{12})÷(20 - 16)=\frac{1}{48}$，因此甲队单独修需要$1÷\frac{1}{48}=48$ (天)才能完成。
$1÷\frac{1}{48}=48$(天)
[提示]将已知条件变换为两队合修$17 + 16 = 33$ (天)后，甲队还要修$(20 - 16)$天才能完成，这样甲、乙两队一共修了全长的$\frac{1}{36}×(17+16)=\frac{11}{12}$，剩下全长的$(1-\frac{11}{12})$由甲队$(20 - 16)$天完成，甲队每天修全长的$(1-\frac{11}{12})÷(20 - 16)=\frac{1}{48}$，因此甲队单独修需要$1÷\frac{1}{48}=48$ (天)才能完成。
例2六(1)班喜欢羽毛球的男生和喜欢羽毛球的女生共21人,去掉$\frac {1}{3}$的男生后,剩下的男生比女生少1人。原来喜欢羽毛球的男生和喜欢羽毛球的女生各有多少人?
思路分析
假设喜欢羽毛球的女生减少1人,就和剩余的喜欢羽毛球的男生一样多,即此时喜欢羽毛球的女生的人数是喜欢羽毛球的男生人数的$1-\frac {1}{3}= \frac {2}{3}$,则总人数$-1= 喜欢羽毛球的男生人数+\frac {2}{3}×$喜欢羽毛球的男生人数,利用解“和倍问题”的方法就可以解决问题。
解答:男生:$(21-1)÷(1+\frac {2}{3})= 12$(人)
女生:$21-12= 9$(人)
答:原来喜欢羽毛球的男生有12人,喜欢羽毛球的女生有9人。
归纳点拨
用假设思想解题时常用的方法如下:
(1)根据题目条件假设,使原来不易产生对应关系的量和分率产生对应关系;(2)把不同的分率假设为相同的分率,再分析产生差异的原因;(3)将两个量之间变化了的倍分关系假设为不变来解答;(4)把某些未知量假设为已知量,以建立数量之间的联系。
思路分析
假设喜欢羽毛球的女生减少1人,就和剩余的喜欢羽毛球的男生一样多,即此时喜欢羽毛球的女生的人数是喜欢羽毛球的男生人数的$1-\frac {1}{3}= \frac {2}{3}$,则总人数$-1= 喜欢羽毛球的男生人数+\frac {2}{3}×$喜欢羽毛球的男生人数,利用解“和倍问题”的方法就可以解决问题。
解答:男生:$(21-1)÷(1+\frac {2}{3})= 12$(人)
女生:$21-12= 9$(人)
答:原来喜欢羽毛球的男生有12人,喜欢羽毛球的女生有9人。
归纳点拨
用假设思想解题时常用的方法如下:
(1)根据题目条件假设,使原来不易产生对应关系的量和分率产生对应关系;(2)把不同的分率假设为相同的分率,再分析产生差异的原因;(3)将两个量之间变化了的倍分关系假设为不变来解答;(4)把某些未知量假设为已知量,以建立数量之间的联系。
答案：解析：本题考查的是分数四则混合运算的应用——和倍问题。
设喜欢羽毛球的男生人数为 $x$ 人，女生人数为 $y$ 人。
根据题目描述，可以建立以下方程：
$x + y = 21$ （男生和女生总人数为21人）
去掉 $\frac{1}{3}$ 的男生后，剩下的男生人数为 $\frac{2}{3}x$，并且这个数比女生少1人，即：
$\frac{2}{3}x = y - 1$。
接下来，解这个方程组。
将第二个方程代入第一个方程中，得：
$x + (\frac{2}{3}x + 1) = 21$，
化简得：
$\frac{5}{3}x + 1 = 21$，
进一步解得：
$x = 12$，
将 $x = 12$ 代入第一个方程 $x + y = 21$，解得：
$y = 9$，
答：原来喜欢羽毛球的男生有 12 人，喜欢羽毛球的女生有 9 人。
设喜欢羽毛球的男生人数为 $x$ 人，女生人数为 $y$ 人。
根据题目描述，可以建立以下方程：
$x + y = 21$ （男生和女生总人数为21人）
去掉 $\frac{1}{3}$ 的男生后，剩下的男生人数为 $\frac{2}{3}x$，并且这个数比女生少1人，即：
$\frac{2}{3}x = y - 1$。
接下来，解这个方程组。
将第二个方程代入第一个方程中，得：
$x + (\frac{2}{3}x + 1) = 21$，
化简得：
$\frac{5}{3}x + 1 = 21$，
进一步解得：
$x = 12$，
将 $x = 12$ 代入第一个方程 $x + y = 21$，解得：
$y = 9$，
答：原来喜欢羽毛球的男生有 12 人，喜欢羽毛球的女生有 9 人。