例(教材P106)学校田径队女生人数原来占$\frac{1}{3}$,后来有6名女生加入,这样女生人数就占田径队总人数的$\frac{4}{9}$。现在田径队有女生多少人?
思路分析
题中的两个分数的单位“1”指的都是田径队的总人数,但是这两个单位“1”代表的具体人数是不相同的,因为中途加入了女生,所以田径队前后的总人数发生了变化。解答这道题的关键是寻找题中没有发生变化的量,即男生人数。我们可以把前、后两次的女生人数与田径队总人数的比率关系转化为女生人数与男生人数的比率关系。原来的女生人数是男生人数的$1÷(3 - 1)= \frac{1}{2}$,现在的女生人数是男生人数的$4÷(9 - 4)= \frac{4}{5}$,再根据前、后两次女生人数相差6人来列方程解答。
解答：$1÷(3 - 1)= \frac{1}{2}$ $4÷(9 - 4)= \frac{4}{5}$
设田径队有男生$x$人。
$\frac{4}{5}x-\frac{1}{2}x= 6$
$\frac{3}{10}x= 6$
$x= 20$
$20×\frac{4}{5}= 16$(人)
答：现在田径队有女生16人。
归纳点拨
解决单位“1”的量不一样的问题,我们要想办法转化成单位“1”统一的情况,也就是要抓住题中的不变量解决问题。
思路分析
题中的两个分数的单位“1”指的都是田径队的总人数,但是这两个单位“1”代表的具体人数是不相同的,因为中途加入了女生,所以田径队前后的总人数发生了变化。解答这道题的关键是寻找题中没有发生变化的量,即男生人数。我们可以把前、后两次的女生人数与田径队总人数的比率关系转化为女生人数与男生人数的比率关系。原来的女生人数是男生人数的$1÷(3 - 1)= \frac{1}{2}$,现在的女生人数是男生人数的$4÷(9 - 4)= \frac{4}{5}$,再根据前、后两次女生人数相差6人来列方程解答。
解答：$1÷(3 - 1)= \frac{1}{2}$ $4÷(9 - 4)= \frac{4}{5}$
设田径队有男生$x$人。
$\frac{4}{5}x-\frac{1}{2}x= 6$
$\frac{3}{10}x= 6$
$x= 20$
$20×\frac{4}{5}= 16$(人)
答：现在田径队有女生16人。
归纳点拨
解决单位“1”的量不一样的问题,我们要想办法转化成单位“1”统一的情况,也就是要抓住题中的不变量解决问题。
答案：解析
本题主要考查单位“1”的转化以及利用方程解决实际问题。解题的关键在于找到题目中的不变量，即男生人数，通过将女生人数与田径队总人数的比率关系转化为女生人数与男生人数的比率关系，再根据女生人数的变化列出方程求解。
解答
设田径队有男生$x$人。
原来女生人数是男生人数的$1÷(3 - 1)=\frac{1}{2}$，现在女生人数是男生人数的$4÷(9 - 4)=\frac{4}{5}$。
因为后来加入$6$名女生，所以可列方程：
$\frac{4}{5}x-\frac{1}{2}x = 6$
通分可得：$\frac{8}{10}x-\frac{5}{10}x = 6$
即$\frac{3}{10}x = 6$
两边同时除以$\frac{3}{10}$，$x = 6÷\frac{3}{10}=6×\frac{10}{3}=20$
现在女生人数为$20×\frac{4}{5}=16$（人）
答：现在田径队有女生$16$人。
本题主要考查单位“1”的转化以及利用方程解决实际问题。解题的关键在于找到题目中的不变量，即男生人数，通过将女生人数与田径队总人数的比率关系转化为女生人数与男生人数的比率关系，再根据女生人数的变化列出方程求解。
解答
设田径队有男生$x$人。
原来女生人数是男生人数的$1÷(3 - 1)=\frac{1}{2}$，现在女生人数是男生人数的$4÷(9 - 4)=\frac{4}{5}$。
因为后来加入$6$名女生，所以可列方程：
$\frac{4}{5}x-\frac{1}{2}x = 6$
通分可得：$\frac{8}{10}x-\frac{5}{10}x = 6$
即$\frac{3}{10}x = 6$
两边同时除以$\frac{3}{10}$，$x = 6÷\frac{3}{10}=6×\frac{10}{3}=20$
现在女生人数为$20×\frac{4}{5}=16$（人）
答：现在田径队有女生$16$人。
1. 袋子里有若干个球,其中红球占$\frac{2}{5}$,后来又往袋子里放了8个红球,这时红球占总数的$\frac{4}{9}$。原来袋子里有多少个红球?
答案：$8÷\left(\frac{4}{9-4}-\frac{2}{5-2}\right)=60$(个)
$60×\frac{2}{5-2}=40$(个)
[提示]袋子里其他颜色的球的个数不变,把其他颜色的球的个数看作单位“1”。原来袋子里红球的个数占其他颜色的球的个数的$\frac{2}{5-2}$,往袋子里放了8个红球后,现在袋子里红球的个数占其他颜色的球的个数的$\frac{4}{9-4}$,所以8个红球占其他颜色的球的个数的$\left(\frac{4}{9-4}-\frac{2}{5-2}\right)$。先求出其他颜色的球的个数,再求出原来袋子里红球的个数。
$60×\frac{2}{5-2}=40$(个)
[提示]袋子里其他颜色的球的个数不变,把其他颜色的球的个数看作单位“1”。原来袋子里红球的个数占其他颜色的球的个数的$\frac{2}{5-2}$,往袋子里放了8个红球后,现在袋子里红球的个数占其他颜色的球的个数的$\frac{4}{9-4}$,所以8个红球占其他颜色的球的个数的$\left(\frac{4}{9-4}-\frac{2}{5-2}\right)$。先求出其他颜色的球的个数,再求出原来袋子里红球的个数。
2. 一个盒子里有黑、白两种棋子,其中白棋子的枚数占总数的$\frac{3}{5}$,如果往盒子里加入30枚白棋子,那么现在白棋子的枚数占总数的$\frac{3}{4}$。这个盒子里原来有多少枚棋子?
答案：$30÷\left(\frac{3}{4-3}-\frac{3}{5-3}\right)=20$(枚)
$20÷\left(1-\frac{3}{5}\right)=50$(枚)
[提示]白棋子的枚数及两种棋子的总枚数都增加了,但黑棋子的枚数不变,抓住这个不变量解题。把黑棋子的枚数看作单位“1”,最初白棋子的数量是黑棋子的$\frac{3}{5-3}$;增加30枚白棋子后,白棋子的枚数是黑棋子的$\frac{3}{4-3}$,则30枚白棋子占黑棋子枚数的$\left(\frac{3}{4-3}-\frac{3}{5-3}\right)$,由此求出黑棋子的数量。
$20÷\left(1-\frac{3}{5}\right)=50$(枚)
[提示]白棋子的枚数及两种棋子的总枚数都增加了,但黑棋子的枚数不变,抓住这个不变量解题。把黑棋子的枚数看作单位“1”,最初白棋子的数量是黑棋子的$\frac{3}{5-3}$;增加30枚白棋子后,白棋子的枚数是黑棋子的$\frac{3}{4-3}$,则30枚白棋子占黑棋子枚数的$\left(\frac{3}{4-3}-\frac{3}{5-3}\right)$,由此求出黑棋子的数量。
3. 希望小学六(1)班男生人数是全班学生总数的60%,新学期又转来12名女生后,班里男生人数占全班学生总数的$\frac{3}{7}$。希望小学六(1)班有多少名男生?
答案：设希望小学六(1)班原有x名学生。
$60\%x=(x+12)×\frac{3}{7}$ $x=30$
$30×60\%=18$(名)
[提示]设希望小学六(1)班原有x名学生,则现在有$(x+12)$名学生,则男生有$60\%x$名或$\frac{3}{7}(x+12)$名,根据男生人数不变列方程解答。
$60\%x=(x+12)×\frac{3}{7}$ $x=30$
$30×60\%=18$(名)
[提示]设希望小学六(1)班原有x名学生,则现在有$(x+12)$名学生,则男生有$60\%x$名或$\frac{3}{7}(x+12)$名,根据男生人数不变列方程解答。