4. 超市开展促销活动,原来甲、乙两种商品的价格之比是$5:2$,如果把它们都降价30元,那么现在甲、乙的价格之比是$3:1$。这两种商品原来的价格各是多少元?
答案：$30÷\left(\frac{5}{5-2}-\frac{3}{3-1}\right)=180$(元)
甲商品:$180×\frac{5}{5-2}=300$(元)
乙商品:$180×\frac{2}{5-2}=120$(元)
[提示]甲、乙两种商品都降价30元出售,则它们的价格差不变。原来甲商品的价格占两种商品价格差的$\frac{5}{5-2}$,现在甲商品的价格占两种商品价格差的$\frac{3}{3-1}$,则降价的30元占两种商品价格差的$\left(\frac{5}{5-2}-\frac{3}{3-1}\right)$,由此可求出两种商品的价格差。原来甲商品的价格占两种商品价格差的$\frac{5}{5-2}$,原来乙商品的价格占两种商品价格差的$\frac{2}{5-2}$,由两种商品的价格差,可分别求出甲、乙两种商品原来的价格。
甲商品:$180×\frac{5}{5-2}=300$(元)
乙商品:$180×\frac{2}{5-2}=120$(元)
[提示]甲、乙两种商品都降价30元出售,则它们的价格差不变。原来甲商品的价格占两种商品价格差的$\frac{5}{5-2}$,现在甲商品的价格占两种商品价格差的$\frac{3}{3-1}$,则降价的30元占两种商品价格差的$\left(\frac{5}{5-2}-\frac{3}{3-1}\right)$,由此可求出两种商品的价格差。原来甲商品的价格占两种商品价格差的$\frac{5}{5-2}$,原来乙商品的价格占两种商品价格差的$\frac{2}{5-2}$,由两种商品的价格差,可分别求出甲、乙两种商品原来的价格。
5. 箱子里有若干个苹果,其中红苹果占$\frac{5}{12}$,后来又往箱子里放了6个红苹果,这时红苹果占总数的$\frac{1}{2}$。原来箱子里有多少个红苹果?
答案：$6÷\left(\frac{1}{2-1}-\frac{5}{12-5}\right)=21$(个)
$21×\frac{5}{12-5}=15$(个)
【提示】红苹果的个数和苹果总个数增加了,但其他苹果的个数不变,抓住这个不变量解题,把其他苹果个数看作单位“1”,最初红苹果的个数是其他苹果个数的$\frac{5}{12-5}$,增加6个红苹果后,红苹果的个数是其他苹果个数的$\frac{1}{2-1}$,则6个红苹果是其他苹果个数的$\left(\frac{1}{2-1}-\frac{5}{12-5}\right)$,由此可求出其他苹果的个数,进而可求出原来红苹果的个数。
$21×\frac{5}{12-5}=15$(个)
【提示】红苹果的个数和苹果总个数增加了,但其他苹果的个数不变,抓住这个不变量解题,把其他苹果个数看作单位“1”,最初红苹果的个数是其他苹果个数的$\frac{5}{12-5}$,增加6个红苹果后,红苹果的个数是其他苹果个数的$\frac{1}{2-1}$,则6个红苹果是其他苹果个数的$\left(\frac{1}{2-1}-\frac{5}{12-5}\right)$,由此可求出其他苹果的个数,进而可求出原来红苹果的个数。
例1 甲、乙两堆煤共72吨,甲堆煤运走$\frac{4}{5}$,乙堆煤运走75%,两堆剩下的煤正好相等。原来两堆煤各有多少吨?
思路分析
在分数应用题中,已知一种数量的几分之几等于另一种数量的几分之几,可以求出这两种数量的比。甲堆煤运走$\frac{4}{5}$,还剩下$\frac{1}{5}$；乙堆煤运走75%,还剩下25%。因为剩下的相等,所以甲堆煤的$\frac{1}{5}$等于乙堆煤的25%,这样就可以得到甲堆：乙堆$=25\%:\frac{1}{5}= 5:4$。再把总吨数72吨按照$5:4$分配。
解答：$1-\frac{4}{5}= \frac{1}{5}$ $1 - 75\% = 25\%$
甲堆：乙堆$=25\%:\frac{1}{5}= 5:4$
甲堆：$72×\frac{5}{5 + 4}= 40$(吨)
乙堆：$72×\frac{4}{5 + 4}= 32$(吨)
答：原来甲堆煤有40吨,乙堆煤有32吨。
归纳点拨
已知两种数量的和,且一种数量的几分之几(或百分之几)等于另一种数量的几分之几(或百分之几),可以先求出这两种数量的比,再把总量按比分配。
思路分析
在分数应用题中,已知一种数量的几分之几等于另一种数量的几分之几,可以求出这两种数量的比。甲堆煤运走$\frac{4}{5}$,还剩下$\frac{1}{5}$；乙堆煤运走75%,还剩下25%。因为剩下的相等,所以甲堆煤的$\frac{1}{5}$等于乙堆煤的25%,这样就可以得到甲堆：乙堆$=25\%:\frac{1}{5}= 5:4$。再把总吨数72吨按照$5:4$分配。
解答：$1-\frac{4}{5}= \frac{1}{5}$ $1 - 75\% = 25\%$
甲堆：乙堆$=25\%:\frac{1}{5}= 5:4$
甲堆：$72×\frac{5}{5 + 4}= 40$(吨)
乙堆：$72×\frac{4}{5 + 4}= 32$(吨)
答：原来甲堆煤有40吨,乙堆煤有32吨。
归纳点拨
已知两种数量的和,且一种数量的几分之几(或百分之几)等于另一种数量的几分之几(或百分之几),可以先求出这两种数量的比,再把总量按比分配。
答案：思路分析
本题可根据已知条件，先分别求出甲、乙两堆煤剩下的占比，再根据剩下的煤相等求出甲、乙两堆煤的数量比，最后按比例分配求出原来两堆煤各自的吨数。
甲堆煤运走$\frac{4}{5}$，则剩下的占比为$1 - \frac{4}{5}=\frac{1}{5}$。
乙堆煤运走$75\%$，则剩下的占比为$1 - 75\% = 25\%$。
因为两堆剩下的煤正好相等，所以甲堆煤的$\frac{1}{5}$等于乙堆煤的$25\%$，由此可得出甲堆煤与乙堆煤的数量比为$25\%:\frac{1}{5}=5:4$。
已知甲、乙两堆煤共$72$吨，按照$5:4$的比例分配，即可求出甲、乙两堆煤各自的吨数。
解答
$1 - \frac{4}{5}=\frac{1}{5}$
$1 - 75\% = 25\%$
甲堆：乙堆$=25\%:\frac{1}{5}=5:4$
甲堆：$72×\frac{5}{5 + 4}= 40$（吨）
乙堆：$72×\frac{4}{5 + 4}= 32$（吨）
答：原来甲堆煤有$40$吨，乙堆煤有$32$吨。
本题可根据已知条件，先分别求出甲、乙两堆煤剩下的占比，再根据剩下的煤相等求出甲、乙两堆煤的数量比，最后按比例分配求出原来两堆煤各自的吨数。
甲堆煤运走$\frac{4}{5}$，则剩下的占比为$1 - \frac{4}{5}=\frac{1}{5}$。
乙堆煤运走$75\%$，则剩下的占比为$1 - 75\% = 25\%$。
因为两堆剩下的煤正好相等，所以甲堆煤的$\frac{1}{5}$等于乙堆煤的$25\%$，由此可得出甲堆煤与乙堆煤的数量比为$25\%:\frac{1}{5}=5:4$。
已知甲、乙两堆煤共$72$吨，按照$5:4$的比例分配，即可求出甲、乙两堆煤各自的吨数。
解答
$1 - \frac{4}{5}=\frac{1}{5}$
$1 - 75\% = 25\%$
甲堆：乙堆$=25\%:\frac{1}{5}=5:4$
甲堆：$72×\frac{5}{5 + 4}= 40$（吨）
乙堆：$72×\frac{4}{5 + 4}= 32$（吨）
答：原来甲堆煤有$40$吨，乙堆煤有$32$吨。
1. 甲、乙两堆煤共260吨,甲堆煤运走$\frac{3}{4}$,乙堆煤运走60%,两堆剩下的煤正好相等。原来两堆煤各有多少吨?
答案：$1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$ $1-60\%=40\%$
甲堆$×\frac{1}{4}=$乙堆$×40\%$
甲堆$:$乙堆$=40\%:\frac{1}{4}=8:5$
甲堆:$260×\frac{8}{8+5}=160$(吨)
乙堆:$260-160=100$(吨)
[提示]甲堆煤运走$\frac{3}{4}$,还剩下$\frac{1}{4}$;乙堆煤运走60%,还剩下40%。两堆剩下的煤正好相等,即甲堆煤的$\frac{1}{4}$和乙堆煤的40%相等,由此求出甲堆煤和乙堆煤的质量比,再把260吨按比分配即可。
甲堆$×\frac{1}{4}=$乙堆$×40\%$
甲堆$:$乙堆$=40\%:\frac{1}{4}=8:5$
甲堆:$260×\frac{8}{8+5}=160$(吨)
乙堆:$260-160=100$(吨)
[提示]甲堆煤运走$\frac{3}{4}$,还剩下$\frac{1}{4}$;乙堆煤运走60%,还剩下40%。两堆剩下的煤正好相等,即甲堆煤的$\frac{1}{4}$和乙堆煤的40%相等,由此求出甲堆煤和乙堆煤的质量比,再把260吨按比分配即可。
2. 某班共有45名学生,这学期有60%的男生和50%的女生参加了航模兴趣小组,剩下的男、女生人数正好相等。这个班有多少名男生?
答案：$1-60\%=40\%$ $1-50\%=50\%$
男生$×40\%=$女生$×50\%$
男生$:$女生$=50\%:40\%=5:4$
男生:$45×\frac{5}{5+4}=25$(名)
[提示]男生有60%参加,还剩40%没参加;女生有50%参加,还剩50%没参加。剩下的男、女生人数相等,即男生的40%和女生的50%相等,由此求出男生和女生的人数比,再把45名学生按比分配即可。
男生$×40\%=$女生$×50\%$
男生$:$女生$=50\%:40\%=5:4$
男生:$45×\frac{5}{5+4}=25$(名)
[提示]男生有60%参加,还剩40%没参加;女生有50%参加,还剩50%没参加。剩下的男、女生人数相等,即男生的40%和女生的50%相等,由此求出男生和女生的人数比,再把45名学生按比分配即可。