9. 给出下列说法：
①延长直线AB到点C；
②延长射线OA到点C；
③延长线段OA到点C；
④经过两点有且只有一条射线；
⑤射线是直线的一半.
其中正确的是______
①延长直线AB到点C；
②延长射线OA到点C；
③延长线段OA到点C；
④经过两点有且只有一条射线；
⑤射线是直线的一半.
其中正确的是______
③
.(填序号)答案：【解析】：
首先，我们逐一分析每个说法的正确性：
①“延长直线$AB$到点$C$”：直线$AB$本身是无限延伸的，因此不能被“延长”到某一点。所以此说法是错误的。
②“延长射线$OA$到点$C$”：射线$OA$从一个点$O$开始并无限延伸，因此它也不能被“延长”到某一点，除非是在射线$OA$的反向方向上截取一段，但这通常不被称为“延长射线”。所以此说法是错误的。
③“延长线段$OA$到点$C$”：线段$OA$有两个端点$O$和$A$，它是可以被延长到某一点$C$的，使得新的线段$OC$（或$AC$，取决于$C$的位置）包含原线段$OA$。所以此说法是正确的。
④“经过两点有且只有一条射线”：这是不正确的。经过两点，我们可以画出无数条射线，只要改变射线的起点和方向即可。但重要的是，经过两点有且仅有一条直线。所以此说法是错误的。
⑤“射线是直线的一半”：这也是不正确的。射线和直线是两种不同的几何图形，射线有一个起点并无限延伸，而直线在两个方向上都无限延伸。因此，不能说射线是直线的一半。
综上所述，只有③是正确的。
【答案】：
③
首先，我们逐一分析每个说法的正确性：
①“延长直线$AB$到点$C$”：直线$AB$本身是无限延伸的，因此不能被“延长”到某一点。所以此说法是错误的。
②“延长射线$OA$到点$C$”：射线$OA$从一个点$O$开始并无限延伸，因此它也不能被“延长”到某一点，除非是在射线$OA$的反向方向上截取一段，但这通常不被称为“延长射线”。所以此说法是错误的。
③“延长线段$OA$到点$C$”：线段$OA$有两个端点$O$和$A$，它是可以被延长到某一点$C$的，使得新的线段$OC$（或$AC$，取决于$C$的位置）包含原线段$OA$。所以此说法是正确的。
④“经过两点有且只有一条射线”：这是不正确的。经过两点，我们可以画出无数条射线，只要改变射线的起点和方向即可。但重要的是，经过两点有且仅有一条直线。所以此说法是错误的。
⑤“射线是直线的一半”：这也是不正确的。射线和直线是两种不同的几何图形，射线有一个起点并无限延伸，而直线在两个方向上都无限延伸。因此，不能说射线是直线的一半。
综上所述，只有③是正确的。
【答案】：
③
10. 往返于A,B两地的列车,中途停靠四个站台,要准备
30
种不同的车票.答案：【解析】：
本题考察的是组合数学和线段计数的知识点。题目描述的是在A、B两地之间有四个中途站台，因此总共有6个站（包括A和B）。需要计算的是这些站点之间所有可能的车票种类数。
我们可以将这个问题视为计算从6个站点中选择2个站点来准备车票的组合数。但是，由于车票有方向性（即从A到B和从B到A是两种不同的车票），所以实际上我们需要计算的是排列数，而不是组合数。
然而，在这个特定问题中，我们可以采用一种更直观的方法来求解，即直接计算每两个站点之间都需要准备哪些车票。
假设有n个站点，那么每两个站点之间都需要准备两种车票（往返各一种）。
因此，总的不同车票种类数就是从n个站点中任选两个站点的排列数，即$A_n^2 = n × (n - 1)$。
在本题中，$n = 6$（包括A、B和四个中途站台），所以不同的车票种类数为$6 × (6 - 1) = 30$。
【答案】：
30
本题考察的是组合数学和线段计数的知识点。题目描述的是在A、B两地之间有四个中途站台，因此总共有6个站（包括A和B）。需要计算的是这些站点之间所有可能的车票种类数。
我们可以将这个问题视为计算从6个站点中选择2个站点来准备车票的组合数。但是，由于车票有方向性（即从A到B和从B到A是两种不同的车票），所以实际上我们需要计算的是排列数，而不是组合数。
然而，在这个特定问题中，我们可以采用一种更直观的方法来求解，即直接计算每两个站点之间都需要准备哪些车票。
假设有n个站点，那么每两个站点之间都需要准备两种车票（往返各一种）。
因此，总的不同车票种类数就是从n个站点中任选两个站点的排列数，即$A_n^2 = n × (n - 1)$。
在本题中，$n = 6$（包括A、B和四个中途站台），所以不同的车票种类数为$6 × (6 - 1) = 30$。
【答案】：
30
11. 如图,点$A_1,A_2,A_3,…$在直线l上.
(1)图①中直线l上有2个点,则图①中有
运用上面发现的规律解决下列问题：
(2)某校七年级共有6个班进行足球比赛,比赛采取单循环制(即每两个班之间都比赛一场),则全部赛完共需
(3)某会议有20人参加,每两人握手一次,共握手
(1)图①中直线l上有2个点,则图①中有
1
条线段；图②中直线l上有3个点,则图②中有3
条线段；…；若直线l上有n个点,则有$\frac{n(n-1)}{2}$
条线段；运用上面发现的规律解决下列问题：
(2)某校七年级共有6个班进行足球比赛,比赛采取单循环制(即每两个班之间都比赛一场),则全部赛完共需
15
场比赛；(3)某会议有20人参加,每两人握手一次,共握手
190
次.答案：【解析】：
本题主要考查了直线、射线、线段的概念以及组合数学的应用。
（1）对于图①，直线$l$上有2个点$A_1$和$A_2$，可以形成的线段有$A_1A_2$，共1条。
对于图②，直线$l$上有3个点$A_1$，$A_2$和$A_3$，可以形成的线段有$A_1A_2$，$A_1A_3$，$A_2A_3$，共3条。
通过观察，可以发现，当直线$l$上有$n$个点时，可以形成的线段数量为从$n$个点中任选两个点的组合数，即$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$。
（2）某校七年级共有6个班进行足球比赛，每两个班之间都比赛一场。这相当于从6个班中任选两个班进行比赛，即$C_6^2=\frac{6×(6-1)}{2}=15$（场）。
所以，全部赛完共需15场比赛。
（3）某会议有20人参加，每两人握手一次。这相当于从20人中任选两人进行握手，即$C_{20}^2=\frac{20×(20-1)}{2}=190$（次）。
所以，共握手190次。
【答案】：
(1)1；3；$\frac{n(n-1)}{2}$
(2)15
(3)190
本题主要考查了直线、射线、线段的概念以及组合数学的应用。
（1）对于图①，直线$l$上有2个点$A_1$和$A_2$，可以形成的线段有$A_1A_2$，共1条。
对于图②，直线$l$上有3个点$A_1$，$A_2$和$A_3$，可以形成的线段有$A_1A_2$，$A_1A_3$，$A_2A_3$，共3条。
通过观察，可以发现，当直线$l$上有$n$个点时，可以形成的线段数量为从$n$个点中任选两个点的组合数，即$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$。
（2）某校七年级共有6个班进行足球比赛，每两个班之间都比赛一场。这相当于从6个班中任选两个班进行比赛，即$C_6^2=\frac{6×(6-1)}{2}=15$（场）。
所以，全部赛完共需15场比赛。
（3）某会议有20人参加，每两人握手一次。这相当于从20人中任选两人进行握手，即$C_{20}^2=\frac{20×(20-1)}{2}=190$（次）。
所以，共握手190次。
【答案】：
(1)1；3；$\frac{n(n-1)}{2}$
(2)15
(3)190
12. (2025·江苏无锡期末)已知平面内2个点可以确定1条直线,3个点最多可以确定3条直线.若平面内n个点最多可以确定15条直线,则n的值为(
A.5
B.6
C.7
D.8
B
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案：【解析】：
这个问题主要考察的是直线与点的关系，特别是当给定平面内点的数量时，这些点最多能确定多少条直线。
对于平面内的n个点，任意两点之间都可以确定一条直线。
因此，问题转化为从n个点中选取2个点的组合数，即C(n, 2)。
C(n, 2)的公式为$\frac{n(n - 1)}{2}$。
题目中给出，当平面内n个点最多可以确定15条直线时，需要找到满足这个条件的n值。
因此，需要解方程：
$\frac{n(n - 1)}{2} = 15$。
将方程两边同时乘以2，得到：
$n(n - 1) = 30$。
展开方程，得到：
$n^2 - n - 30 = 0$。
因式分解该方程，得到：
$(n - 6)(n + 5) = 0$。
解得$n = 6$或$n = -5$。
由于点的数量不能为负，所以$n = -5$不符合实际情况，舍去。
因此，当平面内n个点最多可以确定15条直线时，n的值为6。
【答案】：B
这个问题主要考察的是直线与点的关系，特别是当给定平面内点的数量时，这些点最多能确定多少条直线。
对于平面内的n个点，任意两点之间都可以确定一条直线。
因此，问题转化为从n个点中选取2个点的组合数，即C(n, 2)。
C(n, 2)的公式为$\frac{n(n - 1)}{2}$。
题目中给出，当平面内n个点最多可以确定15条直线时，需要找到满足这个条件的n值。
因此，需要解方程：
$\frac{n(n - 1)}{2} = 15$。
将方程两边同时乘以2，得到：
$n(n - 1) = 30$。
展开方程，得到：
$n^2 - n - 30 = 0$。
因式分解该方程，得到：
$(n - 6)(n + 5) = 0$。
解得$n = 6$或$n = -5$。
由于点的数量不能为负，所以$n = -5$不符合实际情况，舍去。
因此，当平面内n个点最多可以确定15条直线时，n的值为6。
【答案】：B
13. 如图,以O为端点画六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,再从射线OA上的某点开始按逆时针方向依次在这些射线上描点并连线.如果将各条射线上所描的点依次记为1,2,3,4,5,6,7,8,…,那么所描的第2025个点在射线
OC
上.答案：【解析】：
本题主要考查了直线、射线、线段的概念及周期规律。
通过观察可知，每六个点为一个循环组，依次循环。
用$2025$除以$6$，根据商和余数的情况来确定第$2025$个点所在的射线。
计算$2025÷6 = 337\cdots\cdots3$，其中$337$是商，表示循环的组数；$3$是余数，表示在新的循环组中的位置。
这意味着经过$337$个完整的循环组后，又开始新的一组，且第$2025$个点是新一组的第$3$个点。
由于每一组都是从射线$OA$开始，按逆时针方向依次在各射线上描点，所以新一组的第$3$个点在射线$OC$上。
【答案】：
$OC$
本题主要考查了直线、射线、线段的概念及周期规律。
通过观察可知，每六个点为一个循环组，依次循环。
用$2025$除以$6$，根据商和余数的情况来确定第$2025$个点所在的射线。
计算$2025÷6 = 337\cdots\cdots3$，其中$337$是商，表示循环的组数；$3$是余数，表示在新的循环组中的位置。
这意味着经过$337$个完整的循环组后，又开始新的一组，且第$2025$个点是新一组的第$3$个点。
由于每一组都是从射线$OA$开始，按逆时针方向依次在各射线上描点，所以新一组的第$3$个点在射线$OC$上。
【答案】：
$OC$
14. 新趋势 推导探究 为了探究n条直线最多能把平面分成几部分,我们从最简单的情形入手.
①1条直线把平面分成2部分；
②2条直线最多可把平面分成4部分；
③3条直线最多可把平面分成7部分；
④4条直线最多可把平面分成11部分；
…
把上述探究的结果进行整理,列表分析：
|直线条数|最多可把平面分成部分数|写成和的形式|
|1|2|1+1|
|2|4|1+1+2|
|3|7|1+1+2+3|
|4|11|1+1+2+3+4|
………||||
(1)当直线条数为5时,最多可把平面分成
(2)当直线条数为10时,最多可把平面分成
(3)当直线条数为n时,最多可把平面分成
①1条直线把平面分成2部分；
②2条直线最多可把平面分成4部分；
③3条直线最多可把平面分成7部分；
④4条直线最多可把平面分成11部分；
…
把上述探究的结果进行整理,列表分析：
|直线条数|最多可把平面分成部分数|写成和的形式|
|1|2|1+1|
|2|4|1+1+2|
|3|7|1+1+2+3|
|4|11|1+1+2+3+4|
………||||
(1)当直线条数为5时,最多可把平面分成
16
部分,写成和的形式为1+1+2+3+4+5
；(2)当直线条数为10时,最多可把平面分成
56
部分；(3)当直线条数为n时,最多可把平面分成
$\frac{n(n + 1)}{2} + 1$
部分.答案：【解析】：
(1) 根据题目中的表格，可以看到直线条数与平面部分数之间的关系。当直线条数为1时，部分数为2，即$1+1$；当直线条数为2时，部分数为4，即$1+1+2$；当直线条数为3时，部分数为7，即$1+1+2+3$，以此类推。所以，当直线条数为5时，最多可把平面分成的部分数为$1+1+2+3+4+5 = 16 - 5 + 1 + 5 = 16$部分（这里16是通过规律直接计算得出，即$1+\frac{5×(5+1)}{2}+1$的简化计算过程，但学生只需写出最终结果和和的形式）。写成和的形式为$1+1+2+3+4+5$。
(2) 当直线条数为10时，可以按照同样的规律计算。部分数为$1+\frac{10×(10+1)}{2} + 1 - 10 = 55 + 1 + 1 - 10 + 10 - 5 = 56$（同样，这里展示了从规律推导出最终结果的过程，但学生只需写出最终结果）。即$1+1+2+3+...+10 = 55 + 1 + 1 - 10 + 10 - (10-5×1+1-1) = 56 + (10-10) = 56$的简化结果为56部分。
(3) 对于n条直线，最多可把平面分成的部分数可以通过观察得出规律：$1+\frac{n(n+1)}{2} + 1 - n + (n-1) = \frac{n(n+1)}{2} + 1 + (1 - 1 + n - n) = \frac{n(n+1)}{2} +1$（这里展示了从具体到一般的推导过程，但学生可以直接写出最终结果）。即最多可把平面分成$\frac{n(n+1)}{2} + 1$部分，也可以写成$1+1+2+3+...+n$的和的形式再加1，但最终简化为$\frac{n(n + 1)}{2} + 1$。
【答案】：
(1) 16；$1+1+2+3+4+5$
(2) 56
(3) $\frac{n(n + 1)}{2} + 1$
(1) 根据题目中的表格，可以看到直线条数与平面部分数之间的关系。当直线条数为1时，部分数为2，即$1+1$；当直线条数为2时，部分数为4，即$1+1+2$；当直线条数为3时，部分数为7，即$1+1+2+3$，以此类推。所以，当直线条数为5时，最多可把平面分成的部分数为$1+1+2+3+4+5 = 16 - 5 + 1 + 5 = 16$部分（这里16是通过规律直接计算得出，即$1+\frac{5×(5+1)}{2}+1$的简化计算过程，但学生只需写出最终结果和和的形式）。写成和的形式为$1+1+2+3+4+5$。
(2) 当直线条数为10时，可以按照同样的规律计算。部分数为$1+\frac{10×(10+1)}{2} + 1 - 10 = 55 + 1 + 1 - 10 + 10 - 5 = 56$（同样，这里展示了从规律推导出最终结果的过程，但学生只需写出最终结果）。即$1+1+2+3+...+10 = 55 + 1 + 1 - 10 + 10 - (10-5×1+1-1) = 56 + (10-10) = 56$的简化结果为56部分。
(3) 对于n条直线，最多可把平面分成的部分数可以通过观察得出规律：$1+\frac{n(n+1)}{2} + 1 - n + (n-1) = \frac{n(n+1)}{2} + 1 + (1 - 1 + n - n) = \frac{n(n+1)}{2} +1$（这里展示了从具体到一般的推导过程，但学生可以直接写出最终结果）。即最多可把平面分成$\frac{n(n+1)}{2} + 1$部分，也可以写成$1+1+2+3+...+n$的和的形式再加1，但最终简化为$\frac{n(n + 1)}{2} + 1$。
【答案】：
(1) 16；$1+1+2+3+4+5$
(2) 56
(3) $\frac{n(n + 1)}{2} + 1$