答案：【解析】：本题可根据线段中点的性质，先求出$BC$的长度，再求出$AB$的长度，进而求出$BM$的长度，最后根据$MN=BM - BN$求出$MN$的长度。
步骤一：根据中点性质求出$BC$的长度
已知$N$是$BC$的中点，根据线段中点的定义：若点$N$是线段$BC$的中点，则$BN = CN=\frac{1}{2}BC$。
因为$NB = 5$，所以$BC = 2NB = 2×5 = 10$。
步骤二：求出$AB$的长度
已知$AC = 8$，由线段的和差关系可知$AB=AC + BC$，将$AC = 8$，$BC = 10$代入可得$AB = 8 + 10 = 18$。
步骤三：根据中点性质求出$BM$的长度
因为$M$是$AB$的中点，根据线段中点的定义：若点$M$是线段$AB$的中点，则$AM = BM=\frac{1}{2}AB$。
将$AB = 18$代入可得$BM=\frac{1}{2}×18 = 9$。
步骤四：求出$MN$的长度
由线段的和差关系可知$MN = BM - BN$，将$BM = 9$，$BN = 5$代入可得$MN = 9 - 5 = 4$。
【答案】：$4$

答案：【解析】：本题可根据线段的比例关系设未知数，再结合中点的性质表示出相关线段的长度，最后根据$EF$的长度列出方程求解，进而求出线段$AD$的长度。
步骤一：设未知数
已知线段$AB:BC:CD = 2:3:4$，可设$AB = 2x\mathrm{cm}$，$BC = 3x\mathrm{cm}$，$CD = 4x\mathrm{cm}$。
步骤二：根据中点性质表示出$EB$和$CF$的长度
因为$E$是$AB$的中点，根据中点的定义：若点$E$为线段$AB$的中点，则$EB=\frac{1}{2}AB$，所以$EB=\frac{1}{2}×2x = x\mathrm{cm}$。
同理，因为$F$是$CD$的中点，所以$CF=\frac{1}{2}×4x = 2x\mathrm{cm}$。
步骤三：根据线段关系表示出$EF$的长度
由图可知$EF = EB + BC + CF$，将$EB = x\mathrm{cm}$，$BC = 3x\mathrm{cm}$，$CF = 2x\mathrm{cm}$代入可得$EF = x + 3x + 2x = 6x\mathrm{cm}$。
步骤四：求解$x$的值
已知$EF = 12\mathrm{cm}$，即$6x = 12$，两边同时除以$6$，可得$x = 2$。
步骤五：计算线段$AD$的长度
因为$AD = AB + BC + CD$，将$AB = 2x\mathrm{cm}$，$BC = 3x\mathrm{cm}$，$CD = 4x\mathrm{cm}$代入可得$AD = 2x + 3x + 4x = 9x\mathrm{cm}$。
把$x = 2$代入$9x$，可得$AD = 9×2 = 18\mathrm{cm}$。
【答案】：$18$

答案：解：设 $ PB = 2x \, \text{cm} $，则 $ AP = \frac{1}{2}PB = x \, \text{cm} $，$ AB = AP + PB = 3x \, \text{cm} $。
情况1：A为对折点
此时绳子原长为 $ 2AB = 6x \, \text{cm} $。剪断后绳子分为 $ AP $ 和 $ PB + AB $ 两段，长度分别为 $ x \, \text{cm} $ 和 $ 5x \, \text{cm} $。
由最长段为 $ 40 \, \text{cm} $，得 $ 5x = 40 $，解得 $ x = 8 $。
原长 $ 6x = 6 × 8 = 48 \, \text{cm} $。
情况2：B为对折点
此时绳子原长为 $ 2AB = 6x \, \text{cm} $。剪断后绳子分为 $ AP + AB $ 和 $ PB $ 两段，长度分别为 $ 4x \, \text{cm} $ 和 $ 2x \, \text{cm} $。
由最长段为 $ 40 \, \text{cm} $，得 $ 4x = 40 $，解得 $ x = 10 $。
原长 $ 6x = 6 × 10 = 60 \, \text{cm} $。
综上，绳子原长为 $ 48 \, \text{cm} $ 或 $ 60 \, \text{cm} $。
答案：48或60

答案：【解析】：本题主要考查线段的长短计算，利用线段的中点性质以及线段的和差关系进行求解，同时通过设未知数，根据已知条件建立等式来证明线段之间的关系。
（1）求线段$AB$和$DE$的长：
已知$E$为$BC$的中点，$BE = 1$，根据中点的性质，可得$BC = 2BE = 2×1 = 2$。
又已知$AC = 6$，根据线段的和差关系$AB = AC + BC$，可得$AB = 6 + 2 = 8$。
因为$AD=\frac{2}{3}AC$，$AC = 6$，所以$AD=\frac{2}{3}×6 = 4$。
那么$DC = AC - AD = 6 - 4 = 2$。
再根据线段的和差关系$DE = DC + CE$，而$CE = BE = 1$，所以$DE = 2 + 1 = 3$。
（2）说明$AB + BD = 4DE$：
设$AC = 3x$，因为$AD=\frac{2}{3}AC$，所以$AD = 2x$，则$DC = AC - AD = 3x - 2x = x$。
因为$E$为$BC$的中点，设$BC = 2y$，则$CE = BE = y$。
$AB = AC + BC = 3x + 2y$。
$BD = AB - AD = 3x + 2y - 2x = x + 2y$。
$DE = DC + CE = x + y$。
计算$AB + BD$：
$AB + BD=(3x + 2y)+(x + 2y)=4x + 4y$。
计算$4DE$：
$4DE = 4(x + y)=4x + 4y$。
所以$AB + BD = 4DE$。
【答案】：(1)$AB = 8$，$DE = 3$；(2)证明过程如上述。

答案：解：设加油站$ M $在直线$ AB $上，$ A $、$ B $、$ C $、$ D $四点位置如图所示，依次排列为$ A $、$ C $、$ D $、$ B $。
总路程$ S = MA + MB + MC + MD $。
因为$ MA + MB \geq AB $（当$ M $在$ A $、$ B $之间时取等号），$ MC + MD \geq CD $（当$ M $在$ C $、$ D $之间时取等号）。
要使$ S $最小，需同时满足$ MA + MB = AB $且$ MC + MD = CD $，此时$ M $必须在$ C $、$ D $之间（包含端点$ C $、$ D $）。
所以加油站$ M $的位置在$ C $、$ D $两站之间。
答案：B

答案：解：设数轴上点 $ O $ 表示的数为 $ 0 $，
因为 $ O $，$ A $ 两点之间的距离为 $ 4 $，且点 $ A $ 在点 $ O $ 右侧，
所以点 $ A $ 表示的数为 $ 4 $。
第 $ 1 $ 次跳动到 $ AO $ 的中点 $ A_1 $，
$ A_1 $ 表示的数为 $ \frac{0 + 4}{2} = 2 = \frac{4}{2^1} $；
第 $ 2 $ 次跳动到 $ A_1O $ 的中点 $ A_2 $，
$ A_2 $ 表示的数为 $ \frac{0 + 2}{2} = 1 = \frac{4}{2^2} $；
第 $ 3 $ 次跳动到 $ A_2O $ 的中点 $ A_3 $，
$ A_3 $ 表示的数为 $ \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{4}{2^3} $；
……
依此类推，第 $ n $ 次跳动后，点 $ A_n $ 表示的数为 $ \frac{4}{2^n} $。
线段 $ A_nA $ 的长为点 $ A $ 与点 $ A_n $ 表示的数之差的绝对值，
即 $ |4 - \frac{4}{2^n}| = 4 - \frac{4}{2^n} = 4\left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = 4 - \frac{1}{2^{n-2}} $。
故线段 $ A_nA $ 的长为 $ 4 - \frac{1}{2^{n-2}} $。
答案：$ 4 - \frac{1}{2^{n-2}} $

答案：【解析】：本题主要考查了数轴上点的位置关系、绝对值和平方的非负性、动点问题以及线段中点的性质。
（1）已知$\vert a+2\vert+(3a+b)^2=0$。
因为绝对值和平方都具有非负性，即$\vert a+2\vert\geq0$，$(3a+b)^2\geq0$。
要使两个非负数的和为$0$，则这两个非负数必须都为$0$，
可得到方程组$\begin{cases}a+2=0,\\3a+b=0.\end{cases}$
由$a+2=0$，可得$a=-2$。
将$a=-2$代入$3a+b=0$，即$3×(-2)+b=0$，
$-6+b=0$，解得$b=6$。
（2）①由（1）可知$A$点表示的数为$-2$，$B$点表示的数为$6$，
所以$OB=6$，$OA=2$，$AB=6-(-2)=8$。
点$P$从点$A$出发，以每秒$1$个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为$t\mathrm{s}$，
则点$P$表示的数为$-2+t$。
因为点$P$在线段$OB$上，所以$0\leq -2+t\leq 6$，解得$2\leq t\leq 8$。
已知$OP = 2PB$，$OP=\vert -2+t\vert=t - 2$（因为$2\leq t\leq 8$，所以$-2+t\geq0$），$PB=6-(-2+t)=8 - t$。
根据$OP = 2PB$可得$t - 2=2×(8 - t)$。
展开括号得$t - 2=16 - 2t$。
移项得$t+2t=16 + 2$。
合并同类项得$3t=18$，解得$t=6$。
②因为$E$是$OB$的中点，$OB=6$，
所以$E$点表示的数为$\frac{0 + 6}{2}=3$。
点$P$表示的数为$-2+t$，$0\leq -2+t\leq 3$，解得$2\leq t\leq 5$。
$AP=t$（点$P$运动的速度为每秒$1$个单位长度，运动时间为$t\mathrm{s}$），
因为$F$是$AP$的中点，所以$AF=\frac{1}{2}t$，
则点$F$表示的数为$-2+\frac{1}{2}t$。
$OP=\vert -2+t\vert=t - 2$（因为$2\leq t\leq 5$，所以$-2+t\geq0$），
$EF=3-(-2+\frac{1}{2}t)=5-\frac{1}{2}t$。
将$AB=8$，$OP=t - 2$，$EF=5-\frac{1}{2}t$代入$\frac{AB - OP}{EF}$可得：
$\frac{8-(t - 2)}{5-\frac{1}{2}t}=\frac{10 - t}{5-\frac{1}{2}t}=\frac{2(5 - \frac{1}{2}t)}{5-\frac{1}{2}t}=2$。
所以$\frac{AB - OP}{EF}$的值是定值，定值为$2$。
【答案】：(1)$a=-2$，$b=6$；(2)①$t=6$；②是定值，定值为$2$。