10. 如图,将一张长方形纸片沿线段 BD 折叠,使点 C 落在点$C'$的位置. 若$BC'恰好平分∠ABD$,则$∠ABD= $
$60^{\circ}$
.答案：【解析】：
本题可根据折叠的性质以及角平分线的定义来求解$\angle ABD$的度数。
步骤一：根据折叠的性质得到相关角的关系
由折叠的性质可知，$\triangle BCD$与$\triangle BC'D$关于直线$BD$对称，所以$\angle CBD = \angle C'BD$。
步骤二：根据角平分线的定义得到相关角的关系
因为$BC'$恰好平分$\angle ABD$，根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，所以$\angle ABC' = \angle C'BD$。
步骤三：找出$\angle ABC$、$\angle CBD$与$\angle ABD$的关系
由于四边形$ABCD$是长方形，所以$\angle ABC = 90^{\circ}$，即$\angle ABC' + \angle C'BD + \angle ABD = 90^{\circ}$。
又因为$\angle ABC' = \angle C'BD$，$\angle CBD = \angle C'BD$，所以$\angle ABC' = \angle C'BD = \angle CBD$。
设$\angle ABC' = \angle C'BD = \angle CBD = x$，则$\angle ABD = 2x$。
步骤四：求解$x$的值，进而得到$\angle ABD$的度数
将$\angle ABC' = x$，$\angle C'BD = x$，$\angle ABD = 2x$代入$\angle ABC' + \angle C'BD + \angle ABD = 90^{\circ}$，可得$x + x + 2x = 90^{\circ}$，即$4x = 90^{\circ}$，解得$x = 30^{\circ}$。
所以$\angle ABD = 2x = 2×30^{\circ} = 60^{\circ}$。
【答案】：
$60^{\circ}$
本题可根据折叠的性质以及角平分线的定义来求解$\angle ABD$的度数。
步骤一：根据折叠的性质得到相关角的关系
由折叠的性质可知，$\triangle BCD$与$\triangle BC'D$关于直线$BD$对称，所以$\angle CBD = \angle C'BD$。
步骤二：根据角平分线的定义得到相关角的关系
因为$BC'$恰好平分$\angle ABD$，根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，所以$\angle ABC' = \angle C'BD$。
步骤三：找出$\angle ABC$、$\angle CBD$与$\angle ABD$的关系
由于四边形$ABCD$是长方形，所以$\angle ABC = 90^{\circ}$，即$\angle ABC' + \angle C'BD + \angle ABD = 90^{\circ}$。
又因为$\angle ABC' = \angle C'BD$，$\angle CBD = \angle C'BD$，所以$\angle ABC' = \angle C'BD = \angle CBD$。
设$\angle ABC' = \angle C'BD = \angle CBD = x$，则$\angle ABD = 2x$。
步骤四：求解$x$的值，进而得到$\angle ABD$的度数
将$\angle ABC' = x$，$\angle C'BD = x$，$\angle ABD = 2x$代入$\angle ABC' + \angle C'BD + \angle ABD = 90^{\circ}$，可得$x + x + 2x = 90^{\circ}$，即$4x = 90^{\circ}$，解得$x = 30^{\circ}$。
所以$\angle ABD = 2x = 2×30^{\circ} = 60^{\circ}$。
【答案】：
$60^{\circ}$
11. 如图,点 A,O,B 在同一条直线上,$∠AOC= \frac{1}{2}∠BOC+30^{\circ}$,OE 平分$∠BOC$,则$∠BOE= $
$50^{\circ}$
.答案：【解析】：本题可先根据平角的性质得到$\angle AOC$与$\angle BOC$的关系，再结合已知条件$\angle AOC = \frac{1}{2}\angle BOC + 30^{\circ}$求出$\angle BOC$的度数，最后根据角平分线的性质求出$\angle BOE$的度数。
步骤一：根据平角的性质得到$\angle AOC$与$\angle BOC$的关系
因为点$A$，$O$，$B$在同一条直线上，所以$\angle AOB$是平角，平角的度数为$180^{\circ}$，即$\angle AOC + \angle BOC = 180^{\circ}$。
步骤二：结合已知条件求出$\angle BOC$的度数
已知$\angle AOC = \frac{1}{2}\angle BOC + 30^{\circ}$，将其代入$\angle AOC + \angle BOC = 180^{\circ}$中，可得：
$\frac{1}{2}\angle BOC + 30^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$
合并同类项可得：$\frac{3}{2}\angle BOC + 30^{\circ} = 180^{\circ}$
移项可得：$\frac{3}{2}\angle BOC = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$
两边同时除以$\frac{3}{2}$，即$\angle BOC = 150^{\circ} ÷ \frac{3}{2} = 100^{\circ}$。
步骤三：根据角平分线的性质求出$\angle BOE$的度数
因为$OE$平分$\angle BOC$，根据角平分线的性质：角平分线将一个角分成两个相等的角，所以$\angle BOE = \frac{1}{2}\angle BOC$。
将$\angle BOC = 100^{\circ}$代入可得：$\angle BOE = \frac{1}{2}×100^{\circ} = 50^{\circ}$。
【答案】：$50^{\circ}$
步骤一：根据平角的性质得到$\angle AOC$与$\angle BOC$的关系
因为点$A$，$O$，$B$在同一条直线上，所以$\angle AOB$是平角，平角的度数为$180^{\circ}$，即$\angle AOC + \angle BOC = 180^{\circ}$。
步骤二：结合已知条件求出$\angle BOC$的度数
已知$\angle AOC = \frac{1}{2}\angle BOC + 30^{\circ}$，将其代入$\angle AOC + \angle BOC = 180^{\circ}$中，可得：
$\frac{1}{2}\angle BOC + 30^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$
合并同类项可得：$\frac{3}{2}\angle BOC + 30^{\circ} = 180^{\circ}$
移项可得：$\frac{3}{2}\angle BOC = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$
两边同时除以$\frac{3}{2}$，即$\angle BOC = 150^{\circ} ÷ \frac{3}{2} = 100^{\circ}$。
步骤三：根据角平分线的性质求出$\angle BOE$的度数
因为$OE$平分$\angle BOC$，根据角平分线的性质：角平分线将一个角分成两个相等的角，所以$\angle BOE = \frac{1}{2}\angle BOC$。
将$\angle BOC = 100^{\circ}$代入可得：$\angle BOE = \frac{1}{2}×100^{\circ} = 50^{\circ}$。
【答案】：$50^{\circ}$
12. (2025·江苏淮安期末)如图,$∠AOB= 60^{\circ}$,OC 是$∠AOB$的平分线,$OC_{1}是∠AOC$的平分线,$OC_{2}是∠AOC_{1}$的平分线,…,$OC_{n}是∠AOC_{n-1}$的平分线($n≥2$,且 n 为整数),则$∠AOC_{n}= $
$\frac{60^{\circ}}{2^{n + 1}}$
.答案：【解析】：本题可根据角平分线的性质，逐步求出$\angle AOC_{1}$、$\angle AOC_{2}$等的度数，进而找出$\angle AOC_{n}$的度数规律。
步骤一：求出$\angle AOC$的度数
已知$OC$是$\angle AOB$的平分线，且$\angle AOB = 60^{\circ}$，根据角平分线的性质：角平分线将一个角分成两个相等的角，可得：
$\angle AOC=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$
步骤二：求出$\angle AOC_{1}$的度数
因为$OC_{1}$是$\angle AOC$的平分线，由角平分线的性质可得：
$\angle AOC_{1}=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}×30^{\circ}=15^{\circ}$
步骤三：求出$\angle AOC_{2}$的度数
由于$OC_{2}$是$\angle AOC_{1}$的平分线，同理可得：
$\angle AOC_{2}=\frac{1}{2}\angle AOC_{1}=\frac{1}{2}×15^{\circ}=7.5^{\circ}$
步骤四：找出$\angle AOC_{n}$的度数规律
通过前面的计算可知：
$\angle AOC = 30^{\circ}=\frac{60^{\circ}}{2^{1}}$
$\angle AOC_{1} = 15^{\circ}=\frac{60^{\circ}}{2^{2}}$
$\angle AOC_{2} = 7.5^{\circ}=\frac{60^{\circ}}{2^{3}}$
以此类推，可得出$\angle AOC_{n}=\frac{60^{\circ}}{2^{n + 1}}=\frac{60^{\circ}}{2^{n+1}}$（$n\geq2$，且$n$为整数）。
【答案】：$\frac{60^{\circ}}{2^{n + 1}}$
步骤一：求出$\angle AOC$的度数
已知$OC$是$\angle AOB$的平分线，且$\angle AOB = 60^{\circ}$，根据角平分线的性质：角平分线将一个角分成两个相等的角，可得：
$\angle AOC=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$
步骤二：求出$\angle AOC_{1}$的度数
因为$OC_{1}$是$\angle AOC$的平分线，由角平分线的性质可得：
$\angle AOC_{1}=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}×30^{\circ}=15^{\circ}$
步骤三：求出$\angle AOC_{2}$的度数
由于$OC_{2}$是$\angle AOC_{1}$的平分线，同理可得：
$\angle AOC_{2}=\frac{1}{2}\angle AOC_{1}=\frac{1}{2}×15^{\circ}=7.5^{\circ}$
步骤四：找出$\angle AOC_{n}$的度数规律
通过前面的计算可知：
$\angle AOC = 30^{\circ}=\frac{60^{\circ}}{2^{1}}$
$\angle AOC_{1} = 15^{\circ}=\frac{60^{\circ}}{2^{2}}$
$\angle AOC_{2} = 7.5^{\circ}=\frac{60^{\circ}}{2^{3}}$
以此类推，可得出$\angle AOC_{n}=\frac{60^{\circ}}{2^{n + 1}}=\frac{60^{\circ}}{2^{n+1}}$（$n\geq2$，且$n$为整数）。
【答案】：$\frac{60^{\circ}}{2^{n + 1}}$
13. 如图,钟表上显示的时间是 1 时 30 分.
(1) 此时时针与分针的夹角为多少度?
(2) 设此时时针与分针的交点为 O,时针为 OB,分针为 OA,过点 O 引一条射线 OC,使$∠BOC= 25^{\circ}$. 若 OM 平分$∠AOC$,ON 平分$∠BOC$,求$∠MON$的度数.
(1) 此时时针与分针的夹角为多少度?
(2) 设此时时针与分针的交点为 O,时针为 OB,分针为 OA,过点 O 引一条射线 OC,使$∠BOC= 25^{\circ}$. 若 OM 平分$∠AOC$,ON 平分$∠BOC$,求$∠MON$的度数.
答案：(1) 解：钟面一圈为$360^{\circ}$，共12个大格，每个大格为$360^{\circ}÷12 = 30^{\circ}$。1时30分，分针指向6，走了6个大格，分针与12点方向夹角为$6×30^{\circ}=180^{\circ}$；时针1小时走1个大格即$30^{\circ}$，30分钟走$30^{\circ}×0.5 = 15^{\circ}$，1时30分时针与12点方向夹角为$1×30^{\circ}+15^{\circ}=45^{\circ}$。所以时针与分针夹角为$180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$。
(2) 解：情况一：OC在∠AOB内部。
因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC。∠MON=∠MOC+∠NOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×135^{\circ}=67.5^{\circ}$。
情况二：OC在∠AOB外部。
∠MON=∠MOC - ∠NOC=$\frac{1}{2}$∠AOC - $\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC - ∠BOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×135^{\circ}=67.5^{\circ}$。
综上，∠MON=67.5°。
(2) 解：情况一：OC在∠AOB内部。
因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC。∠MON=∠MOC+∠NOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×135^{\circ}=67.5^{\circ}$。
情况二：OC在∠AOB外部。
∠MON=∠MOC - ∠NOC=$\frac{1}{2}$∠AOC - $\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC - ∠BOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×135^{\circ}=67.5^{\circ}$。
综上，∠MON=67.5°。
14. 亮点原创 我们定义:若两个角度数差的绝对值等于$60^{\circ}$,则称这两个角互为“给力角”. 如:$∠1= 160^{\circ},∠2= 100^{\circ}$,$|∠1-∠2|= 60^{\circ}$,则$∠1和∠2$互为“给力角”. 如图,已知$∠MON= 120^{\circ}$,射线 OA 平分$∠MON$,$∠BOC在∠MON$的内部. 若$∠BOC= 60^{\circ},∠AOB≠∠AOC$,则图中互为“给力角”的角共有
6
对.答案：解：
∵∠MON=120°，OA平分∠MON，
∴∠MOA=∠AON=60°。
设∠AOB=x，∠AOC=y，
∵∠BOC=60°，∠AOB≠∠AOC，
∴x+y=60°且x≠y，x＞0，y＞0。
互为“给力角”的角：
1. ∠MON与∠MOA：|120°-60°|=60°；
2. ∠MON与∠AON：|120°-60°|=60°；
3. ∠MON与∠BOC：|120°-60°|=60°；
4. ∠MOA与∠BOC：|60°-60°|=60°；
5. ∠AON与∠BOC：|60°-60°|=60°；
6. ∠MOB与∠AOC：∠MOB=∠MOA+∠AOB=60°+x，∠AOC=y=60°-x，|(60°+x)-(60°-x)|=|2x|=60°（x=30°时成立，但x≠y=30°，故排除）；
7. ∠MOB与∠CON：∠CON=∠AON-∠AOC=60°-y=60°-(60°-x)=x，|∠MOB-∠CON|=|60°+x -x|=60°；
8. ∠AOB与∠CON：∠CON=x，|∠AOB-∠CON|=|x-x|=0°（不成立）；
9. ∠AOB与∠MOC：∠MOC=∠MOA+∠AOC=60°+y=120°-x，|∠MOC-∠AOB|=|120°-x -x|=|120°-2x|=60°（x=30°时成立，排除）；
10. ∠COB与∠MOA：同3；
11. ∠COB与∠AON：同4；
12. ∠AOC与∠BOM：同6（排除）；
有效对： 1,2,3,4,5,7共6对。
答案：6
∵∠MON=120°，OA平分∠MON，
∴∠MOA=∠AON=60°。
设∠AOB=x，∠AOC=y，
∵∠BOC=60°，∠AOB≠∠AOC，
∴x+y=60°且x≠y，x＞0，y＞0。
互为“给力角”的角：
1. ∠MON与∠MOA：|120°-60°|=60°；
2. ∠MON与∠AON：|120°-60°|=60°；
3. ∠MON与∠BOC：|120°-60°|=60°；
4. ∠MOA与∠BOC：|60°-60°|=60°；
5. ∠AON与∠BOC：|60°-60°|=60°；
6. ∠MOB与∠AOC：∠MOB=∠MOA+∠AOB=60°+x，∠AOC=y=60°-x，|(60°+x)-(60°-x)|=|2x|=60°（x=30°时成立，但x≠y=30°，故排除）；
7. ∠MOB与∠CON：∠CON=∠AON-∠AOC=60°-y=60°-(60°-x)=x，|∠MOB-∠CON|=|60°+x -x|=60°；
8. ∠AOB与∠CON：∠CON=x，|∠AOB-∠CON|=|x-x|=0°（不成立）；
9. ∠AOB与∠MOC：∠MOC=∠MOA+∠AOC=60°+y=120°-x，|∠MOC-∠AOB|=|120°-x -x|=|120°-2x|=60°（x=30°时成立，排除）；
10. ∠COB与∠MOA：同3；
11. ∠COB与∠AON：同4；
12. ∠AOC与∠BOM：同6（排除）；
有效对： 1,2,3,4,5,7共6对。
答案：6
15. 如图①,O 为直线 AB 上一点,过点 O 画射线 OC,$∠AOC= 30^{\circ}$,将一块直角三角板($∠M= 30^{\circ}$)的直角顶点放在点 O 处,一边 ON 在射线 OA 上,另一边 OM 在直线 AB 的上方.
(1) 将图①中的三角板绕点 O 以每秒$3^{\circ}$的速度按顺时针方向旋转一周,如图②,则经过多长时间,OM 平分$∠BOC$?
(2) 在(1)的条件下,若三角板在转动的同时,射线 OC 也绕点 O 以每秒$6^{\circ}$的速度按顺时针方向旋转一周,如图③,则经过多长时间,OC 平分$∠MON$?
(3) 在(2)的条件下,经过多长时间,OC 平分$∠BOM$?
(1) 将图①中的三角板绕点 O 以每秒$3^{\circ}$的速度按顺时针方向旋转一周,如图②,则经过多长时间,OM 平分$∠BOC$?
(2) 在(1)的条件下,若三角板在转动的同时,射线 OC 也绕点 O 以每秒$6^{\circ}$的速度按顺时针方向旋转一周,如图③,则经过多长时间,OC 平分$∠MON$?
(3) 在(2)的条件下,经过多长时间,OC 平分$∠BOM$?
答案：(1) 解：设经过 $ t $ 秒，OM 平分 $ \angle BOC $。
初始 $ \angle AOC = 30^\circ $，则 $ \angle BOC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $。
三角板顺时针旋转，$ \angle AON = 3t^\circ $，$ \angle MON = 90^\circ $，
$ \angle AOM = \angle AON + \angle MON = 3t^\circ + 90^\circ $，
$ \angle BOM = 180^\circ - \angle AOM = 90^\circ - 3t^\circ $。
OM 平分 $ \angle BOC $，则 $ \angle BOM = \frac{1}{2} \angle BOC = 75^\circ $，
$ 90 - 3t = 75 $，解得 $ t = 5 $。
(2) 解：设经过 $ t $ 秒，OC 平分 $ \angle MON $。
三角板旋转：$ \angle AON = 3t^\circ $，$ \angle AOM = 3t^\circ + 90^\circ $，$ \angle MON = 90^\circ $。
OC 旋转：初始 $ \angle AOC = 30^\circ $，$ t $ 秒后 $ \angle AOC' = 30^\circ + 6t^\circ $（OC'为旋转后位置）。
OC 平分 $ \angle MON $，则 $ \angle MOC = \angle NOC = 45^\circ $。
分两种情况：
① $ \angle AOC' - \angle AON = 45^\circ $，即 $ 30 + 6t - 3t = 45 $，解得 $ t = 5 $；
② $ \angle AON - \angle AOC' = 45^\circ $（OC 旋转超过 ON），即 $ 3t - (30 + 6t) = 45 - 360k $（$ k=1 $时），
$ -3t - 30 = -315 $，解得 $ t = 95 $（$ t \leq 60 $，舍去）。
综上，$ t = 5 $。
(3) 解：设经过 $ t $ 秒，OC 平分 $ \angle BOM $。
$ \angle BOM = 180^\circ - \angle AOM = 180^\circ - (3t^\circ + 90^\circ) = 90^\circ - 3t^\circ $（$ t \leq 30 $时）或 $ 3t^\circ - 270^\circ $（$ t ＞ 30 $时）。
OC 旋转后 $ \angle BOC = 180^\circ - (30^\circ + 6t^\circ) = 150^\circ - 6t^\circ $（$ t \leq 25 $时）或 $ 6t^\circ - 210^\circ $（$ t ＞ 25 $时）。
OC 平分 $ \angle BOM $，则 $ \angle BOC = \frac{1}{2} \angle BOM $。
① $ t \leq 25 $：$ 150 - 6t = \frac{1}{2}(90 - 3t) $，解得 $ t = 14 $；
② $ 25 ＜ t \leq 30 $：$ 6t - 210 = \frac{1}{2}(90 - 3t) $，解得 $ t = \frac{510}{15} = 34 $（舍去）；
③ $ t ＞ 30 $：$ 6t - 210 = \frac{1}{2}(3t - 270) $，解得 $ t = 50 $。
综上，$ t = 14 $ 或 $ t = 50 $。
答案：(1) 5 秒；(2) 5 秒；(3) 14 秒或 50 秒。
初始 $ \angle AOC = 30^\circ $，则 $ \angle BOC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $。
三角板顺时针旋转，$ \angle AON = 3t^\circ $，$ \angle MON = 90^\circ $，
$ \angle AOM = \angle AON + \angle MON = 3t^\circ + 90^\circ $，
$ \angle BOM = 180^\circ - \angle AOM = 90^\circ - 3t^\circ $。
OM 平分 $ \angle BOC $，则 $ \angle BOM = \frac{1}{2} \angle BOC = 75^\circ $，
$ 90 - 3t = 75 $，解得 $ t = 5 $。
(2) 解：设经过 $ t $ 秒，OC 平分 $ \angle MON $。
三角板旋转：$ \angle AON = 3t^\circ $，$ \angle AOM = 3t^\circ + 90^\circ $，$ \angle MON = 90^\circ $。
OC 旋转：初始 $ \angle AOC = 30^\circ $，$ t $ 秒后 $ \angle AOC' = 30^\circ + 6t^\circ $（OC'为旋转后位置）。
OC 平分 $ \angle MON $，则 $ \angle MOC = \angle NOC = 45^\circ $。
分两种情况：
① $ \angle AOC' - \angle AON = 45^\circ $，即 $ 30 + 6t - 3t = 45 $，解得 $ t = 5 $；
② $ \angle AON - \angle AOC' = 45^\circ $（OC 旋转超过 ON），即 $ 3t - (30 + 6t) = 45 - 360k $（$ k=1 $时），
$ -3t - 30 = -315 $，解得 $ t = 95 $（$ t \leq 60 $，舍去）。
综上，$ t = 5 $。
(3) 解：设经过 $ t $ 秒，OC 平分 $ \angle BOM $。
$ \angle BOM = 180^\circ - \angle AOM = 180^\circ - (3t^\circ + 90^\circ) = 90^\circ - 3t^\circ $（$ t \leq 30 $时）或 $ 3t^\circ - 270^\circ $（$ t ＞ 30 $时）。
OC 旋转后 $ \angle BOC = 180^\circ - (30^\circ + 6t^\circ) = 150^\circ - 6t^\circ $（$ t \leq 25 $时）或 $ 6t^\circ - 210^\circ $（$ t ＞ 25 $时）。
OC 平分 $ \angle BOM $，则 $ \angle BOC = \frac{1}{2} \angle BOM $。
① $ t \leq 25 $：$ 150 - 6t = \frac{1}{2}(90 - 3t) $，解得 $ t = 14 $；
② $ 25 ＜ t \leq 30 $：$ 6t - 210 = \frac{1}{2}(90 - 3t) $，解得 $ t = \frac{510}{15} = 34 $（舍去）；
③ $ t ＞ 30 $：$ 6t - 210 = \frac{1}{2}(3t - 270) $，解得 $ t = 50 $。
综上，$ t = 14 $ 或 $ t = 50 $。
答案：(1) 5 秒；(2) 5 秒；(3) 14 秒或 50 秒。