1. 新趋势情境素材 小亮准备从A地去往B地,打开导航,显示两地之间的距离为37.7km,但导航提供的三条可选路线的路程却分别为45km,50km,51km.能解释这一现象的数学知识是(
A.两点之间,线段最短
B.两点确定一条直线
C.三角形两边之和大于第三边
D.经过一点有无数条直线
A
)A.两点之间,线段最短
B.两点确定一条直线
C.三角形两边之和大于第三边
D.经过一点有无数条直线
答案：【解析】：
这个问题考察的是对几何基本概念的理解和应用。小亮从A地去往B地，导航显示的两地直线距离为37.7km，但提供的三条可选路线的路程却分别超过了直线距离。这是因为在实际导航中，路线往往不是直线，而是由道路网络决定的折线。在几何学中，有一个基本事实：两点之间，线段最短。这意味着在平面上，连接两点的线段是最短的路径。因此，导航提供的可选路线（折线）比直线距离长，正是因为它们不是线段，而是由多条线段组成的折线。
A选项“两点之间，线段最短”直接解释了这一现象，即直线（线段）是两点之间的最短路径。
B选项“两点确定一条直线”虽然数学上正确，但与问题中的现象无关，因为它描述的是直线的确定性，而不是路径的长度。
C选项“三角形两边之和大于第三边”是三角形的一个基本性质，但在这个问题中并不适用，因为问题没有涉及三角形。
D选项“经过一点有无数条直线”也是数学上正确的，但同样与问题中的现象无关，因为它描述的是直线的无限性，而不是路径的长度。
【答案】：
A
这个问题考察的是对几何基本概念的理解和应用。小亮从A地去往B地，导航显示的两地直线距离为37.7km，但提供的三条可选路线的路程却分别超过了直线距离。这是因为在实际导航中，路线往往不是直线，而是由道路网络决定的折线。在几何学中，有一个基本事实：两点之间，线段最短。这意味着在平面上，连接两点的线段是最短的路径。因此，导航提供的可选路线（折线）比直线距离长，正是因为它们不是线段，而是由多条线段组成的折线。
A选项“两点之间，线段最短”直接解释了这一现象，即直线（线段）是两点之间的最短路径。
B选项“两点确定一条直线”虽然数学上正确，但与问题中的现象无关，因为它描述的是直线的确定性，而不是路径的长度。
C选项“三角形两边之和大于第三边”是三角形的一个基本性质，但在这个问题中并不适用，因为问题没有涉及三角形。
D选项“经过一点有无数条直线”也是数学上正确的，但同样与问题中的现象无关，因为它描述的是直线的无限性，而不是路径的长度。
【答案】：
A
2. (2025·江苏宿迁期末)如图,C,D为线段AB上两点,AC+BD= a.若AD+BC= $\frac{7}{5}$AB,则CD的长为(
A.$\frac{2}{5}a$
B.$\frac{2}{3}a$
C.$\frac{5}{3}a$
D.$\frac{5}{7}a$
B
)A.$\frac{2}{5}a$
B.$\frac{2}{3}a$
C.$\frac{5}{3}a$
D.$\frac{5}{7}a$
答案：解：设 $ AB = x $，$ CD = y $。
因为 $ AC + BD = a $，且 $ AB = AC + CD + BD $，所以 $ x = a + y $，即 $ AC + BD = x - y = a $。
又因为 $ AD + BC = \frac{7}{5}AB = \frac{7}{5}x $，而 $ AD = AC + CD $，$ BC = CD + BD $，所以 $ AD + BC = (AC + BD) + 2CD = a + 2y $。
则 $ a + 2y = \frac{7}{5}x $，将 $ x = a + y $ 代入得：$ a + 2y = \frac{7}{5}(a + y) $。
解得 $ y = \frac{2}{3}a $，即 $ CD = \frac{2}{3}a $。
答案：B
因为 $ AC + BD = a $，且 $ AB = AC + CD + BD $，所以 $ x = a + y $，即 $ AC + BD = x - y = a $。
又因为 $ AD + BC = \frac{7}{5}AB = \frac{7}{5}x $，而 $ AD = AC + CD $，$ BC = CD + BD $，所以 $ AD + BC = (AC + BD) + 2CD = a + 2y $。
则 $ a + 2y = \frac{7}{5}x $，将 $ x = a + y $ 代入得：$ a + 2y = \frac{7}{5}(a + y) $。
解得 $ y = \frac{2}{3}a $，即 $ CD = \frac{2}{3}a $。
答案：B
3. 如图,已知AB= 8cm,BD= 3cm,C为AB的中点,则CD=
1
cm.答案：【解析】：本题可先根据中点的性质求出$BC$的长度，再结合$BD$的长度，通过线段的和差关系求出$CD$的长度，考查了线段中点的性质以及线段长度的计算。
已知$AB = 8cm$，$C$为$AB$的中点，根据线段中点的定义：若点$C$把线段$AB$分成两条相等的线段，即$AC = BC=\frac{1}{2}AB$，可得$BC=\frac{1}{2}×8 = 4cm$。
又已知$BD = 3cm$，由线段的和差关系可知$CD=BC - BD$，将$BC = 4cm$，$BD = 3cm$代入可得$CD = 4 - 3 = 1cm$。
【答案】：$1$
已知$AB = 8cm$，$C$为$AB$的中点，根据线段中点的定义：若点$C$把线段$AB$分成两条相等的线段，即$AC = BC=\frac{1}{2}AB$，可得$BC=\frac{1}{2}×8 = 4cm$。
又已知$BD = 3cm$，由线段的和差关系可知$CD=BC - BD$，将$BC = 4cm$，$BD = 3cm$代入可得$CD = 4 - 3 = 1cm$。
【答案】：$1$
4. 已知A,B,C,D四点在同一条直线上,C是AB的中点,点D在线段AB上.
(1) 若AB= 6,BD= $\frac{1}{3}$BC,求CD的长；
(2) 若E是线段AB上一点,且AE= 2BE,则当AD:BD= 2:3时,线段CD与CE之间具有怎样的数量关系?请说明理由.
(1) 若AB= 6,BD= $\frac{1}{3}$BC,求CD的长；
(2) 若E是线段AB上一点,且AE= 2BE,则当AD:BD= 2:3时,线段CD与CE之间具有怎样的数量关系?请说明理由.
答案：(1) 解：因为C是AB的中点，AB=6，所以BC=AB/2=3。因为BD=1/3BC，所以BD=1/3×3=1。所以CD=BC-BD=3-1=2。
(2) 解：设AB=5x，因为AD:BD=2:3，所以AD=2x，BD=3x。因为C是AB的中点，所以AC=BC=AB/2=2.5x。所以CD=AC-AD=2.5x-2x=0.5x。因为AE=2BE，AE+BE=AB=5x，所以2BE+BE=5x，BE=5x/3，AE=10x/3。所以CE=AE-AC=10x/3 - 2.5x=10x/3 - 5x/2=5x/6。所以CE=5x/6，CD=0.5x=3x/6，所以CE=5/3 CD。
(2) 解：设AB=5x，因为AD:BD=2:3，所以AD=2x，BD=3x。因为C是AB的中点，所以AC=BC=AB/2=2.5x。所以CD=AC-AD=2.5x-2x=0.5x。因为AE=2BE，AE+BE=AB=5x，所以2BE+BE=5x，BE=5x/3，AE=10x/3。所以CE=AE-AC=10x/3 - 2.5x=10x/3 - 5x/2=5x/6。所以CE=5x/6，CD=0.5x=3x/6，所以CE=5/3 CD。
5. 已知∠α= 25°30',则它的余角为(
A.25°30'
B.64°30'
C.74°30'
D.154°30'
B
)A.25°30'
B.64°30'
C.74°30'
D.154°30'
答案：【解析】：
本题考查的是余角的概念和计算。余角是指两个角的度数和为$90^\circ$。
根据余角的定义，我们可以得到∠α的余角度数为$90^\circ - \angle \alpha$。
题目给出$\angle \alpha = 25^\circ 30'$，我们需要计算它的余角。
首先，将$90^\circ$转换为$89^\circ 60'$，以便进行减法运算（因为1度等于60分）。
然后，用$89^\circ 60'$减去$25^\circ 30'$，得到余角度数。
【答案】：
$89^\circ 60' - 25^\circ 30' = 64^\circ 30'$
所以，∠α的余角为$64^\circ 30'$，故选B。
本题考查的是余角的概念和计算。余角是指两个角的度数和为$90^\circ$。
根据余角的定义，我们可以得到∠α的余角度数为$90^\circ - \angle \alpha$。
题目给出$\angle \alpha = 25^\circ 30'$，我们需要计算它的余角。
首先，将$90^\circ$转换为$89^\circ 60'$，以便进行减法运算（因为1度等于60分）。
然后，用$89^\circ 60'$减去$25^\circ 30'$，得到余角度数。
【答案】：
$89^\circ 60' - 25^\circ 30' = 64^\circ 30'$
所以，∠α的余角为$64^\circ 30'$，故选B。
6. (2023·青海)如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOD= 140°,则∠AOC的度数是(
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
A
)A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
答案：【解析】：
本题考查对顶角的性质，即对顶角相等，以及邻补角的性质，即邻补角互补。
已知直线$AB$，$CD$相交于点$O$，$\angle AOD = 140^{\circ}$。
因为$\angle AOC$与$\angle AOD$是邻补角，根据邻补角的性质：邻补角互补，即两角之和为$180^{\circ}$。
所以$\angle AOC + \angle AOD = 180^{\circ}$。
将$\angle AOD = 140^{\circ}$代入上式可得：
$\angle AOC = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$。
【答案】：A。
本题考查对顶角的性质，即对顶角相等，以及邻补角的性质，即邻补角互补。
已知直线$AB$，$CD$相交于点$O$，$\angle AOD = 140^{\circ}$。
因为$\angle AOC$与$\angle AOD$是邻补角，根据邻补角的性质：邻补角互补，即两角之和为$180^{\circ}$。
所以$\angle AOC + \angle AOD = 180^{\circ}$。
将$\angle AOD = 140^{\circ}$代入上式可得：
$\angle AOC = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$。
【答案】：A。
7. 如图,已知点A,O,E在同一条直线上,∠AOB= 40°,∠EOD= 30°,OD平分∠COE,则∠BOC的度数为______.
80°
答案：解：∵点A，O，E在同一条直线上，
∴∠AOE=180°。
∵OD平分∠COE，∠EOD=30°，
∴∠COE=2∠EOD=2×30°=60°。
∵∠AOB=40°，
∴∠BOC=∠AOE - ∠AOB - ∠COE=180° - 40° - 60°=80°。
故∠BOC的度数为80°。
∴∠AOE=180°。
∵OD平分∠COE，∠EOD=30°，
∴∠COE=2∠EOD=2×30°=60°。
∵∠AOB=40°，
∴∠BOC=∠AOE - ∠AOB - ∠COE=180° - 40° - 60°=80°。
故∠BOC的度数为80°。
8. 若一个角的余角比它的补角的一半小20°,求这个角的度数.
答案：解：设这个角的度数为$x$。
由题意得：$90^{\circ}-x = \frac{1}{2}(180^{\circ}-x)-20^{\circ}$
去括号：$90^{\circ}-x = 90^{\circ}-\frac{1}{2}x - 20^{\circ}$
化简：$90^{\circ}-x = 70^{\circ}-\frac{1}{2}x$
移项：$-x + \frac{1}{2}x = 70^{\circ}-90^{\circ}$
合并同类项：$-\frac{1}{2}x = -20^{\circ}$
解得：$x = 40^{\circ}$
答：这个角的度数为$40^{\circ}$。
由题意得：$90^{\circ}-x = \frac{1}{2}(180^{\circ}-x)-20^{\circ}$
去括号：$90^{\circ}-x = 90^{\circ}-\frac{1}{2}x - 20^{\circ}$
化简：$90^{\circ}-x = 70^{\circ}-\frac{1}{2}x$
移项：$-x + \frac{1}{2}x = 70^{\circ}-90^{\circ}$
合并同类项：$-\frac{1}{2}x = -20^{\circ}$
解得：$x = 40^{\circ}$
答：这个角的度数为$40^{\circ}$。
9. 如图,∠AOB= 90°,射线OC绕点O从OA位置开始,以每秒4°的速度按顺时针方向旋转,同时,射线OD绕点O从OB位置开始,以每秒1°的速度按逆时针方向旋转.当OC与OA成180°角时,OC与OD同时停止旋转.设旋转的时间为t s.
(1) 当t= 10时,∠COD= ______
(2) 当∠COD= 30°时,求t的值；
(3) 当OB平分∠COD时,求t的值；
(1) 当t= 10时,∠COD= ______
40°
；(2) 当∠COD= 30°时,求t的值；
解：由题意得∠AOC=4t°，∠BOD=t°.
分两种情况：
① OC、OD在∠AOB内部时，∠COD=90° - 4t - t=30°，
即90 - 5t=30，解得t=12.
② OC在OB下方，OD在OA右侧时，∠AOC=4t°，∠BOD=t°，
∠COD=4t + t - 90=30，即5t=120，解得t=24.
综上，t=12或24.
分两种情况：
① OC、OD在∠AOB内部时，∠COD=90° - 4t - t=30°，
即90 - 5t=30，解得t=12.
② OC在OB下方，OD在OA右侧时，∠AOC=4t°，∠BOD=t°，
∠COD=4t + t - 90=30，即5t=120，解得t=24.
综上，t=12或24.
(3) 当OB平分∠COD时,求t的值；
解：当OB平分∠COD时，∠COB=∠BOD=t°.
∵∠AOC=4t°，∠AOB=90°，
∴∠COB=∠AOB - ∠AOC=90° - 4t°，
则90 - 4t=t，解得t=18.
∵∠AOC=4t°，∠AOB=90°，
∴∠COB=∠AOB - ∠AOC=90° - 4t°，
则90 - 4t=t，解得t=18.
答案：(1) 解：当t=10时，∠AOC=4°×10=40°，∠BOD=1°×10=10°.
∵∠AOB=90°，
∴∠COD=∠AOB - ∠AOC - ∠BOD=90° - 40° - 10°=40°.
(2) 解：由题意得∠AOC=4t°，∠BOD=t°.
分两种情况：
① OC、OD在∠AOB内部时，∠COD=90° - 4t - t=30°，
即90 - 5t=30，解得t=12.
② OC在OB下方，OD在OA右侧时，∠AOC=4t°，∠BOD=t°，
∠COD=4t + t - 90=30，即5t=120，解得t=24.
综上，t=12或24.
(3) 解：当OB平分∠COD时，∠COB=∠BOD=t°.
∵∠AOC=4t°，∠AOB=90°，
∴∠COB=∠AOB - ∠AOC=90° - 4t°，
则90 - 4t=t，解得t=18.
∵∠AOB=90°，
∴∠COD=∠AOB - ∠AOC - ∠BOD=90° - 40° - 10°=40°.
(2) 解：由题意得∠AOC=4t°，∠BOD=t°.
分两种情况：
① OC、OD在∠AOB内部时，∠COD=90° - 4t - t=30°，
即90 - 5t=30，解得t=12.
② OC在OB下方，OD在OA右侧时，∠AOC=4t°，∠BOD=t°，
∠COD=4t + t - 90=30，即5t=120，解得t=24.
综上，t=12或24.
(3) 解：当OB平分∠COD时，∠COB=∠BOD=t°.
∵∠AOC=4t°，∠AOB=90°，
∴∠COB=∠AOB - ∠AOC=90° - 4t°，
则90 - 4t=t，解得t=18.