13. 数轴上有 A,B 两点,已知点 A,B 表示的数分别为-3 和 m.若点 B 在点 A 左侧,且与点 A 相距 5.5 个单位长度,则 m
>
-9.(填“>”“<”或“=”)答案:【解析】:
首先,我们明确题目给出的条件:点A表示的数是-3,点B表示的数是m,且点B在点A的左侧,并与点A相距5.5个单位长度。
根据数轴上两点间的距离公式,两点$x_1$和$x_2$之间的距离为$|x_1 - x_2|$。
所以,点A和点B之间的距离可以表示为$|-3 - m|$。
根据题意,这个距离等于5.5,所以我们有方程:
$|-3 - m| = 5.5$
解这个方程,我们得到两个可能的
$m = -3 - 5.5 = -8.5$ 或 $m = -3 + 5.5 = 2.5$。
但由于题目明确指出点B在点A的左侧,所以我们只取 $m = -8.5$ 这个解。
最后,我们比较 $m$ 和 $-9$ 的大小。
显然,$-8.5 > -9$。
【答案】:
>
首先,我们明确题目给出的条件:点A表示的数是-3,点B表示的数是m,且点B在点A的左侧,并与点A相距5.5个单位长度。
根据数轴上两点间的距离公式,两点$x_1$和$x_2$之间的距离为$|x_1 - x_2|$。
所以,点A和点B之间的距离可以表示为$|-3 - m|$。
根据题意,这个距离等于5.5,所以我们有方程:
$|-3 - m| = 5.5$
解这个方程,我们得到两个可能的
$m = -3 - 5.5 = -8.5$ 或 $m = -3 + 5.5 = 2.5$。
但由于题目明确指出点B在点A的左侧,所以我们只取 $m = -8.5$ 这个解。
最后,我们比较 $m$ 和 $-9$ 的大小。
显然,$-8.5 > -9$。
【答案】:
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14. 如图,A,B 是数轴上的两点,且点 A 表示的数是-3.
(1) 若将点 A 向右移动 4 个单位长度后与点 B 重合,则点 B 表示的数是
(2) 若将数轴沿点 A 向右折叠,则与(1)中点 B 重合的点表示的数是
(3) 若(1)中点 B 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向左运动,点 A 不动,则经过多长时间,点 B 与点 A 之间的距离为 2 个单位长度?

(1) 若将点 A 向右移动 4 个单位长度后与点 B 重合,则点 B 表示的数是
1
;(2) 若将数轴沿点 A 向右折叠,则与(1)中点 B 重合的点表示的数是
-7
;(3) 若(1)中点 B 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向左运动,点 A 不动,则经过多长时间,点 B 与点 A 之间的距离为 2 个单位长度?

解:设经过$t$秒,点$B$与点$A$之间的距离为$2$个单位长度。$t$秒后点$B$表示的数为$1 - 2t$,点$A$表示的数为$-3$。由题意得$\vert1 - 2t - (-3)\vert = 2$,即$\vert4 - 2t\vert = 2$。当$4 - 2t = 2$时,$-2t = -2$,$t = 1$;当$4 - 2t = -2$时,$-2t = -6$,$t = 3$。综上,经过$1$秒或$3$秒,点$B$与点$A$之间的距离为$2$个单位长度。
答案:【解析】:
本题主要考查了数轴上点的移动规律、对称性质以及距离计算等知识点。
(1)点$A$表示的数是$-3$,将点$A$向右移动$4$个单位长度,根据数轴上点的移动规律“右加左减”,即$-3 + 4 = 1$,所以点$B$表示的数是$1$。
(2)将数轴沿点$A$(表示的数为$-3$)向右折叠,求与(1)中点$B$(表示的数为$1$)重合的点表示的数。先计算点$A$到点$B$的距离为$\vert1 - (-3)\vert = 4$,那么与点$B$重合的点到点$A$的距离也为$4$,且在点$A$左侧,所以该点表示的数为$-3 - 4 = -7$。
(3)设经过$t$秒,点$B$与点$A$之间的距离为$2$个单位长度。点$B$以每秒$2$个单位长度的速度沿数轴向左运动,$t$秒后点$B$表示的数为$1 - 2t$,点$A$表示的数为$-3$。根据两点间距离公式$\vert x_2 - x_1\vert$(这里$x_1$为点$A$表示的数,$x_2$为$t$秒后点$B$表示的数),可列出方程$\vert1 - 2t - (-3)\vert = 2$,即$\vert4 - 2t\vert = 2$,然后分情况讨论去掉绝对值符号求解$t$。
【答案】:
(1)$1$
(2)$-7$
(3)解:设经过$t$秒,点$B$与点$A$之间的距离为$2$个单位长度。
$t$秒后点$B$表示的数为$1 - 2t$,点$A$表示的数为$-3$。
由题意得$\vert1 - 2t - (-3)\vert = 2$,即$\vert4 - 2t\vert = 2$。
当$4 - 2t = 2$时,
$-2t = 2 - 4$
$-2t = -2$
$t = 1$
当$4 - 2t = -2$时,
$-2t = -2 - 4$
$-2t = -6$
$t = 3$
综上,经过$1$秒或$3$秒,点$B$与点$A$之间的距离为$2$个单位长度。
本题主要考查了数轴上点的移动规律、对称性质以及距离计算等知识点。
(1)点$A$表示的数是$-3$,将点$A$向右移动$4$个单位长度,根据数轴上点的移动规律“右加左减”,即$-3 + 4 = 1$,所以点$B$表示的数是$1$。
(2)将数轴沿点$A$(表示的数为$-3$)向右折叠,求与(1)中点$B$(表示的数为$1$)重合的点表示的数。先计算点$A$到点$B$的距离为$\vert1 - (-3)\vert = 4$,那么与点$B$重合的点到点$A$的距离也为$4$,且在点$A$左侧,所以该点表示的数为$-3 - 4 = -7$。
(3)设经过$t$秒,点$B$与点$A$之间的距离为$2$个单位长度。点$B$以每秒$2$个单位长度的速度沿数轴向左运动,$t$秒后点$B$表示的数为$1 - 2t$,点$A$表示的数为$-3$。根据两点间距离公式$\vert x_2 - x_1\vert$(这里$x_1$为点$A$表示的数,$x_2$为$t$秒后点$B$表示的数),可列出方程$\vert1 - 2t - (-3)\vert = 2$,即$\vert4 - 2t\vert = 2$,然后分情况讨论去掉绝对值符号求解$t$。
【答案】:
(1)$1$
(2)$-7$
(3)解:设经过$t$秒,点$B$与点$A$之间的距离为$2$个单位长度。
$t$秒后点$B$表示的数为$1 - 2t$,点$A$表示的数为$-3$。
由题意得$\vert1 - 2t - (-3)\vert = 2$,即$\vert4 - 2t\vert = 2$。
当$4 - 2t = 2$时,
$-2t = 2 - 4$
$-2t = -2$
$t = 1$
当$4 - 2t = -2$时,
$-2t = -2 - 4$
$-2t = -6$
$t = 3$
综上,经过$1$秒或$3$秒,点$B$与点$A$之间的距离为$2$个单位长度。
15. 新趋势 情境素材 如图,数轴上 P,O,Q,R,S 五点分别表示某城市一条大街上的五个公交车站点(1 个单位长度表示1 km).若有一辆公交车距 P 站点 3 km,距 Q 站点 0.7 km,则这辆公交车的位置在(
A.R 站点与 S 站点之间
B.P 站点与 O 站点之间
C.O 站点与 Q 站点之间
D.Q 站点与 R 站点之间
D
)A.R 站点与 S 站点之间
B.P 站点与 O 站点之间
C.O 站点与 Q 站点之间
D.Q 站点与 R 站点之间
答案:【解析】:本题可先根据数轴上各点的位置确定$P$、$Q$两点间的距离,再结合已知条件判断公交车的位置。
步骤一:确定$P$、$Q$两点间的距离
由数轴可知,$P$点表示的数为$-1.3$,$Q$点表示的数为$1$,根据数轴上两点间的距离公式:若数轴上两点所表示的数分别为$a$、$b$,则这两点间的距离为$\vert a - b\vert$,可得$P$、$Q$两点间的距离为:
$\vert1 - (-1.3)\vert=\vert1 + 1.3\vert = 2.3$($km$)
步骤二:分析公交车的位置
已知有一辆公交车距$P$站点$3km$,距$Q$站点$0.7km$。
因为$3 - 2.3 = 0.7$($km$),这表明从$P$点往$Q$点方向移动$3km$,刚好超过$Q$点$0.7km$,而$R$点距离$Q$点的距离为$2.4 - 1 = 1.4$($km$),$0.7km\lt1.4km$,所以公交车在$Q$点与$R$点之间。
【答案】:D
步骤一:确定$P$、$Q$两点间的距离
由数轴可知,$P$点表示的数为$-1.3$,$Q$点表示的数为$1$,根据数轴上两点间的距离公式:若数轴上两点所表示的数分别为$a$、$b$,则这两点间的距离为$\vert a - b\vert$,可得$P$、$Q$两点间的距离为:
$\vert1 - (-1.3)\vert=\vert1 + 1.3\vert = 2.3$($km$)
步骤二:分析公交车的位置
已知有一辆公交车距$P$站点$3km$,距$Q$站点$0.7km$。
因为$3 - 2.3 = 0.7$($km$),这表明从$P$点往$Q$点方向移动$3km$,刚好超过$Q$点$0.7km$,而$R$点距离$Q$点的距离为$2.4 - 1 = 1.4$($km$),$0.7km\lt1.4km$,所以公交车在$Q$点与$R$点之间。
【答案】:D
16. 数轴上的 A,B,C,D 四点分别表示数 a,b,c,d,已知点 A 在点 B 的左侧,点 C 在点 B 的左侧,点 D 在点 C 与点 B 之间,给出下列结论:① $ a < b < c < d $;② $ b < c < d < a $;③ $ c < d < a < b $;④ $ c < d < b < a $;⑤ $ a < c < d < b $.其中可能成立的是____.(填序号)
③⑤
答案:【解析】:
题目考查了数轴上点的位置与数的大小关系。在数轴上,越靠左的点表示的数越小,越靠右的点表示的数越大。
根据题意,点A在点B的左侧,所以有 $a < b$;
点C在点B的左侧,所以有 $c < b$;
点D在点C与点B之间,所以有 $c < d < b$。
接下来,我们需要考虑A和D之间的关系。
对于① $ a < b < c < d $:由于 $c < d$,这与题意矛盾,所以①不可能成立。
对于② $ b < c < d < a $:由于 $a < b$ 和 $c < b$,这与题意矛盾,所以②不可能成立。
对于③ $ c < d < a < b $:这是可能的,因为已知 $c < d < b$,并且A可以在D的左侧但仍在B的左侧。
对于④ $ c < d < b < a $:由于 $a < b$,这与题意矛盾,所以④不可能成立。
对于⑤ $ a < c < d < b $:这也是可能的,因为A可以在C的左侧,C在B的左侧,D在C和B之间。
【答案】:
③⑤
题目考查了数轴上点的位置与数的大小关系。在数轴上,越靠左的点表示的数越小,越靠右的点表示的数越大。
根据题意,点A在点B的左侧,所以有 $a < b$;
点C在点B的左侧,所以有 $c < b$;
点D在点C与点B之间,所以有 $c < d < b$。
接下来,我们需要考虑A和D之间的关系。
对于① $ a < b < c < d $:由于 $c < d$,这与题意矛盾,所以①不可能成立。
对于② $ b < c < d < a $:由于 $a < b$ 和 $c < b$,这与题意矛盾,所以②不可能成立。
对于③ $ c < d < a < b $:这是可能的,因为已知 $c < d < b$,并且A可以在D的左侧但仍在B的左侧。
对于④ $ c < d < b < a $:由于 $a < b$,这与题意矛盾,所以④不可能成立。
对于⑤ $ a < c < d < b $:这也是可能的,因为A可以在C的左侧,C在B的左侧,D在C和B之间。
【答案】:
③⑤
17. 亮点原创 【阅读材料】
(1) 如图,有一根木棒放置在数轴上(1 个单位长度表示 1 mm),它的两端 M,N 分别落在 A,B 两点处.将木棒在数轴上水平移动,当点 M 移动到点 B 时,点 N 表示的数为2025;当点 N 移动到点 A 时,点 M 表示的数为 507.由此可得这根木棒的长为____

【解决问题】
(2) 一天,兰兰去问张老师的年龄,张老师说:“我若是你现在这么大,你还要23 年才出生呢,你若是我现在这么大,我已经 85 岁了,哈哈!”兰兰纳闷,张老师今年到底是多少岁? 请你画出示意图,求出兰兰和张老师今年的年龄,并说明解题思路.
(1) 如图,有一根木棒放置在数轴上(1 个单位长度表示 1 mm),它的两端 M,N 分别落在 A,B 两点处.将木棒在数轴上水平移动,当点 M 移动到点 B 时,点 N 表示的数为2025;当点 N 移动到点 A 时,点 M 表示的数为 507.由此可得这根木棒的长为____
506
mm;
【解决问题】
(2) 一天,兰兰去问张老师的年龄,张老师说:“我若是你现在这么大,你还要23 年才出生呢,你若是我现在这么大,我已经 85 岁了,哈哈!”兰兰纳闷,张老师今年到底是多少岁? 请你画出示意图,求出兰兰和张老师今年的年龄,并说明解题思路.
兰兰今年13岁,张老师今年49岁。解题思路:设兰兰今年$x$岁,张老师今年$y$岁。根据“张老师若是兰兰现在这么大,兰兰还要23年才出生”可知年龄差为$x + 23$,即$y - x = x + 23$;根据“兰兰若是张老师现在这么大,张老师已经85岁”可知年龄差为$85 - y$,即$85 - y = y - x$。联立方程组$\begin{cases}y - x = x + 23\\85 - y = y - x\end{cases}$,解得$x = 13$,$y = 49$。
答案:【解析】:
(1)本题可通过设未知数,根据木棒长度不变列出方程求解。
设木棒的长度为$x$mm,点$A$表示的数为$a$。
当点$M$移动到点$B$时,点$N$表示的数为$2025$,此时$N$点对应的数比$A$点对应的数大木棒的长度$x$,则$a + x+x = 2025$。
当点$N$移动到点$A$时,点$M$表示的数为$507$,此时$A$点对应的数比$M$点对应的数小木棒的长度$x$,则$a=507 + x$。
将$a = 507 + x$代入$a + 2x = 2025$中,可得$507 + x+x = 2025$,
即$507 + 2x = 2025$,
移项可得$2x = 2025 - 507$,
即$2x = 1518$,
两边同时除以$2$,解得$x = 506×2÷2=506$。
所以这根木棒的长为$506$mm。
(2)本题可通过设未知数,根据年龄差不变列出方程求解。
设兰兰今年$x$岁,张老师今年$y$岁。
张老师若是你现在这么大,你还要$23$年才出生,说明张老师和兰兰的年龄差为$x + 23$,即$y - x = x + 23$。
你若是张老师现在这么大,张老师已经$85$岁了,说明张老师和兰兰的年龄差为$85 - y$,即$85 - y = y - x$。
联立可得方程组$\begin{cases}y - x = x + 23\\85 - y = y - x\end{cases}$,
由$y - x = x + 23$可得$y = 2x + 23$,
将$y = 2x + 23$代入$85 - y = y - x$中,得到$85 - (2x + 23) = 2x + 23 - x$,
去括号得$85 - 2x - 23 = 2x + 23 - x$,
即$62 - 2x = x + 23$,
移项得$-2x - x = 23 - 62$,
合并同类项得$-3x = -39$,
两边同时除以$-3$,解得$x = 13$。
将$x = 13$代入$y = 2x + 23$,可得$y = 2×13 + 23 = 49$。
解题思路:本题关键在于理解两人年龄差始终不变,通过设未知数,根据不同情况下年龄差的关系列出方程组求解。
【答案】:
(1)$506$;
(2)兰兰今年$13$岁,张老师今年$49$岁。图略,解题思路见上述解析。
(1)本题可通过设未知数,根据木棒长度不变列出方程求解。
设木棒的长度为$x$mm,点$A$表示的数为$a$。
当点$M$移动到点$B$时,点$N$表示的数为$2025$,此时$N$点对应的数比$A$点对应的数大木棒的长度$x$,则$a + x+x = 2025$。
当点$N$移动到点$A$时,点$M$表示的数为$507$,此时$A$点对应的数比$M$点对应的数小木棒的长度$x$,则$a=507 + x$。
将$a = 507 + x$代入$a + 2x = 2025$中,可得$507 + x+x = 2025$,
即$507 + 2x = 2025$,
移项可得$2x = 2025 - 507$,
即$2x = 1518$,
两边同时除以$2$,解得$x = 506×2÷2=506$。
所以这根木棒的长为$506$mm。
(2)本题可通过设未知数,根据年龄差不变列出方程求解。
设兰兰今年$x$岁,张老师今年$y$岁。
张老师若是你现在这么大,你还要$23$年才出生,说明张老师和兰兰的年龄差为$x + 23$,即$y - x = x + 23$。
你若是张老师现在这么大,张老师已经$85$岁了,说明张老师和兰兰的年龄差为$85 - y$,即$85 - y = y - x$。
联立可得方程组$\begin{cases}y - x = x + 23\\85 - y = y - x\end{cases}$,
由$y - x = x + 23$可得$y = 2x + 23$,
将$y = 2x + 23$代入$85 - y = y - x$中,得到$85 - (2x + 23) = 2x + 23 - x$,
去括号得$85 - 2x - 23 = 2x + 23 - x$,
即$62 - 2x = x + 23$,
移项得$-2x - x = 23 - 62$,
合并同类项得$-3x = -39$,
两边同时除以$-3$,解得$x = 13$。
将$x = 13$代入$y = 2x + 23$,可得$y = 2×13 + 23 = 49$。
解题思路:本题关键在于理解两人年龄差始终不变,通过设未知数,根据不同情况下年龄差的关系列出方程组求解。
【答案】:
(1)$506$;
(2)兰兰今年$13$岁,张老师今年$49$岁。图略,解题思路见上述解析。