14. 已知数轴上有A,B两点,点A表示的数的绝对值为2,A,B两点之间的距离为1,则点B表示的数为
$-3$，$-1$，$1$或$3$
.答案：【解析】：
本题主要考察绝对值的定义以及数轴上两点间的距离关系。
首先，根据绝对值的定义，若点A表示的数的绝对值为2，则点A表示的数有两个可能值，即$2$或$-2$。
接着，考虑A、B两点在数轴上的位置关系。由于A、B两点之间的距离为1，因此点B可能位于点A的左侧或右侧，且距离为1。
1. 当点A表示的数为$2$时：
若点B在点A的左侧，则点B表示的数为$2 - 1 = 1$；
若点B在点A的右侧，则点B表示的数为$2 + 1 = 3$。
2. 当点A表示的数为$-2$时：
若点B在点A的左侧，则点B表示的数为$-2 - 1 = -3$；
若点B在点A的右侧，则点B表示的数为$-2 + 1 = -1$。
综合以上四种情况，点B表示的数可能为$-3$，$-1$，$1$或$3$。
【答案】：
$-3$，$-1$，$1$或$3$。
本题主要考察绝对值的定义以及数轴上两点间的距离关系。
首先，根据绝对值的定义，若点A表示的数的绝对值为2，则点A表示的数有两个可能值，即$2$或$-2$。
接着，考虑A、B两点在数轴上的位置关系。由于A、B两点之间的距离为1，因此点B可能位于点A的左侧或右侧，且距离为1。
1. 当点A表示的数为$2$时：
若点B在点A的左侧，则点B表示的数为$2 - 1 = 1$；
若点B在点A的右侧，则点B表示的数为$2 + 1 = 3$。
2. 当点A表示的数为$-2$时：
若点B在点A的左侧，则点B表示的数为$-2 - 1 = -3$；
若点B在点A的右侧，则点B表示的数为$-2 + 1 = -1$。
综合以上四种情况，点B表示的数可能为$-3$，$-1$，$1$或$3$。
【答案】：
$-3$，$-1$，$1$或$3$。
15. 新趋势 推导探究 阅读下面的材料:
我们知道$|x|$的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离,即$|x|= |x-0|$.也可以说,$|x|$表示数轴上数x与数0对应点之间的距离.这个结论可以推广为$|x_{1}-x_{2}|表示数轴上数x_{1}与数x_{2}$对应点之间的距离.
例1:已知$|x|= 2$,求x的值.
解:因为在数轴上与原点距离为2的点表示的数是-2或2,所以x的值是-2或2.
例2:已知$|x-1|= 2$,求x的值.
解:因为在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数是3或-1,所以x的值是3或-1.
仿照材料中的解法,求下列各式中x的值:
(1)$|x|= 3$; (2)$|x-(-2)|= 4$.
我们知道$|x|$的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离,即$|x|= |x-0|$.也可以说,$|x|$表示数轴上数x与数0对应点之间的距离.这个结论可以推广为$|x_{1}-x_{2}|表示数轴上数x_{1}与数x_{2}$对应点之间的距离.
例1:已知$|x|= 2$,求x的值.
解:因为在数轴上与原点距离为2的点表示的数是-2或2,所以x的值是-2或2.
例2:已知$|x-1|= 2$,求x的值.
解:因为在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数是3或-1,所以x的值是3或-1.
仿照材料中的解法,求下列各式中x的值:
(1)$|x|= 3$; (2)$|x-(-2)|= 4$.
答案：【解析】：
本题主要考察绝对值的定义和几何意义。
对于 $|x| = 3$，需要理解绝对值表示的是数轴上两点之间的距离。
因此，$|x| = 3$ 可以理解为数轴上某点与原点的距离为3，这个点可以是3或者-3。
对于 $|x - (-2)| = 4$，需要将其转化为数轴上两点之间的距离问题。
即数轴上某点与-2对应的点的距离为4，这个点可以是2或者-6。
【答案】：
(1) 解：
因为在数轴上与原点距离为3的点表示的数是3或-3，
所以 $x$ 的值是3或-3。
(2) 解：
因为 $|x - (-2)| = |x + 2| = 4$，
在数轴上与-2对应的点的距离为4的点表示的数是2或-6，
所以 $x$ 的值是2或-6。
本题主要考察绝对值的定义和几何意义。
对于 $|x| = 3$，需要理解绝对值表示的是数轴上两点之间的距离。
因此，$|x| = 3$ 可以理解为数轴上某点与原点的距离为3，这个点可以是3或者-3。
对于 $|x - (-2)| = 4$，需要将其转化为数轴上两点之间的距离问题。
即数轴上某点与-2对应的点的距离为4，这个点可以是2或者-6。
【答案】：
(1) 解：
因为在数轴上与原点距离为3的点表示的数是3或-3，
所以 $x$ 的值是3或-3。
(2) 解：
因为 $|x - (-2)| = |x + 2| = 4$，
在数轴上与-2对应的点的距离为4的点表示的数是2或-6，
所以 $x$ 的值是2或-6。
16. 一条笔直的公路上有5个人,他们站的位置在数轴上依次用点$A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5}$表示,如图.
(1) 站在点
(2) 怎样将点$A_{3}$移动,使它先到达点$A_{2}$,再到达点$A_{5}$? 请用文字说明;
(3) 若原点是超市,这5个人都需要来超市购物,则这5个人到达超市购物的总路程是多少?
(1) 站在点
$A_{1}$
上的人表示的数绝对值最大,站在点$A_{2}$
和点$A_{4}$
、点$A_{1}$
和点$A_{5}$
上的人表示的数到原点的距离相等;(2) 怎样将点$A_{3}$移动,使它先到达点$A_{2}$,再到达点$A_{5}$? 请用文字说明;
解：将点$A_{3}$先向左移动2个单位长度到达点$A_{2}$，再向右移动6个单位长度到达点$A_{5}$。
(3) 若原点是超市,这5个人都需要来超市购物,则这5个人到达超市购物的总路程是多少?
解：由图可知，点$A_{1}$表示$-4$，$A_{2}$表示$-3$，$A_{3}$表示$-1$，$A_{4}$表示$1$，$A_{5}$表示$3$。
总路程为$|-4| + |-3| + |-1| + |1| + |3| = 4 + 3 + 1 + 1 + 3 = 12$。
答：这5个人到达超市购物的总路程是12。
总路程为$|-4| + |-3| + |-1| + |1| + |3| = 4 + 3 + 1 + 1 + 3 = 12$。
答：这5个人到达超市购物的总路程是12。
答案：(1) $A_{1}$；$A_{2}$，$A_{4}$；$A_{1}$，$A_{5}$
(2) 解：将点$A_{3}$先向左移动2个单位长度到达点$A_{2}$，再向右移动6个单位长度到达点$A_{5}$。
(3) 解：由图可知，点$A_{1}$表示$-4$，$A_{2}$表示$-3$，$A_{3}$表示$-1$，$A_{4}$表示$1$，$A_{5}$表示$3$。
总路程为$|-4| + |-3| + |-1| + |1| + |3| = 4 + 3 + 1 + 1 + 3 = 12$。
答：这5个人到达超市购物的总路程是12。
(2) 解：将点$A_{3}$先向左移动2个单位长度到达点$A_{2}$，再向右移动6个单位长度到达点$A_{5}$。
(3) 解：由图可知，点$A_{1}$表示$-4$，$A_{2}$表示$-3$，$A_{3}$表示$-1$，$A_{4}$表示$1$，$A_{5}$表示$3$。
总路程为$|-4| + |-3| + |-1| + |1| + |3| = 4 + 3 + 1 + 1 + 3 = 12$。
答：这5个人到达超市购物的总路程是12。
17. 给出下列结论:① 若$a= b$,则$|a|= |b|$;② 若$|a|= |b|$,则$a= b$;③ 若$a \neq b$,则$|a| \neq|b|$;④ 若$|a| \neq|b|$,则$a \neq b$.其中正确的个数为(
A.4
B.3
C.2
D.1
C
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案：【解析】：
本题主要考察绝对值的定义和性质。
① 若 $a = b$，则 $|a| = |b|$。
这个结论是正确的。因为绝对值的定义是一个数到0的距离，所以如果两个数相等，那么它们到0的距离也必然相等。
② 若 $|a| = |b|$，则 $a = b$。
这个结论是错误的。例如，当 $a = 2$ 和 $b = -2$ 时，$|a| = |b| = 2$，但 $a \neq b$。
③ 若 $a \neq b$，则 $|a| \neq |b|$。
这个结论是错误的。例如，当 $a = 2$ 和 $b = -2$ 时，$a \neq b$，但 $|a| = |b| = 2$。
④ 若 $|a| \neq |b|$，则 $a \neq b$。
这个结论是正确的。因为如果两个数的绝对值不相等，那么这两个数本身也不可能相等。
【答案】：
C
本题主要考察绝对值的定义和性质。
① 若 $a = b$，则 $|a| = |b|$。
这个结论是正确的。因为绝对值的定义是一个数到0的距离，所以如果两个数相等，那么它们到0的距离也必然相等。
② 若 $|a| = |b|$，则 $a = b$。
这个结论是错误的。例如，当 $a = 2$ 和 $b = -2$ 时，$|a| = |b| = 2$，但 $a \neq b$。
③ 若 $a \neq b$，则 $|a| \neq |b|$。
这个结论是错误的。例如，当 $a = 2$ 和 $b = -2$ 时，$a \neq b$，但 $|a| = |b| = 2$。
④ 若 $|a| \neq |b|$，则 $a \neq b$。
这个结论是正确的。因为如果两个数的绝对值不相等，那么这两个数本身也不可能相等。
【答案】：
C
18. (2025·江苏镇江期末)如图,四个数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q.若$n+q= 0$,则m,n,p,q这四个数中,绝对值最大的是(
A.p
B.q
C.m
D.n
A
)A.p
B.q
C.m
D.n
答案：解：∵n+q=0，∴n与q互为相反数，原点为线段NQ的中点。
由数轴可知，点M、N、P、Q的位置从左到右为P＜N＜M＜Q，且点P到原点的距离最大。
∴绝对值最大的是p。
答案：A
由数轴可知，点M、N、P、Q的位置从左到右为P＜N＜M＜Q，且点P到原点的距离最大。
∴绝对值最大的是p。
答案：A
19. 若$|a-2|+|b-3|= 0$,则$a+b= $
5
.答案：【解析】：
本题主要考察绝对值的性质。根据绝对值的定义，对于任意实数$x$，有$|x| \geq 0$，且$|x| = 0$当且仅当$x = 0$。
由于$|a-2|+|b-3|= 0$，根据绝对值的非负性，可以得出两个方程：
$|a-2| = 0$，解得$a = 2$；
$|b-3| = 0$，解得$b = 3$。
因此，$a+b = 2+3 = 5$。
【答案】：
$5$
本题主要考察绝对值的性质。根据绝对值的定义，对于任意实数$x$，有$|x| \geq 0$，且$|x| = 0$当且仅当$x = 0$。
由于$|a-2|+|b-3|= 0$，根据绝对值的非负性，可以得出两个方程：
$|a-2| = 0$，解得$a = 2$；
$|b-3| = 0$，解得$b = 3$。
因此，$a+b = 2+3 = 5$。
【答案】：
$5$
20. 先阅读下面的材料,再解答问题.
我们知道,若A,B两点在数轴上分别表示有理数a,b,则A,B两点之间的距离表示为$|a-b|$,所以式子$|x-3|$的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离.
(1) 若$|x-3|= |x+1|$,则$x=$
(2) 式子$|x-3|+|x+1|$的最小值为
(3) 请说出式子$|x-3|+|x+1|= 7$表示的几何意义,并求出x的值.
几何意义：数轴上表示x的点与表示3的点和表示-1的点之间的距离和为7。
$x = -2.5$ 或 $x = 4.5$
我们知道,若A,B两点在数轴上分别表示有理数a,b,则A,B两点之间的距离表示为$|a-b|$,所以式子$|x-3|$的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离.
(1) 若$|x-3|= |x+1|$,则$x=$
1
;(2) 式子$|x-3|+|x+1|$的最小值为
4
;(3) 请说出式子$|x-3|+|x+1|= 7$表示的几何意义,并求出x的值.
几何意义：数轴上表示x的点与表示3的点和表示-1的点之间的距离和为7。
$x = -2.5$ 或 $x = 4.5$
答案：【解析】：
本题主要考查了绝对值的几何意义和一元一次方程的解法。
(1) 对于 $|x-3| = |x+1|$，我们可以将其转化为数轴上表示x的点与表示3的点和表示-1的点之间的距离相等的问题。
即，x到3的距离等于x到-1的距离，那么x只能是3和-1的中点。
因此，$x = \frac{3 + (-1)}{2} = 1$。
(2) 对于 $|x-3| + |x+1|$ 的最小值，我们可以考虑x在数轴上的位置。
当x在-1和3之间时，$|x-3| + |x+1|$ 表示x到3的距离加上x到-1的距离，这个距离和的最小值就是3到-1的距离，即4。
当x小于-1或大于3时，$|x-3| + |x+1|$ 的值都会大于4。
所以，$|x-3| + |x+1|$ 的最小值为4。
(3) 对于 $|x-3| + |x+1| = 7$，我们可以将其转化为数轴上表示x的点与表示3的点和表示-1的点之间的距离和为7的问题。
通过数轴分析，我们可以找到两个可能的x值，使得x到3的距离加上x到-1的距离等于7。
这两个点分别是-2.5（即-1和3之间的中点再向左移动1.5个单位）和4.5（即-1和3之间的中点再向右移动1.5个单位，但考虑到绝对值的对称性，我们只需取一侧的值即可，另一侧的值可以通过对称性得到，但在此题中，我们直接通过计算得到两个解）。
通过计算，我们可以验证这两个点确实满足条件。
【答案】：
(1) $x = 1$
(2) 最小值为4
(3) 几何意义：数轴上表示x的点与表示3的点和表示-1的点之间的距离和为7。
$x = -2.5$ 或 $x = 4.5$
本题主要考查了绝对值的几何意义和一元一次方程的解法。
(1) 对于 $|x-3| = |x+1|$，我们可以将其转化为数轴上表示x的点与表示3的点和表示-1的点之间的距离相等的问题。
即，x到3的距离等于x到-1的距离，那么x只能是3和-1的中点。
因此，$x = \frac{3 + (-1)}{2} = 1$。
(2) 对于 $|x-3| + |x+1|$ 的最小值，我们可以考虑x在数轴上的位置。
当x在-1和3之间时，$|x-3| + |x+1|$ 表示x到3的距离加上x到-1的距离，这个距离和的最小值就是3到-1的距离，即4。
当x小于-1或大于3时，$|x-3| + |x+1|$ 的值都会大于4。
所以，$|x-3| + |x+1|$ 的最小值为4。
(3) 对于 $|x-3| + |x+1| = 7$，我们可以将其转化为数轴上表示x的点与表示3的点和表示-1的点之间的距离和为7的问题。
通过数轴分析，我们可以找到两个可能的x值，使得x到3的距离加上x到-1的距离等于7。
这两个点分别是-2.5（即-1和3之间的中点再向左移动1.5个单位）和4.5（即-1和3之间的中点再向右移动1.5个单位，但考虑到绝对值的对称性，我们只需取一侧的值即可，另一侧的值可以通过对称性得到，但在此题中，我们直接通过计算得到两个解）。
通过计算，我们可以验证这两个点确实满足条件。
【答案】：
(1) $x = 1$
(2) 最小值为4
(3) 几何意义：数轴上表示x的点与表示3的点和表示-1的点之间的距离和为7。
$x = -2.5$ 或 $x = 4.5$