13. 计算:
(1) $ |(-71)-(-81)|-|3-8| $;
(2) $ 3 \frac{1}{2}-\left[-\frac{1}{5}-(-2)-2-\frac{4}{5}\right] $;
(3) $ -0.25-\left[\frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)-(-1)\right]-\frac{3}{4} $.
(1) $ |(-71)-(-81)|-|3-8| $;
(2) $ 3 \frac{1}{2}-\left[-\frac{1}{5}-(-2)-2-\frac{4}{5}\right] $;
(3) $ -0.25-\left[\frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)-(-1)\right]-\frac{3}{4} $.
答案：(1)解：原式$=|-71 + 81| - |-5|$
$=|10| - 5$
$=10 - 5$
$=5$
(2)解：原式$=3\frac{1}{2} - [-\frac{1}{5} + 2 - 2 - \frac{4}{5}]$
$=3\frac{1}{2} - [(-\frac{1}{5} - \frac{4}{5}) + (2 - 2)]$
$=3\frac{1}{2} - [-1 + 0]$
$=3\frac{1}{2} + 1$
$=4\frac{1}{2}$
(3)解：原式$=-0.25 - [\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 1] - \frac{3}{4}$
$=-0.25 - [1 + 1] - 0.75$
$=-0.25 - 2 - 0.75$
$=(-0.25 - 0.75) - 2$
$=-1 - 2$
$=-3$
$=|10| - 5$
$=10 - 5$
$=5$
(2)解：原式$=3\frac{1}{2} - [-\frac{1}{5} + 2 - 2 - \frac{4}{5}]$
$=3\frac{1}{2} - [(-\frac{1}{5} - \frac{4}{5}) + (2 - 2)]$
$=3\frac{1}{2} - [-1 + 0]$
$=3\frac{1}{2} + 1$
$=4\frac{1}{2}$
(3)解：原式$=-0.25 - [\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 1] - \frac{3}{4}$
$=-0.25 - [1 + 1] - 0.75$
$=-0.25 - 2 - 0.75$
$=(-0.25 - 0.75) - 2$
$=-1 - 2$
$=-3$
14. 新素养 抽象能力 对于任意有理数 $ a,b $,定义一种新的运算“$ \oplus $”：$ a \oplus b= a-|b| $,如：$ 3 \oplus(-2)= 3-|-2|= 3-2= 1 $. 计算下列各式的值:
(1) $ (-2) \oplus 3 $;
(2) $ (-7) \oplus(-6) $;
(3) $ [5 \oplus(-3)] \oplus[3 \oplus(-1)] $.
(1) $ (-2) \oplus 3 $;
(2) $ (-7) \oplus(-6) $;
(3) $ [5 \oplus(-3)] \oplus[3 \oplus(-1)] $.
答案：【解析】：
本题主要考察新定义的运算“$\oplus$”以及有理数的减法运算和绝对值的计算。
(1) 对于$(-2) \oplus 3$，根据定义有：
$(-2) \oplus 3 = -2 - |3| = -2 - 3 = -5$
(2) 对于$(-7) \oplus (-6)$，根据定义有：
$(-7) \oplus (-6) = -7 - |-6| = -7 - 6 = -13$
(3) 对于$[5 \oplus (-3)] \oplus [3 \oplus (-1)]$，首先需要分别计算两个内层的$\oplus$运算：
$5 \oplus (-3) = 5 - |-3| = 5 - 3 = 2$
$3 \oplus (-1) = 3 - |-1| = 3 - 1 = 2$
然后再将这两个结果进行外层的$\oplus$运算：
$2 \oplus 2 = 2 - |2| = 2 - 2 = 0$
【答案】：
(1) $(-2) \oplus 3 = -5$
(2) $(-7) \oplus (-6) = -13$
(3) $[5 \oplus (-3)] \oplus [3 \oplus (-1)] = 0$
本题主要考察新定义的运算“$\oplus$”以及有理数的减法运算和绝对值的计算。
(1) 对于$(-2) \oplus 3$，根据定义有：
$(-2) \oplus 3 = -2 - |3| = -2 - 3 = -5$
(2) 对于$(-7) \oplus (-6)$，根据定义有：
$(-7) \oplus (-6) = -7 - |-6| = -7 - 6 = -13$
(3) 对于$[5 \oplus (-3)] \oplus [3 \oplus (-1)]$，首先需要分别计算两个内层的$\oplus$运算：
$5 \oplus (-3) = 5 - |-3| = 5 - 3 = 2$
$3 \oplus (-1) = 3 - |-1| = 3 - 1 = 2$
然后再将这两个结果进行外层的$\oplus$运算：
$2 \oplus 2 = 2 - |2| = 2 - 2 = 0$
【答案】：
(1) $(-2) \oplus 3 = -5$
(2) $(-7) \oplus (-6) = -13$
(3) $[5 \oplus (-3)] \oplus [3 \oplus (-1)] = 0$
15. (2025·江苏南京期末)有依次排列的 3 个数: $ 6,2,8 $,先将任意相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一个新的数串: $ 6,-4,2,6,8 $,这称为第 1 次操作; 做第 2 次同样操作后也可产生一个新的数串: $ 6,-10,-4,6,2,4,6,2,8 $; 继续依次操作下去,第 2025 次操作后所产生的新数串的所有数之和为(
A.$ 4060 $
B.$ 4062 $
C.$ 4064 $
D.$ 4066 $
D
)A.$ 4060 $
B.$ 4062 $
C.$ 4064 $
D.$ 4066 $
答案：【解析】：
首先，我们分析题目中给出的数列变化规律。
原始数列为：$6, 2, 8$，其和为$6 + 2 + 8 = 16$。
第一次操作后，数列变为：$6, -4, 2, 6, 8$。
我们可以观察到，新增的数是相邻两数的差，即$-4(2-6) $和$ 6(8-2)$，而数列的和增加了$ (-4) + 6 = 2$。
因此，第一次操作后的数列和为$16 + 2 = 18$。
第二次操作后，数列进一步变化，新增的数是第一次操作后相邻两数的差，数列的和又增加了2，变为$18 + 2 = 20$。
通过观察，我们可以发现一个规律：每次操作后，数列的和都会增加2。
这是因为每次操作都会在相邻两数之间插入它们的差，而这个差与它的相反数（即相邻的另一个差）之和为2或者-2，
由于操作是对称的，这些差的总和总是2。
现在，我们需要计算第2025次操作后的数列和。
由于每次操作数列和都增加2，所以第2025次操作后的数列和将是初始和加上$2025 × 2$，
即$16 + 2 × 2025 = 16 + 4050 = 4066$。
【答案】：
D. $4066$。
首先，我们分析题目中给出的数列变化规律。
原始数列为：$6, 2, 8$，其和为$6 + 2 + 8 = 16$。
第一次操作后，数列变为：$6, -4, 2, 6, 8$。
我们可以观察到，新增的数是相邻两数的差，即$-4(2-6) $和$ 6(8-2)$，而数列的和增加了$ (-4) + 6 = 2$。
因此，第一次操作后的数列和为$16 + 2 = 18$。
第二次操作后，数列进一步变化，新增的数是第一次操作后相邻两数的差，数列的和又增加了2，变为$18 + 2 = 20$。
通过观察，我们可以发现一个规律：每次操作后，数列的和都会增加2。
这是因为每次操作都会在相邻两数之间插入它们的差，而这个差与它的相反数（即相邻的另一个差）之和为2或者-2，
由于操作是对称的，这些差的总和总是2。
现在，我们需要计算第2025次操作后的数列和。
由于每次操作数列和都增加2，所以第2025次操作后的数列和将是初始和加上$2025 × 2$，
即$16 + 2 × 2025 = 16 + 4050 = 4066$。
【答案】：
D. $4066$。
16. 已知 $ \left|\frac{1}{2}-1\right|=1-\frac{1}{2},\left|\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}, … $,计算: $ \left|\frac{1}{2}-1\right|+\left|\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right|+\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right|+…+\left|\frac{1}{2025}-\frac{1}{2024}\right|= $
$\frac{2024}{2025}$
.答案：【解析】：
题目考查了有理数的减法及绝对值的性质。
通过观察给出的数列，可以发现每个绝对值表达式中的两项相减结果都为正数，因此可以直接去掉绝对值符号。
即：
$\left|\frac{1}{2}-1\right|+\left|\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right|+\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right|+…+\left|\frac{1}{2025}-\frac{1}{2024}\right|$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$
可以看出，从第二项开始，每两项都会相消，最终只剩下$1-\frac{1}{2025}$。
【答案】：
$\frac{2024}{2025}$
题目考查了有理数的减法及绝对值的性质。
通过观察给出的数列，可以发现每个绝对值表达式中的两项相减结果都为正数，因此可以直接去掉绝对值符号。
即：
$\left|\frac{1}{2}-1\right|+\left|\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right|+\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right|+…+\left|\frac{1}{2025}-\frac{1}{2024}\right|$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$
可以看出，从第二项开始，每两项都会相消，最终只剩下$1-\frac{1}{2025}$。
【答案】：
$\frac{2024}{2025}$
17. 已知 $ |a|= 4,|b|= 6 $.
(1) 求 $ a+b $ 的值;
(2) 若 $ |a-b|= |a|+|b| $,求 $ a-b $ 的值;
(3) 若 $ |a+b|= a+b $,求 $ a-b $ 的值.
(1) 求 $ a+b $ 的值;
(2) 若 $ |a-b|= |a|+|b| $,求 $ a-b $ 的值;
(3) 若 $ |a+b|= a+b $,求 $ a-b $ 的值.
答案：【解析】：
本题主要考察了绝对值的性质和有理数的加减法运算。
(1) 已知 $|a|=4$ 和 $|b|=6$，则 $a$ 的可能取值为 $4$ 或 $-4$，$b$ 的可能取值为 $6$ 或 $-6$。
因此，$a+b$ 的可能取值为 $4+6=10$，$4+(-6)=-2$，$(-4)+6=2$，$(-4)+(-6)=-10$。
(2) 已知 $|a-b|=|a|+|b|$，根据绝对值的性质，当且仅当 $a$ 和 $b$ 异号时，该等式成立。
因此，有两种情况：$a=4, b=-6$ 或 $a=-4, b=6$。
所以，$a-b$ 的可能取值为 $4-(-6)=10$ 或 $-4-6=-10$。
(3) 已知 $|a+b|=a+b$，根据绝对值的性质，当且仅当 $a+b$ 为非负数时，该等式成立。
因此，有两种情况：$a=4, b=6$ 或 $a=-4, b=6$（因为 $a+b$ 必须为非负，所以 $a=-4, b=-6$ 的情况被排除）。
所以，$a-b$ 的可能取值为 $4-6=-2$ 或 $-4-6=-10$。
【答案】：
(1) $a+b$ 的值为 $10$，$-2$，$2$ 或 $-10$。
(2) $a-b$ 的值为 $10$ 或 $-10$。
(3) $a-b$ 的值为 $-2$ 或 $-10$。
本题主要考察了绝对值的性质和有理数的加减法运算。
(1) 已知 $|a|=4$ 和 $|b|=6$，则 $a$ 的可能取值为 $4$ 或 $-4$，$b$ 的可能取值为 $6$ 或 $-6$。
因此，$a+b$ 的可能取值为 $4+6=10$，$4+(-6)=-2$，$(-4)+6=2$，$(-4)+(-6)=-10$。
(2) 已知 $|a-b|=|a|+|b|$，根据绝对值的性质，当且仅当 $a$ 和 $b$ 异号时，该等式成立。
因此，有两种情况：$a=4, b=-6$ 或 $a=-4, b=6$。
所以，$a-b$ 的可能取值为 $4-(-6)=10$ 或 $-4-6=-10$。
(3) 已知 $|a+b|=a+b$，根据绝对值的性质，当且仅当 $a+b$ 为非负数时，该等式成立。
因此，有两种情况：$a=4, b=6$ 或 $a=-4, b=6$（因为 $a+b$ 必须为非负，所以 $a=-4, b=-6$ 的情况被排除）。
所以，$a-b$ 的可能取值为 $4-6=-2$ 或 $-4-6=-10$。
【答案】：
(1) $a+b$ 的值为 $10$，$-2$，$2$ 或 $-10$。
(2) $a-b$ 的值为 $10$ 或 $-10$。
(3) $a-b$ 的值为 $-2$ 或 $-10$。