11. 新趋势 开放探究 将 2,- 7,1,- 5 这四个数(四个数都用且只能用一次)进行“+”“-”“×”“÷”运算(可加括号),使其结果等于 24：
$( - 7 - 1 ) × ( - 5 + 2 )$（答案不唯一）
.答案：【解析】：
这个问题是一个开放探究题，需要使用给定的四个数$2, -7, 1, -5$，通过有理数的混合运算（加、减、乘、除）以及加括号来得到结果24。
首先，可以考虑通过乘法来构造24，因为$24 = 3 × 8 = 4 × 6$等等。
然后，尝试使用给定的数字以及加减除运算来得到这些因数。
经过尝试，可以发现以下一种可能的组合方式：
$( - 7 - 1 ) × ( - 5 + 2 ) = - 8 × ( - 3 ) = 24$，
这样，就找到了一个满足条件的表达式。
【答案】：
$( - 7 - 1 ) × ( - 5 + 2 )$（答案不唯一）。
这个问题是一个开放探究题，需要使用给定的四个数$2, -7, 1, -5$，通过有理数的混合运算（加、减、乘、除）以及加括号来得到结果24。
首先，可以考虑通过乘法来构造24，因为$24 = 3 × 8 = 4 × 6$等等。
然后，尝试使用给定的数字以及加减除运算来得到这些因数。
经过尝试，可以发现以下一种可能的组合方式：
$( - 7 - 1 ) × ( - 5 + 2 ) = - 8 × ( - 3 ) = 24$，
这样，就找到了一个满足条件的表达式。
【答案】：
$( - 7 - 1 ) × ( - 5 + 2 )$（答案不唯一）。
12. 某市管道燃气收费标准如下：每月每户 30 立方米以内(含 30 立方米)收费 2.5 元/立方米,超过部分收费 4 元/立方米.某月小张家用燃气 20 立方米,则应付费
50
元；而小李家用燃气 35 立方米,则应付费95
元.答案：【解析】：
本题主要考察的是有理数的混合运算，特别是与实际情况相结合，如燃气费用的计算。
对于小张家，由于使用的燃气量在30立方米以内，所以直接按照每立方米2.5元的价格计算。
对于小李家，由于使用的燃气量超过了30立方米，所以需要分段计算费用：前30立方米按照每立方米2.5元的价格计算，超出的部分按照每立方米4元的价格计算。
【答案】：
小张家：
$20 × 2.5 = 50$（元）
所以，小张家应付费50元。
小李家：
前30立方米的费用：
$30 × 2.5 = 75$（元）
超出的5立方米的费用：
$5 × 4 = 20$（元）
所以，小李家应付费：
$75 + 20 = 95$（元）
故答案为：50；95。
本题主要考察的是有理数的混合运算，特别是与实际情况相结合，如燃气费用的计算。
对于小张家，由于使用的燃气量在30立方米以内，所以直接按照每立方米2.5元的价格计算。
对于小李家，由于使用的燃气量超过了30立方米，所以需要分段计算费用：前30立方米按照每立方米2.5元的价格计算，超出的部分按照每立方米4元的价格计算。
【答案】：
小张家：
$20 × 2.5 = 50$（元）
所以，小张家应付费50元。
小李家：
前30立方米的费用：
$30 × 2.5 = 75$（元）
超出的5立方米的费用：
$5 × 4 = 20$（元）
所以，小李家应付费：
$75 + 20 = 95$（元）
故答案为：50；95。
13. (2025·江苏常州期末)一个自然数的立方,可以“分裂”为若干个连续奇数的和,例如：$ 2 ^ { 3 } $,$ 3 ^ { 3 } $ 和 $ 4 ^ { 3 } $ 分别可以按如图所示的方式“分裂”为 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和,即：$ 2 ^ { 3 } = 3 + 5 $,$ 3 ^ { 3 } = 7 + 9 + 11 $,$ 4 ^ { 3 } = 13 + 15 + 17 + 19 $,….若 $ 6 ^ { 3 } $ 也按照此规律进行“分裂”,则 $ 6 ^ { 3 } $“分裂”出的奇数中最大的是______
41
.答案：【解析】：
首先，观察给出的数列规律。
对于 $2^3$，分裂为 2 个连续奇数，起始数字为 3。
对于 $3^3$，分裂为 3 个连续奇数，起始数字为 7。
对于 $4^3$，分裂为 4 个连续奇数，起始数字为 13。
可以发现，对于 $n^3$，分裂为 $n$ 个连续奇数，且起始数字为 $n(n-1) + 1$。
基于这个规律，若 $m^3$ 分裂后的第一个奇数为a，
则第m个奇数可以表示为$a+2(m-1)$，
对于 $6^3$，按照规律，将分裂为 6 个连续奇数，起始数字为 $6 × (6-1) + 1 = 31$。
则第6个奇数为：$31+2 × (6-1)=41$。
即 $6^3$ 分裂出的奇数中最大的是 41。
【答案】：
41
首先，观察给出的数列规律。
对于 $2^3$，分裂为 2 个连续奇数，起始数字为 3。
对于 $3^3$，分裂为 3 个连续奇数，起始数字为 7。
对于 $4^3$，分裂为 4 个连续奇数，起始数字为 13。
可以发现，对于 $n^3$，分裂为 $n$ 个连续奇数，且起始数字为 $n(n-1) + 1$。
基于这个规律，若 $m^3$ 分裂后的第一个奇数为a，
则第m个奇数可以表示为$a+2(m-1)$，
对于 $6^3$，按照规律，将分裂为 6 个连续奇数，起始数字为 $6 × (6-1) + 1 = 31$。
则第6个奇数为：$31+2 × (6-1)=41$。
即 $6^3$ 分裂出的奇数中最大的是 41。
【答案】：
41
14. 新素养 运算能力 计算：
(1) $ - 0.5 ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } - | - 2 ^ { 2 } - 4 | - ( - 1 \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 3 } × \frac { 4 } { 9 } $；
(2) $ ( - 2 ) ^ { 3 } - 3 × [ ( - 4 ) ^ { 2 } + 2 ] - ( - 3 ) ^ { 2 } ÷ ( - 2 ) $.
(1) $ - 0.5 ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } - | - 2 ^ { 2 } - 4 | - ( - 1 \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 3 } × \frac { 4 } { 9 } $；
(2) $ ( - 2 ) ^ { 3 } - 3 × [ ( - 4 ) ^ { 2 } + 2 ] - ( - 3 ) ^ { 2 } ÷ ( - 2 ) $.
答案：【解析】：
本题考查了有理数的混合运算，需要按照运算的优先级进行计算，即先乘方，再乘除，最后加减，同时要注意绝对值运算和括号的使用。
(1) 对于第一个表达式，需要分别计算乘方、绝对值和乘法，然后进行加减运算。
(2) 对于第二个表达式，同样需要按照运算的优先级，先计算乘方和括号内的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算。
【答案】：
(1)
解：
$- 0.5^{2} + \frac{1}{4} - | - 2^{2} - 4| - ( - 1\frac{1}{2})^{3} × \frac{4}{9}$
$= - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - | - 4 - 4| - ( - \frac{27}{8} × \frac{4}{9})$
$= 0 - 8 + \frac{3}{2}$
$= - \frac{16}{2} + \frac{3}{2}$
$= - \frac{13}{2}$
(2)
解：
$( - 2)^{3} - 3 × \lbrack( - 4)^{2} + 2\rbrack - ( - 3)^{2} ÷ ( - 2)$
$= - 8 - 3 × (16 + 2) - 9 ÷ ( - 2)$
$= - 8 - 54 + \frac{9}{2}$
$= - 62 + 4.5$
$= - 57.5$
本题考查了有理数的混合运算，需要按照运算的优先级进行计算，即先乘方，再乘除，最后加减，同时要注意绝对值运算和括号的使用。
(1) 对于第一个表达式，需要分别计算乘方、绝对值和乘法，然后进行加减运算。
(2) 对于第二个表达式，同样需要按照运算的优先级，先计算乘方和括号内的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算。
【答案】：
(1)
解：
$- 0.5^{2} + \frac{1}{4} - | - 2^{2} - 4| - ( - 1\frac{1}{2})^{3} × \frac{4}{9}$
$= - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - | - 4 - 4| - ( - \frac{27}{8} × \frac{4}{9})$
$= 0 - 8 + \frac{3}{2}$
$= - \frac{16}{2} + \frac{3}{2}$
$= - \frac{13}{2}$
(2)
解：
$( - 2)^{3} - 3 × \lbrack( - 4)^{2} + 2\rbrack - ( - 3)^{2} ÷ ( - 2)$
$= - 8 - 3 × (16 + 2) - 9 ÷ ( - 2)$
$= - 8 - 54 + \frac{9}{2}$
$= - 62 + 4.5$
$= - 57.5$
15. 取一个非零自然数,若它是奇数,则加上 1；若它是偶数,则除以 2,按此规则循环最终都能得到 1.这个结论在数学上还没有得到证明,但举例验证都是正确的.如图,取自然数 3,经过下面 3 步运算可得到 1.如果非零自然数 $ m $ 恰好经过 5 步运算可得到 1,那么所有符合条件的 $ m $ 的值有 (
A.3 个
B.4 个
C.5 个
D.6 个
C
)A.3 个
B.4 个
C.5 个
D.6 个
答案：解：采用逆推法，从第5步结果1开始反向推导：
第5步：1
第4步：只能是偶数（因奇数+1=偶数≠1），1×2=2
第3步：
若第4步2由偶数÷2得到，则2×2=4
若第4步2由奇数+1得到，则2-1=1（1为奇数，但1经过1步即得1，不符合5步，舍去）
∴第3步只能是4
第2步：
若第3步4由偶数÷2得到，则4×2=8
若第3步4由奇数+1得到，则4-1=3（3为奇数）
∴第2步可能是8或3
第1步：
当第2步为8时：
由偶数÷2得8：8×2=16
由奇数+1得8：8-1=7（7为奇数）
∴可能是16或7
当第2步为3时：
由偶数÷2得3：3×2=6
由奇数+1得3：3-1=2（2为偶数，舍去）
∴只能是6
第0步（m）：
当第1步为16时：
由偶数÷2得16：16×2=32
由奇数+1得16：16-1=15（15为奇数）
∴可能是32或15
当第1步为7时：
由偶数÷2得7：7×2=14
由奇数+1得7：7-1=6（6为偶数，舍去）
∴只能是14
当第1步为6时：
由偶数÷2得6：6×2=12
由奇数+1得6：6-1=5（5为奇数）
∴可能是12或5
综上，m的值为32,15,14,12,5，共5个。
答案：C
第5步：1
第4步：只能是偶数（因奇数+1=偶数≠1），1×2=2
第3步：
若第4步2由偶数÷2得到，则2×2=4
若第4步2由奇数+1得到，则2-1=1（1为奇数，但1经过1步即得1，不符合5步，舍去）
∴第3步只能是4
第2步：
若第3步4由偶数÷2得到，则4×2=8
若第3步4由奇数+1得到，则4-1=3（3为奇数）
∴第2步可能是8或3
第1步：
当第2步为8时：
由偶数÷2得8：8×2=16
由奇数+1得8：8-1=7（7为奇数）
∴可能是16或7
当第2步为3时：
由偶数÷2得3：3×2=6
由奇数+1得3：3-1=2（2为偶数，舍去）
∴只能是6
第0步（m）：
当第1步为16时：
由偶数÷2得16：16×2=32
由奇数+1得16：16-1=15（15为奇数）
∴可能是32或15
当第1步为7时：
由偶数÷2得7：7×2=14
由奇数+1得7：7-1=6（6为偶数，舍去）
∴只能是14
当第1步为6时：
由偶数÷2得6：6×2=12
由奇数+1得6：6-1=5（5为奇数）
∴可能是12或5
综上，m的值为32,15,14,12,5，共5个。
答案：C
16. 新趋势 情境素材 如图,某学校“桃李餐厅”把 WiFi 密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时,思索了一会儿,输入密码,顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.小红输入的密码是______.
24487200
答案：解：观察已知算式：
$5*3⊕6=30184800$，分析数字构成：前两位30，中间两位18，后四位4800。推测规律：$5×6=30$，$3×6=18$，$5×3×6×(5+3+6)=5×3×6×14=1260$，$1260×4=5040$，不符合。换思路：$5×3×20000=300000$，$5×6×600=18000$，$3×6×800=14400$，$300000+18000+14400=332400$，不对。再看数字拆分：30，18，48，00。$5×6=30$，$3×6=18$，$5×3×(5+3)=5×3×8=120$，不对。$5×(3+6+1)=5×10=50$，不对。$5*3=15$，$15×2=30$；$3*6=18$；$5*3*6* (5*3 + 5*6 + 3*6)=15*6*(15+30+18)=90*63=5670$，不对。
换$2*6⊕7=14425600$，前两位14，中间两位42，后四位5600。$2×7=14$，$6×7=42$，$2×6×7×(2+6+7)=2×6×7×15=1260$，$1260×4=5040$，不对。后四位5600，$2×6×7×(2×7 + 6×7)=2×6×7×(14+42)=2×6×7×56=56×84=4704$，不对。$2×6×7×(2+6)×(6+7)×(2+7)=2×6×7×8×13×9=56448$，不对。$2×6×7×200=16800$，$140000+42000+16800=200800$，不对。
再看$9*2⊕5=45105500$，前两位45，中间两位10，后四位5500。$9×5=45$，$2×5=10$，此时前四位4510与已知4510吻合！验证：$5*3⊕6$，前两位$5×6=30$，中间两位$3×6=18$，与$5*3⊕6=30184800$的前四位3018完全一致！
确定前四位规律：前两位为“*”前数ד⊕”后数，中间两位为“*”后数ד⊕”后数。即$a*b⊕c$的前四位为$(a×c)(b×c)$。
验证：$5*3⊕6$前四位$5×6=30$，$3×6=18$→3018，正确；$2*6⊕7$前四位$2×7=14$，$6×7=42$→1442，正确；$9*2⊕5$前四位$9×5=45$，$2×5=10$→4510，正确！
求后四位：$5*3⊕6=30184800$，后四位4800；$2*6⊕7=14425600$，后四位5600；$9*2⊕5=45105500$，后四位5500。
分析后四位：$5*3⊕6$中$a=5,b=3,c=6$，$a×b×c×(a + b)=5×3×6×8=720$，$720×6.666…=4800$，$5×3×(5×6 + 3×6)=15×(30+18)=15×48=720$，$720×6 + 720×0=4320$，不对。$a×b×c×(c + 20)=5×3×6×26=2340$，不对。$a×b×c×(a×c + b×c)=5×3×6×(30+18)=15×6×48=4320$，$4320 + 480=4800$，$480= a×b×c×(c - a - b)=5×3×6×(6-5-3)=15×6×(-2)=-180$，不对。$4800= (5×6)×(3×6)×(5 + 3)=30×18×8=4320$，$4320 + 480=4800$。$2*6⊕7$中$(2×7)×(6×7)×(2 + 6)=14×42×8=4704$，$4704 + 896=5600$，$896=14×42×(7 - 2 - 6)=14×42×(-1)=-588$，不对。$4800= 5×3×6×(5×3 + 5×6 + 3×6)=15×6×(15+30+18)=90×63=5670$，不对。$4800= 5×3×6×(c×4)=5×3×6×26.666…$，不对。换$4800= (5×3×6)×(5 + 3)×(6÷9)=15×6×8×0.666…=720×0.666…=480$，不对。$4800= 5×3×(5×6×3×6)=15×540=8100$，不对。
换思路：$5*3⊕6$后四位4800，$5×3×6×(5×3 + 5×6 + 3×6)÷(5 + 3 + 6)=5×3×6×(15+30+18)÷14=15×6×63÷14=90×4.5=405$，不对。$4800= 5×3×6×(5 + 3)×(6×2)=15×6×8×12=8640$，不对。$4800= (5×6)×(3×6)×(5 + 3)÷(5 + 3 - 6)=30×18×8÷2=30×18×4=2160$，不对。$4800= 5×3×6×(5×3 + 6)=15×6×21=1890$，不对。
观察数字：4800，5600，5500，末尾都是00，前两位48，56，55。$5*3⊕6$中$a×b + a×c + b×c=15 + 30 + 18=63$，不对。$a×c + b×c=30 + 18=48$，$48$后面加两个0→4800！$2*6⊕7$中$a×c + b×c=14 + 42=56$，$56$后面加两个0→5600！$9*2⊕5$中$a×c + b×c=45 + 10=55$，$55$后面加两个0→5500！完全符合！
验证：$a×c + b×c=(a + b)×c$，$5*3⊕6$中$(5 + 3)×6=48$，后四位4800；$2*6⊕7$中$(2 + 6)×7=56$，后四位5600；$9*2⊕5$中$(9 + 2)×5=55$，后四位5500。规律成立！
综上，$a*b⊕c$的密码构成：前两位$a×c$，中间两位$b×c$，后四位$(a + b)×c$后面加两个0。
计算$4*8⊕6$：
前两位：$4×6=24$
中间两位：$8×6=48$
后四位：$(4 + 8)×6=72$，后面加两个0→7200
组合得：24487200
24487200
$5*3⊕6=30184800$，分析数字构成：前两位30，中间两位18，后四位4800。推测规律：$5×6=30$，$3×6=18$，$5×3×6×(5+3+6)=5×3×6×14=1260$，$1260×4=5040$，不符合。换思路：$5×3×20000=300000$，$5×6×600=18000$，$3×6×800=14400$，$300000+18000+14400=332400$，不对。再看数字拆分：30，18，48，00。$5×6=30$，$3×6=18$，$5×3×(5+3)=5×3×8=120$，不对。$5×(3+6+1)=5×10=50$，不对。$5*3=15$，$15×2=30$；$3*6=18$；$5*3*6* (5*3 + 5*6 + 3*6)=15*6*(15+30+18)=90*63=5670$，不对。
换$2*6⊕7=14425600$，前两位14，中间两位42，后四位5600。$2×7=14$，$6×7=42$，$2×6×7×(2+6+7)=2×6×7×15=1260$，$1260×4=5040$，不对。后四位5600，$2×6×7×(2×7 + 6×7)=2×6×7×(14+42)=2×6×7×56=56×84=4704$，不对。$2×6×7×(2+6)×(6+7)×(2+7)=2×6×7×8×13×9=56448$，不对。$2×6×7×200=16800$，$140000+42000+16800=200800$，不对。
再看$9*2⊕5=45105500$，前两位45，中间两位10，后四位5500。$9×5=45$，$2×5=10$，此时前四位4510与已知4510吻合！验证：$5*3⊕6$，前两位$5×6=30$，中间两位$3×6=18$，与$5*3⊕6=30184800$的前四位3018完全一致！
确定前四位规律：前两位为“*”前数ד⊕”后数，中间两位为“*”后数ד⊕”后数。即$a*b⊕c$的前四位为$(a×c)(b×c)$。
验证：$5*3⊕6$前四位$5×6=30$，$3×6=18$→3018，正确；$2*6⊕7$前四位$2×7=14$，$6×7=42$→1442，正确；$9*2⊕5$前四位$9×5=45$，$2×5=10$→4510，正确！
求后四位：$5*3⊕6=30184800$，后四位4800；$2*6⊕7=14425600$，后四位5600；$9*2⊕5=45105500$，后四位5500。
分析后四位：$5*3⊕6$中$a=5,b=3,c=6$，$a×b×c×(a + b)=5×3×6×8=720$，$720×6.666…=4800$，$5×3×(5×6 + 3×6)=15×(30+18)=15×48=720$，$720×6 + 720×0=4320$，不对。$a×b×c×(c + 20)=5×3×6×26=2340$，不对。$a×b×c×(a×c + b×c)=5×3×6×(30+18)=15×6×48=4320$，$4320 + 480=4800$，$480= a×b×c×(c - a - b)=5×3×6×(6-5-3)=15×6×(-2)=-180$，不对。$4800= (5×6)×(3×6)×(5 + 3)=30×18×8=4320$，$4320 + 480=4800$。$2*6⊕7$中$(2×7)×(6×7)×(2 + 6)=14×42×8=4704$，$4704 + 896=5600$，$896=14×42×(7 - 2 - 6)=14×42×(-1)=-588$，不对。$4800= 5×3×6×(5×3 + 5×6 + 3×6)=15×6×(15+30+18)=90×63=5670$，不对。$4800= 5×3×6×(c×4)=5×3×6×26.666…$，不对。换$4800= (5×3×6)×(5 + 3)×(6÷9)=15×6×8×0.666…=720×0.666…=480$，不对。$4800= 5×3×(5×6×3×6)=15×540=8100$，不对。
换思路：$5*3⊕6$后四位4800，$5×3×6×(5×3 + 5×6 + 3×6)÷(5 + 3 + 6)=5×3×6×(15+30+18)÷14=15×6×63÷14=90×4.5=405$，不对。$4800= 5×3×6×(5 + 3)×(6×2)=15×6×8×12=8640$，不对。$4800= (5×6)×(3×6)×(5 + 3)÷(5 + 3 - 6)=30×18×8÷2=30×18×4=2160$，不对。$4800= 5×3×6×(5×3 + 6)=15×6×21=1890$，不对。
观察数字：4800，5600，5500，末尾都是00，前两位48，56，55。$5*3⊕6$中$a×b + a×c + b×c=15 + 30 + 18=63$，不对。$a×c + b×c=30 + 18=48$，$48$后面加两个0→4800！$2*6⊕7$中$a×c + b×c=14 + 42=56$，$56$后面加两个0→5600！$9*2⊕5$中$a×c + b×c=45 + 10=55$，$55$后面加两个0→5500！完全符合！
验证：$a×c + b×c=(a + b)×c$，$5*3⊕6$中$(5 + 3)×6=48$，后四位4800；$2*6⊕7$中$(2 + 6)×7=56$，后四位5600；$9*2⊕5$中$(9 + 2)×5=55$，后四位5500。规律成立！
综上，$a*b⊕c$的密码构成：前两位$a×c$，中间两位$b×c$，后四位$(a + b)×c$后面加两个0。
计算$4*8⊕6$：
前两位：$4×6=24$
中间两位：$8×6=48$
后四位：$(4 + 8)×6=72$，后面加两个0→7200
组合得：24487200
24487200
17. 已知：$ 1 ^ { 3 } = 1 = \frac { 1 } { 4 } × 1 ^ { 2 } × 2 ^ { 2 } $；$ 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } = 9 = \frac { 1 } { 4 } × 2 ^ { 2 } × 3 ^ { 2 } $；$ 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } = 36 = \frac { 1 } { 4 } × 3 ^ { 2 } × 4 ^ { 2 } $；$ 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } + 4 ^ { 3 } = 100 = \frac { 1 } { 4 } × 4 ^ { 2 } × 5 ^ { 2 } $；….计算：$ 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } + … + 19 ^ { 3 } + 20 ^ { 3 } $.
答案：解：观察已知等式可得规律：$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\dots +n^{3}=\frac{1}{4}× n^{2}× (n+1)^{2}$
当$n = 20$时，
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\dots +20^{3}$
$=\frac{1}{4}× 20^{2}× (20 + 1)^{2}$
$=\frac{1}{4}× 400× 441$
$=100× 441$
$=44100$
答案：44100
当$n = 20$时，
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\dots +20^{3}$
$=\frac{1}{4}× 20^{2}× (20 + 1)^{2}$
$=\frac{1}{4}× 400× 441$
$=100× 441$
$=44100$
答案：44100