13. 定义一种对正整数n的“F”运算:①当n为奇数时,$F(n)= 3n+1$;②当n为偶数时,$F(n)= \frac {n}{2^{k}}$(其中k是使$F(n)$为奇数的正整数).两种运算交替重复进行.如图,若$n= 24$,则第2025次“F”运算的结果是____.
1
答案：解：第1次：24是偶数，$F(24)=\frac{24}{2^3}=3$
第2次：3是奇数，$F(3)=3×3+1=10$
第3次：10是偶数，$F(10)=\frac{10}{2^1}=5$
第4次：5是奇数，$F(5)=3×5+1=16$
第5次：16是偶数，$F(16)=\frac{16}{2^4}=1$
第6次：1是奇数，$F(1)=3×1+1=4$
第7次：4是偶数，$F(4)=\frac{4}{2^2}=1$
第8次：1是奇数，$F(1)=4$
……
从第5次开始，结果以1，4循环，周期为2
$(2025-4)÷2=1010……1$
∴第2025次结果为1
1
第2次：3是奇数，$F(3)=3×3+1=10$
第3次：10是偶数，$F(10)=\frac{10}{2^1}=5$
第4次：5是奇数，$F(5)=3×5+1=16$
第5次：16是偶数，$F(16)=\frac{16}{2^4}=1$
第6次：1是奇数，$F(1)=3×1+1=4$
第7次：4是偶数，$F(4)=\frac{4}{2^2}=1$
第8次：1是奇数，$F(1)=4$
……
从第5次开始，结果以1，4循环，周期为2
$(2025-4)÷2=1010……1$
∴第2025次结果为1
1
14. 如图,将边长为a的小正方形和边长为b的大正方形放在同一水平面上.
(1)用含a,b的代数式表示阴影部分的面积;
(2)当$a= 3,b= 4$时,计算阴影部分的面积.
(1)用含a,b的代数式表示阴影部分的面积;
(2)当$a= 3,b= 4$时,计算阴影部分的面积.
答案：【解析】：本题主要考查代数式的表示以及代数式值的计算，关键在于通过图形分析得出阴影部分面积的表达式，再将具体数值代入表达式求值。
对于（1），求阴影部分面积，可通过两个正方形的总面积减去空白部分三角形的面积来得到。
对于（2），将$a = 3$，$b = 4$代入（1）中得到的代数式，计算出阴影部分的面积。
【答案】：解：（1）
两个正方形的总面积为$a^{2}+b^{2}$。
空白部分三角形的底为$a + b$，高为$b$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，其面积为$\frac{1}{2}(a + b)b$。
所以阴影部分的面积为$a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}(a + b)b=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}=a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}ab$。
（2）
当$a = 3$，$b = 4$时，
$a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}ab$
$=3^{2}+\frac{1}{2}×4^{2}-\frac{1}{2}×3×4$
$=9+\frac{1}{2}×16 - 6$
$=9 + 8 - 6$
$=11$
所以，阴影部分的面积为$11$。
对于（1），求阴影部分面积，可通过两个正方形的总面积减去空白部分三角形的面积来得到。
对于（2），将$a = 3$，$b = 4$代入（1）中得到的代数式，计算出阴影部分的面积。
【答案】：解：（1）
两个正方形的总面积为$a^{2}+b^{2}$。
空白部分三角形的底为$a + b$，高为$b$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，其面积为$\frac{1}{2}(a + b)b$。
所以阴影部分的面积为$a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}(a + b)b=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}=a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}ab$。
（2）
当$a = 3$，$b = 4$时，
$a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}ab$
$=3^{2}+\frac{1}{2}×4^{2}-\frac{1}{2}×3×4$
$=9+\frac{1}{2}×16 - 6$
$=9 + 8 - 6$
$=11$
所以，阴影部分的面积为$11$。
15. 当$\frac {2a-b}{a+b}= 5$时,求代数式$\frac {2(2a-b)}{a+b}+\frac {3(a+b)}{2a-b}$的值.
答案：【解析】：
本题主要考查代数式的求值。
由于已知$\frac{2a-b}{a+b} = 5$，
可以将这个等式代入到目标代数式中，
即计算$\frac{2(2a-b)}{a+b} + \frac{3(a+b)}{2a-b}$的值。
首先，将$\frac{2a-b}{a+b}$看作一个整体，记作$x$，
那么$x = 5$。
目标代数式可以改写为$2x + \frac{3}{x}$。
代入$x = 5$，得到$2 × 5 + \frac{3}{5} = 10 + \frac{3}{5} = 10\frac{3}{5}$，
也可以写成$10.6$（如果以小数形式表示）。
但考虑到七年级学生可能更熟悉分数形式，
所以答案以分数形式给出。
再将其转化为假分数，
即$\frac{53}{5}$。
【答案】：
$\frac{53}{5}$
本题主要考查代数式的求值。
由于已知$\frac{2a-b}{a+b} = 5$，
可以将这个等式代入到目标代数式中，
即计算$\frac{2(2a-b)}{a+b} + \frac{3(a+b)}{2a-b}$的值。
首先，将$\frac{2a-b}{a+b}$看作一个整体，记作$x$，
那么$x = 5$。
目标代数式可以改写为$2x + \frac{3}{x}$。
代入$x = 5$，得到$2 × 5 + \frac{3}{5} = 10 + \frac{3}{5} = 10\frac{3}{5}$，
也可以写成$10.6$（如果以小数形式表示）。
但考虑到七年级学生可能更熟悉分数形式，
所以答案以分数形式给出。
再将其转化为假分数，
即$\frac{53}{5}$。
【答案】：
$\frac{53}{5}$
16. (2025·江苏常州期末)让我们做一个数字游戏.第一步:取一个自然数$x_{1}= 5$,计算$x_{1}^{2}+1得y_{1}$;第二步:算出$y_{1}各数位上的数字之和得x_{2}$,计算$x_{2}^{2}+1得y_{2}$;第三步:算出$y_{2}各数位上的数字之和得x_{3}$,再计算$x_{3}^{2}+1得y_{3}$;…;依此类推,则$y_{2025}$的值为(
A.5
B.26
C.65
D.122
D
)A.5
B.26
C.65
D.122
答案：解：第一步：$x_{1}=5$，$y_{1}=5^{2}+1=26$；
第二步：$x_{2}=2+6=8$，$y_{2}=8^{2}+1=65$；
第三步：$x_{3}=6+5=11$，$y_{3}=11^{2}+1=122$；
第四步：$x_{4}=1+2+2=5$，$y_{4}=5^{2}+1=26$；
……
由此可得，每3步为一个循环，循环节为26，65，122。
因为$2025÷3=675$，所以$y_{2025}=y_{3}=122$。
答案：D
第二步：$x_{2}=2+6=8$，$y_{2}=8^{2}+1=65$；
第三步：$x_{3}=6+5=11$，$y_{3}=11^{2}+1=122$；
第四步：$x_{4}=1+2+2=5$，$y_{4}=5^{2}+1=26$；
……
由此可得，每3步为一个循环，循环节为26，65，122。
因为$2025÷3=675$，所以$y_{2025}=y_{3}=122$。
答案：D
17. 按如图所示的程序计算,若开始输入的x的值为正数,最后输出的结果为656,则满足条件的x的值有
4
个.答案：【解析】：
题目要求找到一个正数x，使得通过特定的程序计算后，结果等于656，需要逆向推导来找出所有满足条件的x值，是一个代数式的值计算问题。
只要输入的$x$值经过计算：$5x+1$后大于$500$，即可输出结果，
因此我们可以逆向来看这个问题。
令$5x+1=656$，
移项得$5x = 656-1$，
即$5x=655$，
解得$x=131$。
再令$5x+1=131$，
移项得$5x = 131-1$，
即$5x=130$，
解得$x=26$。
再令$5x+1=26$，
移项得$5x = 26-1$，
即$5x=25$，
解得$x=5$。
再令$5x+1=5$，
移项得$5x = 5-1$，
即$5x=4$，
解得$x=0.8$。
再令$5x+1=0.8$，
移项得$5x = 0.8-1$，
即$5x=-0.2$，
解得$x=-0.04$。
但是$x$是正数，
因此满足条件的$x$值有$4$个，分别是$131$，$26$，$5$，$0.8$。
【答案】：
4。
题目要求找到一个正数x，使得通过特定的程序计算后，结果等于656，需要逆向推导来找出所有满足条件的x值，是一个代数式的值计算问题。
只要输入的$x$值经过计算：$5x+1$后大于$500$，即可输出结果，
因此我们可以逆向来看这个问题。
令$5x+1=656$，
移项得$5x = 656-1$，
即$5x=655$，
解得$x=131$。
再令$5x+1=131$，
移项得$5x = 131-1$，
即$5x=130$，
解得$x=26$。
再令$5x+1=26$，
移项得$5x = 26-1$，
即$5x=25$，
解得$x=5$。
再令$5x+1=5$，
移项得$5x = 5-1$，
即$5x=4$，
解得$x=0.8$。
再令$5x+1=0.8$，
移项得$5x = 0.8-1$，
即$5x=-0.2$，
解得$x=-0.04$。
但是$x$是正数，
因此满足条件的$x$值有$4$个，分别是$131$，$26$，$5$，$0.8$。
【答案】：
4。
18. 新趋势推导探究如图①是一个长为2m,宽为2n的长方形$(m＞n)$,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个正方形.
(1)图②中的阴影部分正方形的边长为
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积:①
(3)你能写出$(m+n)^{2},(m-n)^{2}$和mn这三个代数式之间的等量关系吗?
(4)根据第(3)问中的等量关系,解决如下问题:若$a+b= 6,ab= 4$,求代数式$(a-b)^{2}$的值.
(1)图②中的阴影部分正方形的边长为
$m - n$
;(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积:①
${(m - n)}^{2}$
;②${(m + n)}^{2} - 4mn$
;(3)你能写出$(m+n)^{2},(m-n)^{2}$和mn这三个代数式之间的等量关系吗?
${(m + n)}^{2} - 4mn = {(m - n)}^{2}$
(4)根据第(3)问中的等量关系,解决如下问题:若$a+b= 6,ab= 4$,求代数式$(a-b)^{2}$的值.
20
答案：【解析】：
（1）首先观察图②，阴影部分是一个正方形，它的边长显然是小长方形的长与宽的差，即$m - n$。
综上所述，答案为：$m - n$。
（2）方法①：阴影部分直接是一个边长为$（m - n）$的正方形，所以面积直接为边长的平方，即${(m - n)}^{2}$。
方法②：大正方形的面积减去四个小长方形的面积。大正方形的边长是$m + n$，所以面积是${(m + n)}^{2}$。每个小长方形的面积是$mn$，四个就是$4mn$。因此，阴影部分的面积为${(m + n)}^{2} - 4mn$。
综上所述，答案为：${(m - n)}^{2}$；${(m + n)}^{2} - 4mn$。
（3）根据（2）部分，得到了两个表示阴影部分面积的代数式：${(m - n)}^{2}$和${(m + n)}^{2} - 4mn$。由于这两个代数式表示的是同一个面积，所以它们应该相等：
即：${(m + n)}^{2} - 4mn = {(m - n)}^{2}$。
（4）根据（3）部分得出的等量关系，可以将$a + b$和$ab$代入，求出${(a - b)}^{2}$的值。
已知$a + b = 6$，$ab = 4$，代入${(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} - 4ab$，
得到：${(a - b)}^{2} = 6^{2} - 4 × 4 = 36 - 16 = 20$。
综上所述，${(a - b)}^{2} =20$。
【答案】：
(1)$m - n$；
(2)${(m - n)}^{2}$；${(m + n)}^{2} - 4mn$；
(3)${(m + n)}^{2} - 4mn = {(m - n)}^{2}$；
(4)20。
（1）首先观察图②，阴影部分是一个正方形，它的边长显然是小长方形的长与宽的差，即$m - n$。
综上所述，答案为：$m - n$。
（2）方法①：阴影部分直接是一个边长为$（m - n）$的正方形，所以面积直接为边长的平方，即${(m - n)}^{2}$。
方法②：大正方形的面积减去四个小长方形的面积。大正方形的边长是$m + n$，所以面积是${(m + n)}^{2}$。每个小长方形的面积是$mn$，四个就是$4mn$。因此，阴影部分的面积为${(m + n)}^{2} - 4mn$。
综上所述，答案为：${(m - n)}^{2}$；${(m + n)}^{2} - 4mn$。
（3）根据（2）部分，得到了两个表示阴影部分面积的代数式：${(m - n)}^{2}$和${(m + n)}^{2} - 4mn$。由于这两个代数式表示的是同一个面积，所以它们应该相等：
即：${(m + n)}^{2} - 4mn = {(m - n)}^{2}$。
（4）根据（3）部分得出的等量关系，可以将$a + b$和$ab$代入，求出${(a - b)}^{2}$的值。
已知$a + b = 6$，$ab = 4$，代入${(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} - 4ab$，
得到：${(a - b)}^{2} = 6^{2} - 4 × 4 = 36 - 16 = 20$。
综上所述，${(a - b)}^{2} =20$。
【答案】：
(1)$m - n$；
(2)${(m - n)}^{2}$；${(m + n)}^{2} - 4mn$；
(3)${(m + n)}^{2} - 4mn = {(m - n)}^{2}$；
(4)20。