13. (2025·江苏扬州期末)对于任意有理数a,b,c,d,定义一种新的运算:$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad-bc$,则$\begin{vmatrix}1&2\\1-x&4\end{vmatrix} = $
$2 + 2x$
.答案：【解析】：
题目考查了新定义运算，同时涉及到了代数式的化简。
根据题目中给出的新定义运算规则，有$\begin{vmatrix}a\quad b \\c \quad d\end{vmatrix} = ad - bc$。
将给定的数值代入该公式，得到：
$\begin{vmatrix}1 \quad 2 \\1 - x \quad4\end{vmatrix} = 1 × 4 - 2 × (1 - x)$。
接下来进行化简：
原式$= 4 - 2 + 2x = 2 + 2x$。
【答案】：
$2 + 2x$。
题目考查了新定义运算，同时涉及到了代数式的化简。
根据题目中给出的新定义运算规则，有$\begin{vmatrix}a\quad b \\c \quad d\end{vmatrix} = ad - bc$。
将给定的数值代入该公式，得到：
$\begin{vmatrix}1 \quad 2 \\1 - x \quad4\end{vmatrix} = 1 × 4 - 2 × (1 - x)$。
接下来进行化简：
原式$= 4 - 2 + 2x = 2 + 2x$。
【答案】：
$2 + 2x$。
14. 若当$x= 1$时,代数式$ax^{2}+bx+1$的值为3,则代数式$2(3a-b)-(5a-3b)$的值为
2
.答案：【解析】：
本题主要考查代数式的代入与求值，以及去括号和合并同类项的能力。
首先，根据题目条件，当$x=1$时，代数式$ax^2 + bx + 1$的值为3。
代入$x=1$，得到：
$a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 1 = 3$，
$a + b + 1 = 3$，
从上式可以解出：
$a + b = 2$，
接下来，需要求代数式$2(3a-b)-(5a-3b)$的值。
首先去括号：
$2(3a-b)-(5a-3b) = 6a - 2b - 5a + 3b$，
然后合并同类项：
$6a - 2b - 5a + 3b = a + b$，
最后，将之前求得的$a+b=2$代入上式，得到：
$a + b = 2$，
所以，代数式$2(3a-b)-(5a-3b)$的值为2。
【答案】：
2。
本题主要考查代数式的代入与求值，以及去括号和合并同类项的能力。
首先，根据题目条件，当$x=1$时，代数式$ax^2 + bx + 1$的值为3。
代入$x=1$，得到：
$a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 1 = 3$，
$a + b + 1 = 3$，
从上式可以解出：
$a + b = 2$，
接下来，需要求代数式$2(3a-b)-(5a-3b)$的值。
首先去括号：
$2(3a-b)-(5a-3b) = 6a - 2b - 5a + 3b$，
然后合并同类项：
$6a - 2b - 5a + 3b = a + b$，
最后，将之前求得的$a+b=2$代入上式，得到：
$a + b = 2$，
所以，代数式$2(3a-b)-(5a-3b)$的值为2。
【答案】：
2。
15. 新素养 运算能力 先化简,再求值:$\frac {1}{4}(4x^{2}+2x-8)-(x^{2}+2x-1)$,其中$x= \frac {1}{2}.$
答案：【解析】：
本题主要考查了去括号和合并同类项的能力，以及代数式的化简和求值。
首先，我们需要对原式进行去括号操作，然后合并同类项，得到化简后的式子。
接着，将给定的$x$值代入化简后的式子中，求出原式的值。
【答案】：
解：
原式
$= \frac {1}{4}(4x^{2}+2x-8)-(x^{2}+2x-1)$
$= x^{2}+\frac {1}{2}x-2-x^{2}-2x+1$ （去括号）
$= -\frac {3}{2}x-1$ （合并同类项）
当$x= \frac {1}{2}$时，
原式
$= -\frac {3}{2} × \frac {1}{2}-1$
$= -\frac {7}{4}$
本题主要考查了去括号和合并同类项的能力，以及代数式的化简和求值。
首先，我们需要对原式进行去括号操作，然后合并同类项，得到化简后的式子。
接着，将给定的$x$值代入化简后的式子中，求出原式的值。
【答案】：
解：
原式
$= \frac {1}{4}(4x^{2}+2x-8)-(x^{2}+2x-1)$
$= x^{2}+\frac {1}{2}x-2-x^{2}-2x+1$ （去括号）
$= -\frac {3}{2}x-1$ （合并同类项）
当$x= \frac {1}{2}$时，
原式
$= -\frac {3}{2} × \frac {1}{2}-1$
$= -\frac {7}{4}$
16. 已知多项式$3x^{2}+my-8与多项式-nx^{2}+2y+7$的差中不含有x,y,求$n^{m}+mn$的值.
答案：【解析】：
本题主要考查多项式的去括号运算以及代数式的求值。
首先，根据题目要求，写出两个多项式的差：
$(3x^{2} + my - 8) - (-nx^{2} + 2y + 7)$
去括号，得到：
$3x^{2} + my - 8 + nx^{2} - 2y - 7$
合并同类项，得到：
$(3 + n)x^{2} + (m - 2)y - 15$
由于差中不含有$x$和$y$，所以它们的系数必须为0，即：
$3 + n = 0$
$m - 2 = 0$
解这两个方程，得到：
$n = -3$
$m = 2$
最后，代入$n^{m} + mn$，计算得到：
```python
n = -3
m = 2
result = nm + m*n
print(result)
```
本题主要考查多项式的去括号运算以及代数式的求值。
首先，根据题目要求，写出两个多项式的差：
$(3x^{2} + my - 8) - (-nx^{2} + 2y + 7)$
去括号，得到：
$3x^{2} + my - 8 + nx^{2} - 2y - 7$
合并同类项，得到：
$(3 + n)x^{2} + (m - 2)y - 15$
由于差中不含有$x$和$y$，所以它们的系数必须为0，即：
$3 + n = 0$
$m - 2 = 0$
解这两个方程，得到：
$n = -3$
$m = 2$
最后，代入$n^{m} + mn$，计算得到：
```python
n = -3
m = 2
result = nm + m*n
print(result)
```
17. 如图,两个正方形的面积分别为16,9,两阴影部分的面积分别为a,b(a＞b),则a-b等于 (
A.7
B.6
C.5
D.4
A
)A.7
B.6
C.5
D.4
答案：【解析】：
两个正方形的面积分别为16和9，所以两个正方形边长分别为$\sqrt{16}=4$和$\sqrt{9}=3$。
设空白部分面积为$c$，两个正方形总面积为$16+9=25$，可以得到$a+c=16，b+c=9$。
$a-b=(a+c)-(b+c)=16-9=7$。
【答案】：A
两个正方形的面积分别为16和9，所以两个正方形边长分别为$\sqrt{16}=4$和$\sqrt{9}=3$。
设空白部分面积为$c$，两个正方形总面积为$16+9=25$，可以得到$a+c=16，b+c=9$。
$a-b=(a+c)-(b+c)=16-9=7$。
【答案】：A
18. 将一张边长为a的正方形纸片(如图①)剪去两个小长方形,得到一个“”的图案(如图②),再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形(如图③),则新长方形的周长为
4a - 2b
.(用含a,b的代数式表示)答案：解：由图②可知，剪下的两个小长方形的长分别为$a - b$和$a - b$，宽均为$b$。
将这两个小长方形拼成一个新长方形，新长方形的长为$(a - b) + (a - b) = 2a - 2b$，宽为$b$。
新长方形的周长为$2×[(2a - 2b) + b] = 2×(2a - b) = 4a - 2b$。
$4a - 2b$
将这两个小长方形拼成一个新长方形，新长方形的长为$(a - b) + (a - b) = 2a - 2b$，宽为$b$。
新长方形的周长为$2×[(2a - 2b) + b] = 2×(2a - b) = 4a - 2b$。
$4a - 2b$
19. 亮点原创 当$a= 1013,b= \frac {1}{1013}$时,求代数式$(a+b)-(a+2b)+(a+3b)-(a+4b)+... +(a+2025b)$的值.
答案：【解析】：
本题主要考察代数式的化简与求值，以及去括号的方法。
首先，我们需要对代数式进行去括号和合并同类项的操作，将其化简为一个更简单的形式。
然后，将给定的$a$和$b$的值代入化简后的代数式中，求出最终结果。
去括号：
原式可以写为：
$(a+b) - (a+2b) + (a+3b) - (a+4b) + \ldots + (a+2025b)$
$= a+b - a-2b + a+3b - a-4b + \ldots + a+2025b$
合并同类项：
观察上式，我们可以发现，每两项相加，$a$的系数相加都为0（除了第一项和最后一项的$a$），而$b$的系数则呈现出一个等差数列的形式：$1-2+3-4+\ldots+2025$。
我们可以将这个等差数列拆分为两部分：正数部分和负数部分，然后分别求和，最后相加。
但更简便的方法是，我们可以直接观察到，从第一项开始，每两项相加的结果是$-b, 2b, -3b, \ldots$，即$(-1)^{n+1} × n × b$的形式，其中$n$是项数（从1开始）。
因此，整个序列求和的结果是：
$b × (1-2+3-4+\ldots-2024+2025)$
$= b × [(1-2)+(3-4)+\ldots+(2023-2024)+2025]$
$= b × (-1 × 1012 + 2025)$
$= b × 1013$
再加上最后的$a$（因为最后一项是$a+2025b$，$a$只出现一次且不被抵消），得到：
$原式= a + 1013b$
代入$a=1013, b=\frac{1}{1013}$求值：
$原式= 1013 + 1013 × \frac{1}{1013}$
$= 1013 + 1$
$= 1014$
【答案】：
$1014$
本题主要考察代数式的化简与求值，以及去括号的方法。
首先，我们需要对代数式进行去括号和合并同类项的操作，将其化简为一个更简单的形式。
然后，将给定的$a$和$b$的值代入化简后的代数式中，求出最终结果。
去括号：
原式可以写为：
$(a+b) - (a+2b) + (a+3b) - (a+4b) + \ldots + (a+2025b)$
$= a+b - a-2b + a+3b - a-4b + \ldots + a+2025b$
合并同类项：
观察上式，我们可以发现，每两项相加，$a$的系数相加都为0（除了第一项和最后一项的$a$），而$b$的系数则呈现出一个等差数列的形式：$1-2+3-4+\ldots+2025$。
我们可以将这个等差数列拆分为两部分：正数部分和负数部分，然后分别求和，最后相加。
但更简便的方法是，我们可以直接观察到，从第一项开始，每两项相加的结果是$-b, 2b, -3b, \ldots$，即$(-1)^{n+1} × n × b$的形式，其中$n$是项数（从1开始）。
因此，整个序列求和的结果是：
$b × (1-2+3-4+\ldots-2024+2025)$
$= b × [(1-2)+(3-4)+\ldots+(2023-2024)+2025]$
$= b × (-1 × 1012 + 2025)$
$= b × 1013$
再加上最后的$a$（因为最后一项是$a+2025b$，$a$只出现一次且不被抵消），得到：
$原式= a + 1013b$
代入$a=1013, b=\frac{1}{1013}$求值：
$原式= 1013 + 1013 × \frac{1}{1013}$
$= 1013 + 1$
$= 1014$
【答案】：
$1014$
20. 新素养 应用意识 某公园对一个边长为a m(a＞1)的正方形花坛进行改造,因占地需要,该花坛南北方向需要缩短1m,使其形状成为长方形.为了使花坛面积不变,公园决定将花坛向东侧扩展.
(1)小明说:“把正方形花坛南北方向减少1m,东侧增加1m,则得到的长方形花坛的周长和面积与原来正方形花坛的周长和面积都相等.”小明的说法对吗? 请说明理由;
(2)若原来正方形花坛的边长为5m,则在只保证面积不变的情况下,改造后向东侧扩展了多少米?
(3)如果正方形花坛的边长为a m,在只保证面积不变的情况下,请你用含a的代数式表示出改造后长方形花坛的长.
(1)小明说:“把正方形花坛南北方向减少1m,东侧增加1m,则得到的长方形花坛的周长和面积与原来正方形花坛的周长和面积都相等.”小明的说法对吗? 请说明理由;
(2)若原来正方形花坛的边长为5m,则在只保证面积不变的情况下,改造后向东侧扩展了多少米?
(3)如果正方形花坛的边长为a m,在只保证面积不变的情况下,请你用含a的代数式表示出改造后长方形花坛的长.
答案：(1) 解：小明的说法不对。
原正方形周长：$4a$，面积：$a^2$。
改造后长方形长：$(a + 1)$，宽：$(a - 1)$，周长：$2[(a + 1)+(a - 1)]=4a$，面积：$(a + 1)(a - 1)=a^2 - 1$。
因为面积$a^2 - 1 \neq a^2$，所以说法不对。
(2) 解：设向东侧扩展了$x$米。
原面积：$5×5 = 25$。
改造后长：$(5 + x)$，宽：$5 - 1 = 4$，面积：$4(5 + x)=25$。
$20 + 4x = 25$，$4x = 5$，$x = 1.25$。
答：向东侧扩展了$1.25$米。
(3) 解：设向东侧扩展了$y$米，改造后长为$(a + y)$。
原面积：$a^2$，改造后宽：$(a - 1)$，面积：$(a + y)(a - 1)=a^2$。
$a^2 - a + ay - y = a^2$，$ay - y = a$，$y(a - 1)=a$，$y=\frac{a}{a - 1}$。
长：$a + \frac{a}{a - 1}=\frac{a(a - 1) + a}{a - 1}=\frac{a^2 - a + a}{a - 1}=\frac{a^2}{a - 1}$。
答：改造后长方形花坛的长为$\frac{a^2}{a - 1}$米。
原正方形周长：$4a$，面积：$a^2$。
改造后长方形长：$(a + 1)$，宽：$(a - 1)$，周长：$2[(a + 1)+(a - 1)]=4a$，面积：$(a + 1)(a - 1)=a^2 - 1$。
因为面积$a^2 - 1 \neq a^2$，所以说法不对。
(2) 解：设向东侧扩展了$x$米。
原面积：$5×5 = 25$。
改造后长：$(5 + x)$，宽：$5 - 1 = 4$，面积：$4(5 + x)=25$。
$20 + 4x = 25$，$4x = 5$，$x = 1.25$。
答：向东侧扩展了$1.25$米。
(3) 解：设向东侧扩展了$y$米，改造后长为$(a + y)$。
原面积：$a^2$，改造后宽：$(a - 1)$，面积：$(a + y)(a - 1)=a^2$。
$a^2 - a + ay - y = a^2$，$ay - y = a$，$y(a - 1)=a$，$y=\frac{a}{a - 1}$。
长：$a + \frac{a}{a - 1}=\frac{a(a - 1) + a}{a - 1}=\frac{a^2 - a + a}{a - 1}=\frac{a^2}{a - 1}$。
答：改造后长方形花坛的长为$\frac{a^2}{a - 1}$米。