1.(教材P108练习2变式)根据等式的基本性质,下列各式变形正确的是 (
A.若$\frac {a}{c}= \frac {b}{c}$,则$a= b$
B.若$ac= bc$,则$a= b$
C.若$a^{2}= b^{2}$,则$a= b$
D.若$-\frac {1}{3}x= 6$,则$x= -2$
A
)A.若$\frac {a}{c}= \frac {b}{c}$,则$a= b$
B.若$ac= bc$,则$a= b$
C.若$a^{2}= b^{2}$,则$a= b$
D.若$-\frac {1}{3}x= 6$,则$x= -2$
答案：【解析】：
本题考查等式的基本性质。
A选项：若$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，根据等式的基本性质2，两边同时乘以$c$，得到$a = b$，故A选项正确。
B选项：若$ac = bc$，当$c \neq 0$时，两边同时除以$c$，得到$a = b$；但当$c = 0$时，$a$和$b$可以是任意数，所以不一定有$a = b$，故B选项错误。
C选项：若$a^{2} = b^{2}$，则$a$和$b$可能相等，也可能互为相反数，即$a = \pm b$，故C选项错误。
D选项：若$-\frac{1}{3}x = 6$，根据等式的基本性质2，两边同时乘以$-3$，得到$x = -18$，与选项D中的$x = -2$不符，故D选项错误。
【答案】：
A
本题考查等式的基本性质。
A选项：若$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，根据等式的基本性质2，两边同时乘以$c$，得到$a = b$，故A选项正确。
B选项：若$ac = bc$，当$c \neq 0$时，两边同时除以$c$，得到$a = b$；但当$c = 0$时，$a$和$b$可以是任意数，所以不一定有$a = b$，故B选项错误。
C选项：若$a^{2} = b^{2}$，则$a$和$b$可能相等，也可能互为相反数，即$a = \pm b$，故C选项错误。
D选项：若$-\frac{1}{3}x = 6$，根据等式的基本性质2，两边同时乘以$-3$，得到$x = -18$，与选项D中的$x = -2$不符，故D选项错误。
【答案】：
A
2. 已知a是有理数.若比a的3倍大5的数等于a的4倍,则可列等式为
3a + 5 = 4a
.答案：【解析】：
这个问题主要考查等式的建立和代数表达式的理解。
首先，需要理解题目中的条件：“比a的3倍大5的数等于a的4倍”。
“a的3倍”可以表示为$3a$。
“比a的3倍大5的数”则可以表示为$3a + 5$。
“a的4倍”可以表示为$4a$。
根据题目条件，可以列出等式：$3a + 5 = 4a$。
【答案】：
$3a + 5 = 4a$。
这个问题主要考查等式的建立和代数表达式的理解。
首先，需要理解题目中的条件：“比a的3倍大5的数等于a的4倍”。
“a的3倍”可以表示为$3a$。
“比a的3倍大5的数”则可以表示为$3a + 5$。
“a的4倍”可以表示为$4a$。
根据题目条件，可以列出等式：$3a + 5 = 4a$。
【答案】：
$3a + 5 = 4a$。
3. 根据等式的基本性质填空:
(1)若$a-3= b+2$,则$a-1= $
(2)若$3a= -2a+5$,则$3a+$
(3)若$\frac {3}{2}m= 2n$,则$m= $
(1)若$a-3= b+2$,则$a-1= $
$b + 4$
;(2)若$3a= -2a+5$,则$3a+$
$2a$
$=5$;(3)若$\frac {3}{2}m= 2n$,则$m= $
$\frac{4}{3}n$
.答案：(1)解：因为$a - 3 = b + 2$，等式两边同时加$2$，得$a - 3 + 2 = b + 2 + 2$，即$a - 1 = b + 4$。
(2)解：因为$3a = -2a + 5$，等式两边同时加$2a$，得$3a + 2a = -2a + 5 + 2a$，即$3a + 2a = 5$。
(3)解：因为$\frac{3}{2}m = 2n$，等式两边同时乘$\frac{2}{3}$，得$\frac{3}{2}m × \frac{2}{3} = 2n × \frac{2}{3}$，即$m = \frac{4}{3}n$。
(2)解：因为$3a = -2a + 5$，等式两边同时加$2a$，得$3a + 2a = -2a + 5 + 2a$，即$3a + 2a = 5$。
(3)解：因为$\frac{3}{2}m = 2n$，等式两边同时乘$\frac{2}{3}$，得$\frac{3}{2}m × \frac{2}{3} = 2n × \frac{2}{3}$，即$m = \frac{4}{3}n$。
4. 根据下列情境中的等量关系列出一个等式:
(1)比m的2倍少2的数是2;
(2)北京时间2025年4月28日凌晨结束的英格兰足球超级联赛第34轮焦点战中,利物浦主场5:1战胜托特纳姆热刺,以25胜7平2负积82分的战绩提前4轮夺得2024-2025赛季英超联赛冠军.已知英超联赛中,球队每胜一场得x分,每平一场得y分,每负一场得0分.
(1)比m的2倍少2的数是2;
(2)北京时间2025年4月28日凌晨结束的英格兰足球超级联赛第34轮焦点战中,利物浦主场5:1战胜托特纳姆热刺,以25胜7平2负积82分的战绩提前4轮夺得2024-2025赛季英超联赛冠军.已知英超联赛中,球队每胜一场得x分,每平一场得y分,每负一场得0分.
答案：【解析】：
本题主要考察等式的建立以及代数表达式的应用。
(1) 对于第一个情境，“比m的2倍少2的数是2”，我们可以将其转化为数学表达式。设这个数为n，则有$2m - 2 = n$，由于题目给出$n=2$，所以我们可以得到等式$2m - 2 = 2$。
(2) 对于第二个情境，需要利用给定的胜、平、负的场次和得分规则来建立等式。设胜一场得x分，平一场得y分，负一场得0分。根据题目，利物浦25胜7平2负积82分，所以我们可以列出等式$25x + 7y = 82$。
【答案】：
(1) $2m - 2 = 2$
(2) $25x + 7y = 82$
本题主要考察等式的建立以及代数表达式的应用。
(1) 对于第一个情境，“比m的2倍少2的数是2”，我们可以将其转化为数学表达式。设这个数为n，则有$2m - 2 = n$，由于题目给出$n=2$，所以我们可以得到等式$2m - 2 = 2$。
(2) 对于第二个情境，需要利用给定的胜、平、负的场次和得分规则来建立等式。设胜一场得x分，平一场得y分，负一场得0分。根据题目，利物浦25胜7平2负积82分，所以我们可以列出等式$25x + 7y = 82$。
【答案】：
(1) $2m - 2 = 2$
(2) $25x + 7y = 82$
5. 已知$m= n$,给出下列式子:①$m+2= n+2$;②$bm= bn$;③$\frac {m}{n}= 1$;④$\frac {m}{b^{2}+2}= \frac {n}{b^{2}+2}$.其中一定正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：【解析】：
本题主要考查等式的基本性质。
根据等式的基本性质1：等式的两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
所以，由$m=n$，我们可以得到$m+2=n+2$，因此①正确。
根据等式的基本性质2：等式的两边乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等。
所以，由$m=n$，我们可以得到$bm=bn$（这里$b$可以是任何实数，因为当$b=0$时，$bm=bn=0$，也满足等式），因此②正确。
对于③，我们需要小心。虽然$m=n$，但当$n=0$时，$\frac{m}{n}$是无定义的，因此③不一定正确。
同样，根据等式的基本性质2，由$m=n$，且因为$b^2+2$一定不等于0（因为$b^2$最小为0，所以$b^2+2$最小为2，一定大于0），
所以我们可以得到$\frac{m}{b^{2}+2}=\frac{n}{b^{2}+2}$，因此④正确。
综上，一定正确的有①②④三个。
但需要注意，题目中的③在$n \neq 0$的条件下是正确的，只是它不是“一定”正确的，因为当$n=0$时它不成立。
所以，我们只需考虑始终正确的选项。
【答案】：C. 3个。
本题主要考查等式的基本性质。
根据等式的基本性质1：等式的两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
所以，由$m=n$，我们可以得到$m+2=n+2$，因此①正确。
根据等式的基本性质2：等式的两边乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等。
所以，由$m=n$，我们可以得到$bm=bn$（这里$b$可以是任何实数，因为当$b=0$时，$bm=bn=0$，也满足等式），因此②正确。
对于③，我们需要小心。虽然$m=n$，但当$n=0$时，$\frac{m}{n}$是无定义的，因此③不一定正确。
同样，根据等式的基本性质2，由$m=n$，且因为$b^2+2$一定不等于0（因为$b^2$最小为0，所以$b^2+2$最小为2，一定大于0），
所以我们可以得到$\frac{m}{b^{2}+2}=\frac{n}{b^{2}+2}$，因此④正确。
综上，一定正确的有①②④三个。
但需要注意，题目中的③在$n \neq 0$的条件下是正确的，只是它不是“一定”正确的，因为当$n=0$时它不成立。
所以，我们只需考虑始终正确的选项。
【答案】：C. 3个。
6. 如图,两个天平都平衡,则与2个球体质量相等的正方体的个数为
5
.答案：解：设一个球体的质量为$x$，一个圆柱体的质量为$y$，一个正方体的质量为$z$。
由第一个天平平衡得：$2x = 5y$，即$y=\frac{2}{5}x$。
由第二个天平平衡得：$2z = 2y$，即$z=y$，所以$z=\frac{2}{5}x$，则$x=\frac{5}{2}z$。
$2x=2×\frac{5}{2}z = 5z$。
5
由第一个天平平衡得：$2x = 5y$，即$y=\frac{2}{5}x$。
由第二个天平平衡得：$2z = 2y$，即$z=y$，所以$z=\frac{2}{5}x$，则$x=\frac{5}{2}z$。
$2x=2×\frac{5}{2}z = 5z$。
5
7. 利用等式的基本性质,将下面的等式变形为$x= c$(c为常数)的形式:
(1)$-\frac {1}{3}x= 12$; (2)$4x= 2x+8$.
(1)$-\frac {1}{3}x= 12$; (2)$4x= 2x+8$.
答案：【解析】：
本题主要考察等式的基本性质，包括等式的加减、乘除以及移项等操作。
对于第一个等式$-\frac{1}{3}x = 12$，我们需要通过乘以-3来消去分数，从而得到x的值。
对于第二个等式$4x = 2x + 8$，我们需要通过移项和除法来求解x。
【答案】：
(1) 解：
给等式两边同时乘以-3，得到：
$x = -36$
(2) 解：
首先，将等式两边的$2x$移到左边，得到：
$2x = 8$
然后，将等式两边同时除以2，得到：
$x = 4$
本题主要考察等式的基本性质，包括等式的加减、乘除以及移项等操作。
对于第一个等式$-\frac{1}{3}x = 12$，我们需要通过乘以-3来消去分数，从而得到x的值。
对于第二个等式$4x = 2x + 8$，我们需要通过移项和除法来求解x。
【答案】：
(1) 解：
给等式两边同时乘以-3，得到：
$x = -36$
(2) 解：
首先，将等式两边的$2x$移到左边，得到：
$2x = 8$
然后，将等式两边同时除以2，得到：
$x = 4$
8. 已知a,b,c是互不相等的有理数,且$b= \frac {4}{5}a+\frac {1}{5}c$,则下列结论正确的是 (
A.$a＞b＞c$
B.$c＞b＞a$
C.$a-b= 4(b-c)$
D.$a-c= 5(a-b)$
D
)A.$a＞b＞c$
B.$c＞b＞a$
C.$a-b= 4(b-c)$
D.$a-c= 5(a-b)$
答案：【解析】：
本题主要考察等式的变形与推理。
首先，根据题目给定的等式 $b = \frac{4}{5}a + \frac{1}{5}c$，我们需要将其转化为与选项相关的形式。
对原等式两边同时乘以5，得到：
$5b = 4a + c$
接着，对上述等式进行变形，以得到$a-c$ 和 $a-b$ 的关系：
从 $5b = 4a + c$ 可得：
$c = 5b - 4a$
进一步变形得到：
$a - c = a - (5b - 4a)$
$a - c = 5a - 5b$
$a - c = 5(a - b)$
现在，我们将这个结果与选项进行对比：
A. $a＞b＞c$：这个选项是关于a，b，c之间的大小关系，但题目没有给出足够的信息来确定这一点，所以A选项无法确定。
B. $c＞b＞a$：同样，这个选项也是关于a，b，c之间的大小关系，无法从题目中直接得出，所以B选项也无法确定。
C. $a-b= 4(b-c)$：为了验证这一点，我们可以将之前得到的 $a - c = 5(a - b)$ 进行变形。从 $a - c = 5(a - b)$ 可得 $a - b = \frac{1}{5}(a - c)$，进一步得到 $a - b = \frac{1}{5}[(a - b) - 4(b - c)]$，化简后得到 $5(a - b) = (a - b) - 4(b - c)$，即 $4(a - b) = -4(b - c)$，或 $a - b = -(b - c)$，这与选项C给出的 $a-b= 4(b-c)$ 不符，所以C选项错误。
D. $a-c= 5(a-b)$：这与我们之前推导的结果一致，所以D选项正确。
【答案】：
D
本题主要考察等式的变形与推理。
首先，根据题目给定的等式 $b = \frac{4}{5}a + \frac{1}{5}c$，我们需要将其转化为与选项相关的形式。
对原等式两边同时乘以5，得到：
$5b = 4a + c$
接着，对上述等式进行变形，以得到$a-c$ 和 $a-b$ 的关系：
从 $5b = 4a + c$ 可得：
$c = 5b - 4a$
进一步变形得到：
$a - c = a - (5b - 4a)$
$a - c = 5a - 5b$
$a - c = 5(a - b)$
现在，我们将这个结果与选项进行对比：
A. $a＞b＞c$：这个选项是关于a，b，c之间的大小关系，但题目没有给出足够的信息来确定这一点，所以A选项无法确定。
B. $c＞b＞a$：同样，这个选项也是关于a，b，c之间的大小关系，无法从题目中直接得出，所以B选项也无法确定。
C. $a-b= 4(b-c)$：为了验证这一点，我们可以将之前得到的 $a - c = 5(a - b)$ 进行变形。从 $a - c = 5(a - b)$ 可得 $a - b = \frac{1}{5}(a - c)$，进一步得到 $a - b = \frac{1}{5}[(a - b) - 4(b - c)]$，化简后得到 $5(a - b) = (a - b) - 4(b - c)$，即 $4(a - b) = -4(b - c)$，或 $a - b = -(b - c)$，这与选项C给出的 $a-b= 4(b-c)$ 不符，所以C选项错误。
D. $a-c= 5(a-b)$：这与我们之前推导的结果一致，所以D选项正确。
【答案】：
D
9. 有一袋糖,重1000g.现在有一个天平及质量分别为30g和5g的砝码各一个.若要从这一袋糖中取出85g糖,则最少要用天平称几次?请说明理由.
答案：【解析】：
这个问题主要考察的是如何利用有限的工具（一个30g的砝码，一个5g的砝码及一台天平）和已知重量的物品（1000g的糖）来准确称出特定重量（85g）的糖。这需要我们通过数学运算和逻辑推理，找出一种或几种组合方式，使得这些工具和物品的重量能够相加或相减得到目标重量。
首先，我们考虑如何使用30g和5g的砝码来称出85g的糖。我们可以尝试不同的组合和运算方式。
1. 我们可以用30g的砝码称出30g的糖，然后再用30g和5g的砝码一起称出35g的糖（将30g砝码与30g糖放天平一端，5g砝码与35g糖放另一端，达到平衡），这样两次称量总共称出了65g的糖，但这还不够85g。
2. 接着，我们可以考虑用已经称出的30g糖和5g砝码组合来进一步称量。注意到85g可以分解为30g+30g+25g，或者50g+35g等，我们可以尝试构造这样的组合。
3. 一个有效的组合是：首先用30g砝码称出30g糖，然后用30g砝码和已经称出的30g糖一起放在天平一端，再在天平另一端放上5g砝码并逐渐加入糖，直到天平平衡，这样我们就称出了55g的糖（30g+30g-5g=55g，这里的“-5g”是因为我们在天平的一端放了5g的砝码，所以需要从总重量中减去）。再加上最初称出的30g糖，总共就是85g糖。
实际上，我们只需要三次称量：第一次称出30g糖，第二次利用30g砝码和30g糖称出55g糖（通过天平平衡原理，一端放30g砝码+30g糖，另一端放5g砝码+待称的糖，直到平衡），第三次将前两次称出的糖汇总，就得到了85g糖。但考虑到题目问的是“最少要用天平称几次”，并且上述第二次称量过程中，我们可以直接在一次称量中通过调整砝码和糖的位置来同时称出30g和55g（或类似组合），因此最少只需要称两次（第一次30g，第二次通过砝码和糖的组合称出剩余的55g，或者直接称出85g-30g=55g的糖与30g糖合并）。但更严谨的表述应是三次操作中的两次有效称量，或直接通过组合称量实现两次称量完成。由于题目意图是询问直接称量的次数，且考虑到组合称量的可能性，我们采用“最少三次操作中的两次称量”这一理解，但简化为“最少称两次（通过组合方式）”。然而，最直接的解答且符合题目“最少次数”意图的应是三次操作描述中的核心两次，但此处按照题目要求的简洁性，我们给出最少需要三次操作中的两次有效称量的结论，即最少可以认为是通过两次直接的称量操作（加上一次合并操作，但合并不计入称量次数）来完成。
但严格根据题目通常理解，我们应表述为最少需要三次天平使用中的两次有效称量（若必须严格以“次”为单位，且不考虑合并为一次表述的情况，则因第一次30g，第二次通过天平平衡原理称出剩余所需糖，第三次为合并前两次，故直接称量次数为两次，合并不计入“称量次数”内），此处为符合题目最直接询问，简化为“最少称两次（通过有效组合称量方式）”。
【答案】：
最少要用天平称两次。理由：首先，用30g砝码称出30g糖。然后，利用天平的平衡原理，一端放30g砝码和已称出的30g糖，另一端放5g砝码并逐渐加入糖，直到天平平衡，这样可以称出55g的糖（通过计算得出，即30g+30g-5g=55g）。最后，将30g和55g的糖合并，得到85g的糖。因此，最少需要称两次（通过有效组合称量方式）。
这个问题主要考察的是如何利用有限的工具（一个30g的砝码，一个5g的砝码及一台天平）和已知重量的物品（1000g的糖）来准确称出特定重量（85g）的糖。这需要我们通过数学运算和逻辑推理，找出一种或几种组合方式，使得这些工具和物品的重量能够相加或相减得到目标重量。
首先，我们考虑如何使用30g和5g的砝码来称出85g的糖。我们可以尝试不同的组合和运算方式。
1. 我们可以用30g的砝码称出30g的糖，然后再用30g和5g的砝码一起称出35g的糖（将30g砝码与30g糖放天平一端，5g砝码与35g糖放另一端，达到平衡），这样两次称量总共称出了65g的糖，但这还不够85g。
2. 接着，我们可以考虑用已经称出的30g糖和5g砝码组合来进一步称量。注意到85g可以分解为30g+30g+25g，或者50g+35g等，我们可以尝试构造这样的组合。
3. 一个有效的组合是：首先用30g砝码称出30g糖，然后用30g砝码和已经称出的30g糖一起放在天平一端，再在天平另一端放上5g砝码并逐渐加入糖，直到天平平衡，这样我们就称出了55g的糖（30g+30g-5g=55g，这里的“-5g”是因为我们在天平的一端放了5g的砝码，所以需要从总重量中减去）。再加上最初称出的30g糖，总共就是85g糖。
实际上，我们只需要三次称量：第一次称出30g糖，第二次利用30g砝码和30g糖称出55g糖（通过天平平衡原理，一端放30g砝码+30g糖，另一端放5g砝码+待称的糖，直到平衡），第三次将前两次称出的糖汇总，就得到了85g糖。但考虑到题目问的是“最少要用天平称几次”，并且上述第二次称量过程中，我们可以直接在一次称量中通过调整砝码和糖的位置来同时称出30g和55g（或类似组合），因此最少只需要称两次（第一次30g，第二次通过砝码和糖的组合称出剩余的55g，或者直接称出85g-30g=55g的糖与30g糖合并）。但更严谨的表述应是三次操作中的两次有效称量，或直接通过组合称量实现两次称量完成。由于题目意图是询问直接称量的次数，且考虑到组合称量的可能性，我们采用“最少三次操作中的两次称量”这一理解，但简化为“最少称两次（通过组合方式）”。然而，最直接的解答且符合题目“最少次数”意图的应是三次操作描述中的核心两次，但此处按照题目要求的简洁性，我们给出最少需要三次操作中的两次有效称量的结论，即最少可以认为是通过两次直接的称量操作（加上一次合并操作，但合并不计入称量次数）来完成。
但严格根据题目通常理解，我们应表述为最少需要三次天平使用中的两次有效称量（若必须严格以“次”为单位，且不考虑合并为一次表述的情况，则因第一次30g，第二次通过天平平衡原理称出剩余所需糖，第三次为合并前两次，故直接称量次数为两次，合并不计入“称量次数”内），此处为符合题目最直接询问，简化为“最少称两次（通过有效组合称量方式）”。
【答案】：
最少要用天平称两次。理由：首先，用30g砝码称出30g糖。然后，利用天平的平衡原理，一端放30g砝码和已称出的30g糖，另一端放5g砝码并逐渐加入糖，直到天平平衡，这样可以称出55g的糖（通过计算得出，即30g+30g-5g=55g）。最后，将30g和55g的糖合并，得到85g的糖。因此，最少需要称两次（通过有效组合称量方式）。