12. 若代数式 $ x - 5 $ 与 $ 2x - 1 $ 的值相等,则 $ x $ 的值是
$-4$
。答案：【解析】：
本题考查的是一元一次方程的解法，特别是移项和合并同类项的方法。
题目给出两个代数式 $x - 5$ 和 $2x - 1$ 的值相等，需要求解 $x$ 的值。
根据题目，可以建立一元一次方程：
$x - 5 = 2x - 1$，
接下来，我们需要移项，即将所有包含 $x$ 的项移到方程的一边，常数项移到另一边：
$x - 2x = -1 + 5$，
然后，合并同类项，即合并 $x$ 的系数和常数项：
$-x = 4$，
最后，将 $x$ 的系数化为 1，即解出 $x$ 的值：
$x = -4$。
【答案】：
$x = -4$。
本题考查的是一元一次方程的解法，特别是移项和合并同类项的方法。
题目给出两个代数式 $x - 5$ 和 $2x - 1$ 的值相等，需要求解 $x$ 的值。
根据题目，可以建立一元一次方程：
$x - 5 = 2x - 1$，
接下来，我们需要移项，即将所有包含 $x$ 的项移到方程的一边，常数项移到另一边：
$x - 2x = -1 + 5$，
然后，合并同类项，即合并 $x$ 的系数和常数项：
$-x = 4$，
最后，将 $x$ 的系数化为 1，即解出 $x$ 的值：
$x = -4$。
【答案】：
$x = -4$。
13. 已知“★”是新定义的某种运算符号,$ a,b $ 为任意有理数,且 $ a★b = ab + a - b $。若 $ 2★n = -8 $,则 $ n = $
-10
。答案：解：根据新定义运算 $a★b = ab + a - b$，将 $a = 2$，$b = n$ 代入，得
$2★n = 2n + 2 - n$。
因为 $2★n = -8$，所以
$2n + 2 - n = -8$。
合并同类项，得
$n + 2 = -8$。
移项，得
$n = -8 - 2$。
计算，得
$n = -10$。
$-10$
$2★n = 2n + 2 - n$。
因为 $2★n = -8$，所以
$2n + 2 - n = -8$。
合并同类项，得
$n + 2 = -8$。
移项，得
$n = -8 - 2$。
计算，得
$n = -10$。
$-10$
14. 若方程 $ 5x - 15 = 4x - 10 $ 的解与关于 $ x $ 的方程 $ 4x - 3a - 1 = 6x + 2a - 1 $ 的解相同,则代数式 $ 2a^2 + 3a - 4 - (-3a^2 + 7a - 1) $ 的值为______。
25
答案：解：解方程$5x - 15 = 4x - 10$
移项，得$5x - 4x = -10 + 15$
合并同类项，得$x = 5$
将$x = 5$代入方程$4x - 3a - 1 = 6x + 2a - 1$
得$4×5 - 3a - 1 = 6×5 + 2a - 1$
计算，得$20 - 3a - 1 = 30 + 2a - 1$
$19 - 3a = 29 + 2a$
移项，得$-3a - 2a = 29 - 19$
合并同类项，得$-5a = 10$
系数化为1，得$a = -2$
化简代数式$2a^2 + 3a - 4 - (-3a^2 + 7a - 1)$
$= 2a^2 + 3a - 4 + 3a^2 - 7a + 1$
$= (2a^2 + 3a^2) + (3a - 7a) + (-4 + 1)$
$= 5a^2 - 4a - 3$
将$a = -2$代入，得$5×(-2)^2 - 4×(-2) - 3$
$= 5×4 + 8 - 3$
$= 20 + 8 - 3$
$= 25$
25
移项，得$5x - 4x = -10 + 15$
合并同类项，得$x = 5$
将$x = 5$代入方程$4x - 3a - 1 = 6x + 2a - 1$
得$4×5 - 3a - 1 = 6×5 + 2a - 1$
计算，得$20 - 3a - 1 = 30 + 2a - 1$
$19 - 3a = 29 + 2a$
移项，得$-3a - 2a = 29 - 19$
合并同类项，得$-5a = 10$
系数化为1，得$a = -2$
化简代数式$2a^2 + 3a - 4 - (-3a^2 + 7a - 1)$
$= 2a^2 + 3a - 4 + 3a^2 - 7a + 1$
$= (2a^2 + 3a^2) + (3a - 7a) + (-4 + 1)$
$= 5a^2 - 4a - 3$
将$a = -2$代入，得$5×(-2)^2 - 4×(-2) - 3$
$= 5×4 + 8 - 3$
$= 20 + 8 - 3$
$= 25$
25
15. (1) 已知关于 $ x $ 的方程 $ 4x + 3k = 2x + 2 $ 和方程 $ 2x + k = 5x + \frac{5}{2} $ 的解相同,求 $ k $ 的值；
(2) 已知方程 $ \frac{1}{2}x = -2 $ 的解比关于 $ x $ 的方程 $ 5x - 2a = 0 $ 的解大 2,求关于 $ x $ 的方程 $ \frac{x}{a} - 15 = 0 $ 的解。
(2) 已知方程 $ \frac{1}{2}x = -2 $ 的解比关于 $ x $ 的方程 $ 5x - 2a = 0 $ 的解大 2,求关于 $ x $ 的方程 $ \frac{x}{a} - 15 = 0 $ 的解。
答案：(1)解：解方程$4x + 3k = 2x + 2$，移项得$4x - 2x=2 - 3k$，合并同类项得$2x=2 - 3k$，系数化为1得$x=\frac{2 - 3k}{2}$。
解方程$2x + k = 5x+\frac{5}{2}$，移项得$2x - 5x=\frac{5}{2}-k$，合并同类项得$-3x=\frac{5}{2}-k$，系数化为1得$x=\frac{k - \frac{5}{2}}{3}$。
因为两方程解相同，所以$\frac{2 - 3k}{2}=\frac{k - \frac{5}{2}}{3}$，去分母得$3(2 - 3k)=2(k - \frac{5}{2})$，去括号得$6 - 9k=2k - 5$，移项得$-9k - 2k=-5 - 6$，合并同类项得$-11k=-11$，系数化为1得$k = 1$。
(2)解：解方程$\frac{1}{2}x=-2$，系数化为1得$x=-4$。
设方程$5x - 2a = 0$的解为$m$，由题意得$-4 - m=2$，解得$m=-6$。
把$m=-6$代入$5x - 2a = 0$得$5×(-6)-2a = 0$，即$-30 - 2a = 0$，移项得$-2a=30$，系数化为1得$a=-15$。
解方程$\frac{x}{a}-15 = 0$，把$a=-15$代入得$\frac{x}{-15}-15 = 0$，移项得$\frac{x}{-15}=15$，系数化为1得$x=-225$。
解方程$2x + k = 5x+\frac{5}{2}$，移项得$2x - 5x=\frac{5}{2}-k$，合并同类项得$-3x=\frac{5}{2}-k$，系数化为1得$x=\frac{k - \frac{5}{2}}{3}$。
因为两方程解相同，所以$\frac{2 - 3k}{2}=\frac{k - \frac{5}{2}}{3}$，去分母得$3(2 - 3k)=2(k - \frac{5}{2})$，去括号得$6 - 9k=2k - 5$，移项得$-9k - 2k=-5 - 6$，合并同类项得$-11k=-11$，系数化为1得$k = 1$。
(2)解：解方程$\frac{1}{2}x=-2$，系数化为1得$x=-4$。
设方程$5x - 2a = 0$的解为$m$，由题意得$-4 - m=2$，解得$m=-6$。
把$m=-6$代入$5x - 2a = 0$得$5×(-6)-2a = 0$，即$-30 - 2a = 0$，移项得$-2a=30$，系数化为1得$a=-15$。
解方程$\frac{x}{a}-15 = 0$，把$a=-15$代入得$\frac{x}{-15}-15 = 0$，移项得$\frac{x}{-15}=15$，系数化为1得$x=-225$。
16. 我们规定：若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ ax = b $ 的解为 $ x = b - a $,则称该方程是“差解方程”,例如：方程 $ 2x = 4 $ 的解为 $ x = 2 $,且 $ 2 = 4 - 2 $,则方程 $ 2x = 4 $ 是“差解方程”。请根据上述规定解答下列问题：
(1) 判断方程 $ 3x = 4.5 $ 是否是“差解方程”；
(2) 若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ 5x = m + 1 $ 是“差解方程”,求 $ m $ 的值。
(1) 判断方程 $ 3x = 4.5 $ 是否是“差解方程”；
(2) 若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ 5x = m + 1 $ 是“差解方程”,求 $ m $ 的值。
答案：【解析】：
本题主要考察一元一次方程的解以及题目中“差解方程”的定义。
(1) 对于方程 $3x = 4.5$，我们需要先求解该方程，然后判断其解是否满足“差解方程”的定义。
解方程 $3x = 4.5$，得到 $x = 1.5$。
根据“差解方程”的定义，需要验证 $x = b - a$ 是否成立，即 $1.5 = 4.5 - 3$。
显然，这个等式成立，所以方程 $3x = 4.5$ 是“差解方程”。
(2) 对于方程 $5x = m + 1$，若它是“差解方程”，则它的解 $x$ 应满足 $x = (m + 1) - 5$。
同时，我们也可以直接解这个方程得到 $x = \frac{m + 1}{5}$。
将两个解的表达式相等，即 $\frac{m + 1}{5} = (m + 1) - 5$。
解这个方程，可以得到 $m$ 的值。
【答案】：
(1) 解：
方程 $3x = 4.5$ 的解为 $x = \frac{4.5}{3} = 1.5$。
验证 $x = b - a$，即 $1.5 = 4.5 - 3$，等式成立。
∴ 方程 $3x = 4.5$ 是“差解方程”。
(2) 解：
方程 $5x = m + 1$ 的解为 $x = \frac{m + 1}{5}$。
根据“差解方程”的定义，有 $\frac{m + 1}{5} = (m + 1) - 5$。
解这个方程，得到 $m = \frac{21}{4}$。
∴ $m$ 的值为 $\frac{21}{4}$。
本题主要考察一元一次方程的解以及题目中“差解方程”的定义。
(1) 对于方程 $3x = 4.5$，我们需要先求解该方程，然后判断其解是否满足“差解方程”的定义。
解方程 $3x = 4.5$，得到 $x = 1.5$。
根据“差解方程”的定义，需要验证 $x = b - a$ 是否成立，即 $1.5 = 4.5 - 3$。
显然，这个等式成立，所以方程 $3x = 4.5$ 是“差解方程”。
(2) 对于方程 $5x = m + 1$，若它是“差解方程”，则它的解 $x$ 应满足 $x = (m + 1) - 5$。
同时，我们也可以直接解这个方程得到 $x = \frac{m + 1}{5}$。
将两个解的表达式相等，即 $\frac{m + 1}{5} = (m + 1) - 5$。
解这个方程，可以得到 $m$ 的值。
【答案】：
(1) 解：
方程 $3x = 4.5$ 的解为 $x = \frac{4.5}{3} = 1.5$。
验证 $x = b - a$，即 $1.5 = 4.5 - 3$，等式成立。
∴ 方程 $3x = 4.5$ 是“差解方程”。
(2) 解：
方程 $5x = m + 1$ 的解为 $x = \frac{m + 1}{5}$。
根据“差解方程”的定义，有 $\frac{m + 1}{5} = (m + 1) - 5$。
解这个方程，得到 $m = \frac{21}{4}$。
∴ $m$ 的值为 $\frac{21}{4}$。
17. 亮点原创 有一列数 $ a_1,a_2,…,a_{2025} $,其中任意三个相邻数的和都是 10,$ a_5 = 3 $,$ a_{400} = 2x + 1 $,$ a_{999} = 2x - 2 $,则 $ x $ 的值为(
A.0
B.1
C.2
D.3
C
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案：解：由题意得，任意三个相邻数的和都是10，即$a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}=10$，$a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=10$，两式相减得$a_{n}=a_{n+3}$，所以该数列周期为3。
因为$5÷3=1\cdots\cdots2$，所以$a_{5}=a_{2}=3$；
$400÷3=133\cdots\cdots1$，所以$a_{400}=a_{1}=2x + 1$；
$999÷3=333$，所以$a_{999}=a_{3}=2x - 2$。
又因为$a_{1}+a_{2}+a_{3}=10$，所以$(2x + 1)+3+(2x - 2)=10$，
解得$4x + 2 = 10$，$4x=8$，$x=2$。
答案：C
因为$5÷3=1\cdots\cdots2$，所以$a_{5}=a_{2}=3$；
$400÷3=133\cdots\cdots1$，所以$a_{400}=a_{1}=2x + 1$；
$999÷3=333$，所以$a_{999}=a_{3}=2x - 2$。
又因为$a_{1}+a_{2}+a_{3}=10$，所以$(2x + 1)+3+(2x - 2)=10$，
解得$4x + 2 = 10$，$4x=8$，$x=2$。
答案：C
18. (2025·江苏泰州期末)对于三个互不相等的有理数 $ a,b,c $,我们规定符号 $ \max\{a,b,c\} $ 表示 $ a,b,c $ 三个数中最大的数,例如：$ \max\{2,3,4\} = 4 $,则方程 $ \max\{x,-x,0\} = 3x - 2 $ 的解为______
$x=1$
。答案：【解析】：
根据题目中的新定义，我们需要分三种情况来讨论$max{x, -x, 0}$的取值。
当$x \gt -x$且$x \gt 0$，即$x \gt 0$时，$max{x, -x, 0} = x$，原方程化为$x = 3x - 2$，移项得$2x = 2$，解得$x = 1$；
当$-x \gt x$且$-x \gt 0$，即$x \lt 0$时，$max{x, -x, 0} = -x$，原方程化为$-x = 3x - 2$，移项并合并同类项得$-4x = -2$，解得$x = \frac{1}{2}$，但由于$x \lt 0$，所以这个解不符合条件，需要舍去；
当$x = -x$时，$x = 0$，但此时$max{x, -x, 0} = 0$，原方程化为$0 = 3 × 0 - 2$，显然不成立，所以无解。
综上，只有$x = 1$是原方程的解。
【答案】：
$x = 1$
根据题目中的新定义，我们需要分三种情况来讨论$max{x, -x, 0}$的取值。
当$x \gt -x$且$x \gt 0$，即$x \gt 0$时，$max{x, -x, 0} = x$，原方程化为$x = 3x - 2$，移项得$2x = 2$，解得$x = 1$；
当$-x \gt x$且$-x \gt 0$，即$x \lt 0$时，$max{x, -x, 0} = -x$，原方程化为$-x = 3x - 2$，移项并合并同类项得$-4x = -2$，解得$x = \frac{1}{2}$，但由于$x \lt 0$，所以这个解不符合条件，需要舍去；
当$x = -x$时，$x = 0$，但此时$max{x, -x, 0} = 0$，原方程化为$0 = 3 × 0 - 2$，显然不成立，所以无解。
综上，只有$x = 1$是原方程的解。
【答案】：
$x = 1$
19. 【问题情境】解方程：$ 100(5x + 8) - 201(5x + 8) = -5x - 8 $。
【问题探究】设 $ 5x + 8 = y $,
则原方程可化为 $ 100y - 201y = -y $。
移项,得 $ 100y - 201y + y = 0 $。
合并同类项,得 $ -100y = 0 $。
两边都除以 -100,得 $ y = 0 $,
即 $ 5x + 8 = 0 $,
解得 $ x = -\frac{8}{5} $。
利用上述方法解方程：$ 7(1 - 2x) + 11(1 - 2x) = 2x - 1 $。
【问题探究】设 $ 5x + 8 = y $,
则原方程可化为 $ 100y - 201y = -y $。
移项,得 $ 100y - 201y + y = 0 $。
合并同类项,得 $ -100y = 0 $。
两边都除以 -100,得 $ y = 0 $,
即 $ 5x + 8 = 0 $,
解得 $ x = -\frac{8}{5} $。
利用上述方法解方程：$ 7(1 - 2x) + 11(1 - 2x) = 2x - 1 $。
答案：解：设 $1 - 2x = y$，则原方程可化为 $7y + 11y = -y$。
移项，得 $7y + 11y + y = 0$。
合并同类项，得 $19y = 0$。
两边都除以19，得 $y = 0$。
即 $1 - 2x = 0$。
解得 $x = \frac{1}{2}$。
移项，得 $7y + 11y + y = 0$。
合并同类项，得 $19y = 0$。
两边都除以19，得 $y = 0$。
即 $1 - 2x = 0$。
解得 $x = \frac{1}{2}$。