11. 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7,这个两位数加上45后,结果恰好为这个两位数十位数字与个位数字对调后组成的两位数,则这个两位数是(
A.25
B.16
C.34
D.61
B
)A.25
B.16
C.34
D.61
答案：【解析】：
本题主要考查一元一次方程的建立与求解。
设这个两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据题意，我们可以列出以下两个方程：
十位数字与个位数字的和是7，即：
$x + y = 7$
这个两位数加上45后，结果恰好为这个两位数十位数字与个位数字对调后组成的两位数。
原两位数可以表示为$10x + y$，对调后的两位数可以表示为$10y + x$，所以有：
$10x + y + 45 = 10y + x$
将两个方程组合，我们得到一元一次方程：
$10x + y + 45 = 10y + x$
$x + y = 7$
解这个方程组，首先我们从第二个方程中解出$y$：
$y = 7 - x$
将这个表达式代入第一个方程中，得到：
$10x + (7 - x) + 45 = 10(7 - x) + x$
解这个方程，我们得到：
$x = 1$
$y = 6$
所以这个两位数是16。
【答案】：B. 16。
本题主要考查一元一次方程的建立与求解。
设这个两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据题意，我们可以列出以下两个方程：
十位数字与个位数字的和是7，即：
$x + y = 7$
这个两位数加上45后，结果恰好为这个两位数十位数字与个位数字对调后组成的两位数。
原两位数可以表示为$10x + y$，对调后的两位数可以表示为$10y + x$，所以有：
$10x + y + 45 = 10y + x$
将两个方程组合，我们得到一元一次方程：
$10x + y + 45 = 10y + x$
$x + y = 7$
解这个方程组，首先我们从第二个方程中解出$y$：
$y = 7 - x$
将这个表达式代入第一个方程中，得到：
$10x + (7 - x) + 45 = 10(7 - x) + x$
解这个方程，我们得到：
$x = 1$
$y = 6$
所以这个两位数是16。
【答案】：B. 16。
12. 若关于$x的方程6-2k= 2(x+3)与3(2x-2)= 2-3x$的解相同,则$k$的值为
$-\dfrac{8}{9}$
。答案：【解析】：
本题主要考查一元一次方程的解法以及同解方程的概念。
首先，我们需要解方程$3(2x-2) = 2-3x$，以找到该方程的解。
然后，我们将这个解代入方程$6-2k = 2(x+3)$，以求解$k$的值。
具体步骤如下：
1. 解方程$3(2x-2) = 2-3x$。
2. 将求得的$x$值代入方程$6-2k = 2(x+3)$。
3. 通过解这个方程，我们可以找到$k$的值。
【答案】：
解方程$3(2x-2) = 2-3x$：
$6x - 6 = 2 - 3x$，
$9x = 8$，
$x = \frac{8}{9}$。
将$x = \frac{8}{9}$代入方程$6-2k = 2(x+3)$：
$6-2k = 2\left(\frac{8}{9}+3\right)$，
$6-2k = 2 × \frac{35}{9}$，
$6-2k = \frac{70}{9}$，
$-2k = \frac{70}{9} - 6$，
$-2k = \frac{70}{9} - \frac{54}{9}$，
$-2k = \frac{16}{9}$，
$k = -\frac{8}{9}$。
故答案为：$k = -\frac{8}{9}$。
本题主要考查一元一次方程的解法以及同解方程的概念。
首先，我们需要解方程$3(2x-2) = 2-3x$，以找到该方程的解。
然后，我们将这个解代入方程$6-2k = 2(x+3)$，以求解$k$的值。
具体步骤如下：
1. 解方程$3(2x-2) = 2-3x$。
2. 将求得的$x$值代入方程$6-2k = 2(x+3)$。
3. 通过解这个方程，我们可以找到$k$的值。
【答案】：
解方程$3(2x-2) = 2-3x$：
$6x - 6 = 2 - 3x$，
$9x = 8$，
$x = \frac{8}{9}$。
将$x = \frac{8}{9}$代入方程$6-2k = 2(x+3)$：
$6-2k = 2\left(\frac{8}{9}+3\right)$，
$6-2k = 2 × \frac{35}{9}$，
$6-2k = \frac{70}{9}$，
$-2k = \frac{70}{9} - 6$，
$-2k = \frac{70}{9} - \frac{54}{9}$，
$-2k = \frac{16}{9}$，
$k = -\frac{8}{9}$。
故答案为：$k = -\frac{8}{9}$。
13. 若$y= 3是方程2+(m-y)= 2y$的解,则关于$x的方程2mx= (m+1)(3x-5)$的解是______。
$x = 4$
答案：【解析】：
本题主要考查一元一次方程的解法以及方程的解的应用。
首先，将$y=3$代入方程$2+(m-y)=2y$中，得到：
$2 + (m - 3) = 6$
化简得：
$m - 1 = 6$
进一步解得：
$m = 7$
然后，将求得的$m=7$代入关于$x$的方程$2mx = (m+1)(3x-5)$中，得到：
$14x = 8(3x - 5)$
去括号得：
$14x = 24x - 40$
移项并合并同类项得：
$-10x = -40$
解得：
$x = 4$
【答案】：
$x = 4$
本题主要考查一元一次方程的解法以及方程的解的应用。
首先，将$y=3$代入方程$2+(m-y)=2y$中，得到：
$2 + (m - 3) = 6$
化简得：
$m - 1 = 6$
进一步解得：
$m = 7$
然后，将求得的$m=7$代入关于$x$的方程$2mx = (m+1)(3x-5)$中，得到：
$14x = 8(3x - 5)$
去括号得：
$14x = 24x - 40$
移项并合并同类项得：
$-10x = -40$
解得：
$x = 4$
【答案】：
$x = 4$
14. 小明解关于$y的一元一次方程3(y+a)= 2y+4$,在去括号时,将$a$漏乘了3,得到方程的解为$y= 3$,则原方程的解为______。
$y = 1$
答案：【解析】：
首先，根据小明的错误，他得到的方程是 $3y + a = 2y + 4$，并且他得到的解是 $y = 3$。
将 $y = 3$ 代入小明得到的方程 $3y + a = 2y + 4$，即：
$3 × 3 + a = 2 × 3 + 4$
$9 + a = 6 + 4$
$a = 1$
得到 $a$ 的值后，我们可以写出原方程：
$3(y + 1) = 2y + 4$
去括号，得：
$3y + 3 = 2y + 4$
移项并合并同类项，得：
$y = 1$
【答案】：
$y = 1$
首先，根据小明的错误，他得到的方程是 $3y + a = 2y + 4$，并且他得到的解是 $y = 3$。
将 $y = 3$ 代入小明得到的方程 $3y + a = 2y + 4$，即：
$3 × 3 + a = 2 × 3 + 4$
$9 + a = 6 + 4$
$a = 1$
得到 $a$ 的值后，我们可以写出原方程：
$3(y + 1) = 2y + 4$
去括号，得：
$3y + 3 = 2y + 4$
移项并合并同类项，得：
$y = 1$
【答案】：
$y = 1$
15. 新素养 运算能力 解下列方程：
(1)$\frac{2}{3}[\frac{3}{2}(x-4)-6]= 2x+1$；
(2)$\frac{4}{3}[\frac{3}{2}(\frac{x}{2}-1)-3]-2x= 5(x+1)+1$。
(1)$\frac{2}{3}[\frac{3}{2}(x-4)-6]= 2x+1$；
(2)$\frac{4}{3}[\frac{3}{2}(\frac{x}{2}-1)-3]-2x= 5(x+1)+1$。
答案：【解析】：
本题主要考察一元一次方程的解法，特别是去括号的技巧。
对于这类方程，我们需要先去掉方程中的括号，然后通过移项、合并同类项等步骤求解方程。
(1) 对于方程 $\frac{2}{3}[\frac{3}{2}(x-4)-6]= 2x+1$
首先，我们可以逐步去掉括号：
$\frac{2}{3} × \frac{3}{2}(x-4) = x-4$
$\frac{2}{3} × (-6) = -4$
所以，原方程可以化简为：
$x-4-4 = 2x+1$
接着，我们移项并合并同类项：
$x-2x = 1+4+4$
$-x = 9$
从而得到：
$x = -9$
(2) 对于方程 $\frac{4}{3}[\frac{3}{2}(\frac{x}{2}-1)-3]-2x= 5(x+1)+1$
我们同样去掉括号：
$\frac{4}{3} × \frac{3}{2}(\frac{x}{2}-1) = 2(\frac{x}{2}-1) = x-2$
$\frac{4}{3} × (-3) = -4$
所以，原方程可以化简为：
$x-2-4-2x = 5x+5+1$
接着，我们移项并合并同类项：
$x-2x-5x = 5+1+2+4$
$-6x = 12$
从而得到：
$x = -2$
【答案】：
(1) $x = -9$
(2) $x = -2$
本题主要考察一元一次方程的解法，特别是去括号的技巧。
对于这类方程，我们需要先去掉方程中的括号，然后通过移项、合并同类项等步骤求解方程。
(1) 对于方程 $\frac{2}{3}[\frac{3}{2}(x-4)-6]= 2x+1$
首先，我们可以逐步去掉括号：
$\frac{2}{3} × \frac{3}{2}(x-4) = x-4$
$\frac{2}{3} × (-6) = -4$
所以，原方程可以化简为：
$x-4-4 = 2x+1$
接着，我们移项并合并同类项：
$x-2x = 1+4+4$
$-x = 9$
从而得到：
$x = -9$
(2) 对于方程 $\frac{4}{3}[\frac{3}{2}(\frac{x}{2}-1)-3]-2x= 5(x+1)+1$
我们同样去掉括号：
$\frac{4}{3} × \frac{3}{2}(\frac{x}{2}-1) = 2(\frac{x}{2}-1) = x-2$
$\frac{4}{3} × (-3) = -4$
所以，原方程可以化简为：
$x-2-4-2x = 5x+5+1$
接着，我们移项并合并同类项：
$x-2x-5x = 5+1+2+4$
$-6x = 12$
从而得到：
$x = -2$
【答案】：
(1) $x = -9$
(2) $x = -2$
16. 对于任意有理数$a$,$b$,定义一种新的运算“$\triangle$”：$a\triangle b= a^{2}+2b$,如：$3\triangle(-2)= 3^{2}+2×(-2)= 5$。
(1) 求$2\triangle(-3)$的值；
(2) 若$2\triangle x= 2$,求$x$的值；
(3) 若$(-2)\triangle(1\triangle x)= x+9$,求$x$的值。
(1) 求$2\triangle(-3)$的值；
(2) 若$2\triangle x= 2$,求$x$的值；
(3) 若$(-2)\triangle(1\triangle x)= x+9$,求$x$的值。
答案：【解析】：
本题主要考察新定义运算、一元一次方程的解法。
(1) 根据新定义的运算规则，我们可以将$2\triangle(-3)$转化为标准的数学运算：
$2\triangle(-3) = 2^{2} + 2 × (-3) = 4 - 6 = -2$
(2) 对于$2\triangle x = 2$，我们可以根据新定义的运算规则，将其转化为一元一次方程：
$2\triangle x = 2^{2} + 2x = 4 + 2x = 2$
移项得：
$2x = -2$
解得：
$x = -1$
(3) 对于$(-2)\triangle(1\triangle x) = x + 9$，我们需要先求出$1\triangle x$的值，再将其代入到$(-2)\triangle(1\triangle x)$中，最后解出一元一次方程。
首先，求$1\triangle x$：
$1\triangle x = 1^{2} + 2x = 1 + 2x$
然后，将$1\triangle x$代入到$(-2)\triangle(1\triangle x)$中：
$(-2)\triangle(1 + 2x) = (-2)^{2} + 2(1 + 2x) = 4 + 2 + 4x = 6 + 4x$
最后，根据$(-2)\triangle(1\triangle x) = x + 9$，我们可以得到一元一次方程：
$6 + 4x = x + 9$
移项得：
$3x = 3$
解得：
$x = 1$
【答案】：
(1) $2\triangle(-3) = -2$
(2) $x = -1$
(3) $x = 1$
本题主要考察新定义运算、一元一次方程的解法。
(1) 根据新定义的运算规则，我们可以将$2\triangle(-3)$转化为标准的数学运算：
$2\triangle(-3) = 2^{2} + 2 × (-3) = 4 - 6 = -2$
(2) 对于$2\triangle x = 2$，我们可以根据新定义的运算规则，将其转化为一元一次方程：
$2\triangle x = 2^{2} + 2x = 4 + 2x = 2$
移项得：
$2x = -2$
解得：
$x = -1$
(3) 对于$(-2)\triangle(1\triangle x) = x + 9$，我们需要先求出$1\triangle x$的值，再将其代入到$(-2)\triangle(1\triangle x)$中，最后解出一元一次方程。
首先，求$1\triangle x$：
$1\triangle x = 1^{2} + 2x = 1 + 2x$
然后，将$1\triangle x$代入到$(-2)\triangle(1\triangle x)$中：
$(-2)\triangle(1 + 2x) = (-2)^{2} + 2(1 + 2x) = 4 + 2 + 4x = 6 + 4x$
最后，根据$(-2)\triangle(1\triangle x) = x + 9$，我们可以得到一元一次方程：
$6 + 4x = x + 9$
移项得：
$3x = 3$
解得：
$x = 1$
【答案】：
(1) $2\triangle(-3) = -2$
(2) $x = -1$
(3) $x = 1$
17. (2025·江苏连云港期末)已知关于$x的方程mx+2= 2(m-x)的解满足\vert x-\frac{1}{2}\vert-1= 0$,则$m$的值为(
A.10或$\frac{2}{5}$
B.10或$\frac{5}{2}$
C.$\frac{2}{5}或\frac{5}{2}$
D.5或10
A
)A.10或$\frac{2}{5}$
B.10或$\frac{5}{2}$
C.$\frac{2}{5}或\frac{5}{2}$
D.5或10
答案：解：解方程$\vert x - \frac{1}{2}\vert - 1 = 0$，得：
$\vert x - \frac{1}{2}\vert = 1$
$x - \frac{1}{2} = 1$或$x - \frac{1}{2} = -1$
$x = \frac{3}{2}$或$x = -\frac{1}{2}$
当$x = \frac{3}{2}$时，代入方程$mx + 2 = 2(m - x)$：
$\frac{3}{2}m + 2 = 2(m - \frac{3}{2})$
$\frac{3}{2}m + 2 = 2m - 3$
$\frac{3}{2}m - 2m = -3 - 2$
$-\frac{1}{2}m = -5$
$m = 10$
当$x = -\frac{1}{2}$时，代入方程$mx + 2 = 2(m - x)$：
$-\frac{1}{2}m + 2 = 2(m + \frac{1}{2})$
$-\frac{1}{2}m + 2 = 2m + 1$
$-\frac{1}{2}m - 2m = 1 - 2$
$-\frac{5}{2}m = -1$
$m = \frac{2}{5}$
综上，$m$的值为10或$\frac{2}{5}$，答案选A。
$\vert x - \frac{1}{2}\vert = 1$
$x - \frac{1}{2} = 1$或$x - \frac{1}{2} = -1$
$x = \frac{3}{2}$或$x = -\frac{1}{2}$
当$x = \frac{3}{2}$时，代入方程$mx + 2 = 2(m - x)$：
$\frac{3}{2}m + 2 = 2(m - \frac{3}{2})$
$\frac{3}{2}m + 2 = 2m - 3$
$\frac{3}{2}m - 2m = -3 - 2$
$-\frac{1}{2}m = -5$
$m = 10$
当$x = -\frac{1}{2}$时，代入方程$mx + 2 = 2(m - x)$：
$-\frac{1}{2}m + 2 = 2(m + \frac{1}{2})$
$-\frac{1}{2}m + 2 = 2m + 1$
$-\frac{1}{2}m - 2m = 1 - 2$
$-\frac{5}{2}m = -1$
$m = \frac{2}{5}$
综上，$m$的值为10或$\frac{2}{5}$，答案选A。
18. 对于任意有理数$a$,$b$,定义一种新的运算“$*$”：$a*b= a^{2}-2ab$,如：$3*4= 3^{2}-2×3×4= -15$。
(1) 计算：$(-5)*6= $
(2) 若$3*(\frac{1}{2}x-1)= 10$,则$x= $
(1) 计算：$(-5)*6= $
85
；(2) 若$3*(\frac{1}{2}x-1)= 10$,则$x= $
$\frac{5}{3}$
。答案：【解析】：
本题主要考察对新定义运算的理解和应用以及一元一次方程的求解。
(1) 根据新定义的运算规则，我们可以将$(-5)*6$转化为标准的数学运算：
$(-5)*6 = (-5)^{2} - 2 × (-5) × 6$
$= 25 + 60$
$= 85 - 2×(-5)×6（此处为验证加法交换律，实际计算可直接得出85+60-60中后两项抵消为25+60=85）$
$= 85 - (-60) （展示运算过程，实际可省略）$
$= 85 + 60 - 60 +(-5)×(-12)（再次验证，实际不需要，直接85即可）$
$= 85$（最终结果）
但注意到，我们实际只需计算$(-5)^{2} - 2 × (-5) × 6 = 25 + 60 = 85 - 0 = 85 - (-60+60) = 25 + 60 = 85$的简化结果，即：
$(-5)*6 = 85 - 2×(-30) = 25 + 60 = 85 - 0 = 85$（最终简化计算过程）
所以，$(-5)*6 = 85 - 60 + 60 - 30×(-2) = 25 + 60 = 85$（多余步骤，仅为展示计算无误，实际应直接得出85）$= 85 - 0 = 85$，即$(-5)*6 = 85 - 60 + 60 = 25 + 2×30 = 85$（再次验证，实际不需要），最终答案为$85 - 60 + 60 - (5×-12的相反数) = 25+60=85$，即$85$。
简化后：
$(-5)*6 = 25 + 60 = 85$
(2) 对于方程$3*(\frac{1}{2}x-1)= 10$，我们可以根据新定义的运算规则将其转化为标准的一元一次方程：
$3*(\frac{1}{2}x-1) = 3^{2} - 2 × 3 × (\frac{1}{2}x - 1)$
$= 9 - 6 × (\frac{1}{2}x - 1)$
$= 9 - 3x + 6$
$= 15 - 3x$
将上述表达式与10相等，得到方程：
$15 - 3x = 10$
移项并合并同类项，得到：
$-3x = -5$
除以-3得到x的
$x = \frac{5}{3} × \frac{1}{1}$
$x = \frac{5}{3} × 1$
$x = \frac{5 × 1}{3}$
$x = \frac{5}{3} ÷ 1$
$x = \frac{5}{3} × \frac{3}{3}$
$x = \frac{15}{9}$
$x = \frac{5 × 3}{3 × 3}$
由于分子分母都含有3，可以约分：
$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} × \frac{1}{1} = \frac{5 ÷ 3 × 3 ÷ 3}{1} = \frac{5}{3} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{3+2}{3} = \frac{5}{3} = 5 ÷ 3 = \frac{5}{3}$（此处为多次验证分数形式，实际计算直接得出$x=\frac{5}{3}$）
最终得到：
$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$（带分数形式）
或
$x = \frac{5}{3}$（最简分数形式，考试推荐）
【答案】：
(1) $85$
(2) $x = \frac{5}{3}$
本题主要考察对新定义运算的理解和应用以及一元一次方程的求解。
(1) 根据新定义的运算规则，我们可以将$(-5)*6$转化为标准的数学运算：
$(-5)*6 = (-5)^{2} - 2 × (-5) × 6$
$= 25 + 60$
$= 85 - 2×(-5)×6（此处为验证加法交换律，实际计算可直接得出85+60-60中后两项抵消为25+60=85）$
$= 85 - (-60) （展示运算过程，实际可省略）$
$= 85 + 60 - 60 +(-5)×(-12)（再次验证，实际不需要，直接85即可）$
$= 85$（最终结果）
但注意到，我们实际只需计算$(-5)^{2} - 2 × (-5) × 6 = 25 + 60 = 85 - 0 = 85 - (-60+60) = 25 + 60 = 85$的简化结果，即：
$(-5)*6 = 85 - 2×(-30) = 25 + 60 = 85 - 0 = 85$（最终简化计算过程）
所以，$(-5)*6 = 85 - 60 + 60 - 30×(-2) = 25 + 60 = 85$（多余步骤，仅为展示计算无误，实际应直接得出85）$= 85 - 0 = 85$，即$(-5)*6 = 85 - 60 + 60 = 25 + 2×30 = 85$（再次验证，实际不需要），最终答案为$85 - 60 + 60 - (5×-12的相反数) = 25+60=85$，即$85$。
简化后：
$(-5)*6 = 25 + 60 = 85$
(2) 对于方程$3*(\frac{1}{2}x-1)= 10$，我们可以根据新定义的运算规则将其转化为标准的一元一次方程：
$3*(\frac{1}{2}x-1) = 3^{2} - 2 × 3 × (\frac{1}{2}x - 1)$
$= 9 - 6 × (\frac{1}{2}x - 1)$
$= 9 - 3x + 6$
$= 15 - 3x$
将上述表达式与10相等，得到方程：
$15 - 3x = 10$
移项并合并同类项，得到：
$-3x = -5$
除以-3得到x的
$x = \frac{5}{3} × \frac{1}{1}$
$x = \frac{5}{3} × 1$
$x = \frac{5 × 1}{3}$
$x = \frac{5}{3} ÷ 1$
$x = \frac{5}{3} × \frac{3}{3}$
$x = \frac{15}{9}$
$x = \frac{5 × 3}{3 × 3}$
由于分子分母都含有3，可以约分：
$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} × \frac{1}{1} = \frac{5 ÷ 3 × 3 ÷ 3}{1} = \frac{5}{3} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{3+2}{3} = \frac{5}{3} = 5 ÷ 3 = \frac{5}{3}$（此处为多次验证分数形式，实际计算直接得出$x=\frac{5}{3}$）
最终得到：
$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$（带分数形式）
或
$x = \frac{5}{3}$（最简分数形式，考试推荐）
【答案】：
(1) $85$
(2) $x = \frac{5}{3}$
19. 新趋势 推导探究 【阅读材料】我们知道方程$ax= b$的解有三种情况：
① 当$a\neq0$时,方程有唯一解；
② 当$a= 0且b\neq0$时,方程无解；
③ 当$a= 0且b= 0$时,方程有无数解。
【解决问题】已知关于$x的方程3(ax-2)-(x+1)= 2(\frac{1}{2}+x)$。
(1) 当$a$为何值时,方程有唯一解？
(2) 当$a$为何值时,方程无解？
① 当$a\neq0$时,方程有唯一解；
② 当$a= 0且b\neq0$时,方程无解；
③ 当$a= 0且b= 0$时,方程有无数解。
【解决问题】已知关于$x的方程3(ax-2)-(x+1)= 2(\frac{1}{2}+x)$。
(1) 当$a$为何值时,方程有唯一解？
(2) 当$a$为何值时,方程无解？
答案：【解析】：
首先我们将原方程$3(ax-2)-(x+1)= 2(\frac{1}{2}+x)$进行去括号和移项操作。
去括号后得到：
$3ax - 6 - x - 1 = 1 + 2x$
整理得：
$(3a - 3)x = 8$
接下来我们根据一元一次方程的解的性质来判断a的取值。
(1) 当$3a - 3 \neq 0$，即$a \neq 1$时，方程有唯一解。因为此时系数不为0，符合一元一次方程有唯一解的条件。
(2) 当$3a - 3 = 0$，即$a = 1$时，方程变为$0 = 8$，这是一个矛盾方程，因此无解。
【答案】：
(1) 当$a \neq 1$时，方程有唯一解。
(2) 当$a = 1$时，方程无解。
首先我们将原方程$3(ax-2)-(x+1)= 2(\frac{1}{2}+x)$进行去括号和移项操作。
去括号后得到：
$3ax - 6 - x - 1 = 1 + 2x$
整理得：
$(3a - 3)x = 8$
接下来我们根据一元一次方程的解的性质来判断a的取值。
(1) 当$3a - 3 \neq 0$，即$a \neq 1$时，方程有唯一解。因为此时系数不为0，符合一元一次方程有唯一解的条件。
(2) 当$3a - 3 = 0$，即$a = 1$时，方程变为$0 = 8$，这是一个矛盾方程，因此无解。
【答案】：
(1) 当$a \neq 1$时，方程有唯一解。
(2) 当$a = 1$时，方程无解。