1. 新趋势传统文化 我国古代数学名著《九章算术》中记载:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何? 意思如下:现有几个人共买一件物品,每人出8钱,多出3钱;每人出7钱,还差4钱.问人数、物价各是多少? 设共有x人,物价是y钱,则下列方程正确的是 (
A.$8(x - 3)= 7(x + 4)$
B.$8x + 3= 7x - 4$
C.$\frac{y - 3}{8}= \frac{y + 4}{7}$
D.$\frac{y + 3}{8}= \frac{y - 4}{7}$
D
)A.$8(x - 3)= 7(x + 4)$
B.$8x + 3= 7x - 4$
C.$\frac{y - 3}{8}= \frac{y + 4}{7}$
D.$\frac{y + 3}{8}= \frac{y - 4}{7}$
答案：【解析】：
这是一个典型的数学问题，需要通过建立方程来解决。
题目描述了一个购物场景，其中每人出8钱会多出3钱，而每人出7钱则会少4钱。
我们需要找出购物的人数和物品的价格。
设共有x人，物价是y钱。
1. 当每人出8钱时，总金额为8x，而这个金额比物品的价格y多出3钱，所以有：$8x = y + 3$。
2. 当每人出7钱时，总金额为7x，而这个金额比物品的价格y少4钱，所以有：$7x = y - 4$。
为了消去x，我们可以将上述两个方程进行变形和对比。
从第一个方程中解出x：$x = \frac{y + 3}{8}$。
从第二个方程中解出x：$x = \frac{y - 4}{7}$。
由于x的人数是固定的，所以上述两个关于x的表达式应该相等，即：$\frac{y + 3}{8} = \frac{y - 4}{7}$。
对比选项，我们发现这与选项D相匹配。
【答案】：D。
这是一个典型的数学问题，需要通过建立方程来解决。
题目描述了一个购物场景，其中每人出8钱会多出3钱，而每人出7钱则会少4钱。
我们需要找出购物的人数和物品的价格。
设共有x人，物价是y钱。
1. 当每人出8钱时，总金额为8x，而这个金额比物品的价格y多出3钱，所以有：$8x = y + 3$。
2. 当每人出7钱时，总金额为7x，而这个金额比物品的价格y少4钱，所以有：$7x = y - 4$。
为了消去x，我们可以将上述两个方程进行变形和对比。
从第一个方程中解出x：$x = \frac{y + 3}{8}$。
从第二个方程中解出x：$x = \frac{y - 4}{7}$。
由于x的人数是固定的，所以上述两个关于x的表达式应该相等，即：$\frac{y + 3}{8} = \frac{y - 4}{7}$。
对比选项，我们发现这与选项D相匹配。
【答案】：D。
2. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管,单独开甲管20h可以注满水池,单独开乙管12h可以注满水池,那么两管齐开注满水池,需要的时间为 (
A.15h
B.6h
C.7.5h
D.8h
C
)A.15h
B.6h
C.7.5h
D.8h
答案：【解析】：
本题主要考察一元一次方程的应用，特别是工作问题的求解。
设工作总量为单位“1”。
甲管单独开20h可以注满水池，所以甲管的工作效率是$\frac{1}{20}$；
乙管单独开12h可以注满水池，所以乙管的工作效率是$\frac{1}{12}$。
当两管齐开时，它们的工作效率相加，即$\frac{1}{20} + \frac{1}{12}$。
设两管齐开需要$x$小时才能注满水池，那么它们的工作总量就是$(\frac{1}{20} + \frac{1}{12})x$。
根据工作总量为1，可以列出方程：
$(\frac{1}{20} + \frac{1}{12})x = 1$，
解这个方程，得到：
$x = \frac{1}{\frac{1}{20} + \frac{1}{12}} = 7.5$。
【答案】：C. $7.5h$。
本题主要考察一元一次方程的应用，特别是工作问题的求解。
设工作总量为单位“1”。
甲管单独开20h可以注满水池，所以甲管的工作效率是$\frac{1}{20}$；
乙管单独开12h可以注满水池，所以乙管的工作效率是$\frac{1}{12}$。
当两管齐开时，它们的工作效率相加，即$\frac{1}{20} + \frac{1}{12}$。
设两管齐开需要$x$小时才能注满水池，那么它们的工作总量就是$(\frac{1}{20} + \frac{1}{12})x$。
根据工作总量为1，可以列出方程：
$(\frac{1}{20} + \frac{1}{12})x = 1$，
解这个方程，得到：
$x = \frac{1}{\frac{1}{20} + \frac{1}{12}} = 7.5$。
【答案】：C. $7.5h$。
3. 某项工作,甲单独完成需12天,乙的工作效率比甲高20%,则乙单独完成这项工作需要的时间为 (
A.6天
B.8天
C.10天
D.11天
C
)A.6天
B.8天
C.10天
D.11天
答案：【解析】：
本题主要考察一元一次方程的应用以及工作效率与时间的关系。
设工作总量为$W$，甲单独完成需12天，则甲的工作效率为$\frac{W}{12}$。
乙的工作效率比甲高20%，则乙的工作效率为$\frac{W}{12} × 1.2 = \frac{W}{10}$。
设乙单独完成这项工作需要$x$天，则乙的工作效率也可以表示为$\frac{W}{x}$。
由于乙的工作效率有两种表示方式，我们可以得到方程：
$\frac{W}{x} = \frac{W}{10}$，
由于$W$不为0（工作总量总是存在的），我们可以消去$W$，得到：
$\frac{1}{x} = \frac{1}{10}$，
解这个方程，我们得到：
$x = 10$。
所以，乙单独完成这项工作需要10天。
【答案】：C. 10天。
本题主要考察一元一次方程的应用以及工作效率与时间的关系。
设工作总量为$W$，甲单独完成需12天，则甲的工作效率为$\frac{W}{12}$。
乙的工作效率比甲高20%，则乙的工作效率为$\frac{W}{12} × 1.2 = \frac{W}{10}$。
设乙单独完成这项工作需要$x$天，则乙的工作效率也可以表示为$\frac{W}{x}$。
由于乙的工作效率有两种表示方式，我们可以得到方程：
$\frac{W}{x} = \frac{W}{10}$，
由于$W$不为0（工作总量总是存在的），我们可以消去$W$，得到：
$\frac{1}{x} = \frac{1}{10}$，
解这个方程，我们得到：
$x = 10$。
所以，乙单独完成这项工作需要10天。
【答案】：C. 10天。
4. 一项工程,甲单独完成需20天,乙单独完成需25天.现在先由甲单独做2天,然后由甲、乙合做完成余下的部分,则完成这项工程一共需
12
天.答案：解：设甲、乙合做还需$x$天完成。
甲单独完成需20天，工作效率为$\frac{1}{20}$；乙单独完成需25天，工作效率为$\frac{1}{25}$。
甲先单独做2天的工作量为$2×\frac{1}{20}$，甲、乙合做$x$天的工作量为$(\frac{1}{20}+\frac{1}{25})x$，总工作量为1。
可列方程：$2×\frac{1}{20}+(\frac{1}{20}+\frac{1}{25})x=1$
化简得：$\frac{1}{10}+(\frac{5}{100}+\frac{4}{100})x=1$
$\frac{1}{10}+\frac{9}{100}x=1$
$\frac{9}{100}x=1-\frac{1}{10}$
$\frac{9}{100}x=\frac{9}{10}$
$x=10$
完成这项工程一共需$2 + 10 = 12$天。
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甲单独完成需20天，工作效率为$\frac{1}{20}$；乙单独完成需25天，工作效率为$\frac{1}{25}$。
甲先单独做2天的工作量为$2×\frac{1}{20}$，甲、乙合做$x$天的工作量为$(\frac{1}{20}+\frac{1}{25})x$，总工作量为1。
可列方程：$2×\frac{1}{20}+(\frac{1}{20}+\frac{1}{25})x=1$
化简得：$\frac{1}{10}+(\frac{5}{100}+\frac{4}{100})x=1$
$\frac{1}{10}+\frac{9}{100}x=1$
$\frac{9}{100}x=1-\frac{1}{10}$
$\frac{9}{100}x=\frac{9}{10}$
$x=10$
完成这项工程一共需$2 + 10 = 12$天。
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5. 一项工程,甲单独做需20h完成,乙单独做需15h完成.两人先合做6h,之后乙有其他任务,剩下的工程由甲单独完成,则甲还需
6
h才能完成这项工程.答案：解：设甲还需$x$h才能完成这项工程。
把这项工程的工作量看作单位“1”，甲的工作效率为$\frac{1}{20}$，乙的工作效率为$\frac{1}{15}$。
两人合做6h的工作量为$6×(\frac{1}{20}+\frac{1}{15})$，甲单独做$x$h的工作量为$\frac{1}{20}x$。
根据题意，可列方程：
$6×(\frac{1}{20}+\frac{1}{15})+\frac{1}{20}x=1$
$6×(\frac{3}{60}+\frac{4}{60})+\frac{x}{20}=1$
$6×\frac{7}{60}+\frac{x}{20}=1$
$\frac{7}{10}+\frac{x}{20}=1$
$\frac{x}{20}=1-\frac{7}{10}$
$\frac{x}{20}=\frac{3}{10}$
$x=6$
答：甲还需$6$h才能完成这项工程。
把这项工程的工作量看作单位“1”，甲的工作效率为$\frac{1}{20}$，乙的工作效率为$\frac{1}{15}$。
两人合做6h的工作量为$6×(\frac{1}{20}+\frac{1}{15})$，甲单独做$x$h的工作量为$\frac{1}{20}x$。
根据题意，可列方程：
$6×(\frac{1}{20}+\frac{1}{15})+\frac{1}{20}x=1$
$6×(\frac{3}{60}+\frac{4}{60})+\frac{x}{20}=1$
$6×\frac{7}{60}+\frac{x}{20}=1$
$\frac{7}{10}+\frac{x}{20}=1$
$\frac{x}{20}=1-\frac{7}{10}$
$\frac{x}{20}=\frac{3}{10}$
$x=6$
答：甲还需$6$h才能完成这项工程。
6. 学校给某班女生分配宿舍,如果每间住4人,那么剩9人无宿舍住;如果每间住6人,那么有一间宿舍只住了3人.分配的宿舍有
6
间.答案：【解析】：
本题主要考查一元一次方程的应用。
设分配的宿舍有$x$间，根据题意，当每间住4人时，剩9人无宿舍住，所以女生总人数为$4x + 9$。
当每间住6人时，有一间宿舍只住了3人，即实际住满的房间数为$x-1$，那么这$x-1$间宿舍住了$6(x-1)$人。
再加上那一间只住了3人的宿舍，总人数为$6(x-1) + 3$。
由于女生总人数不变，所以我们可以得到方程：
$4x + 9 = 6(x - 1) + 3$
解这个方程，我们得到：
$4x + 9 = 6x - 6 + 3$
$4x + 9 = 6x - 3$
$2x = 12$
$x = 6$
所以，分配的宿舍有6间。
【答案】：
6
本题主要考查一元一次方程的应用。
设分配的宿舍有$x$间，根据题意，当每间住4人时，剩9人无宿舍住，所以女生总人数为$4x + 9$。
当每间住6人时，有一间宿舍只住了3人，即实际住满的房间数为$x-1$，那么这$x-1$间宿舍住了$6(x-1)$人。
再加上那一间只住了3人的宿舍，总人数为$6(x-1) + 3$。
由于女生总人数不变，所以我们可以得到方程：
$4x + 9 = 6(x - 1) + 3$
解这个方程，我们得到：
$4x + 9 = 6x - 6 + 3$
$4x + 9 = 6x - 3$
$2x = 12$
$x = 6$
所以，分配的宿舍有6间。
【答案】：
6
7. (2024·陕西)星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需4h;若爸爸单独完成,需2h.当天,小峰先单独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了3h.求这次小峰打扫了多长时间.
答案：【解析】：
本题主要考查一元一次方程的应用。
设小峰打扫了$x$小时，那么爸爸就打扫了（$3 - x$）小时。
根据题意，小峰单独完成需4小时，所以小峰1小时可以完成$\frac{1}{4}$的工作；
爸爸单独完成需2小时，所以爸爸1小时可以完成$\frac{1}{2}$的工作。
因此，可以设立如下方程来表示整个打扫任务：
小峰完成的部分 + 爸爸完成的部分 = 全部任务，
即：$\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}(3 - x) = 1$。
接下来，我们解这个方程来找出$x$的值。
【答案】：
解：设小峰打扫了$x$小时，则爸爸打扫了（$3 - x$）小时。
根据题意，我们可以得到方程：
$\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}(3 - x) = 1$，
去括号得：
$\frac{1}{4}x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x = 1$，
移项、合并同类项得：
$-\frac{1}{4}x = -\frac{1}{2}$，
系数化为1得：
$x = 2$。
所以，这次小峰打扫了2小时。
本题主要考查一元一次方程的应用。
设小峰打扫了$x$小时，那么爸爸就打扫了（$3 - x$）小时。
根据题意，小峰单独完成需4小时，所以小峰1小时可以完成$\frac{1}{4}$的工作；
爸爸单独完成需2小时，所以爸爸1小时可以完成$\frac{1}{2}$的工作。
因此，可以设立如下方程来表示整个打扫任务：
小峰完成的部分 + 爸爸完成的部分 = 全部任务，
即：$\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}(3 - x) = 1$。
接下来，我们解这个方程来找出$x$的值。
【答案】：
解：设小峰打扫了$x$小时，则爸爸打扫了（$3 - x$）小时。
根据题意，我们可以得到方程：
$\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}(3 - x) = 1$，
去括号得：
$\frac{1}{4}x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x = 1$，
移项、合并同类项得：
$-\frac{1}{4}x = -\frac{1}{2}$，
系数化为1得：
$x = 2$。
所以，这次小峰打扫了2小时。
8. (2025·江苏泰州期末)小华从家里骑自行车到学校,若每小时骑15km,则早到3min;若每小时骑12km,则迟到3min.小华家到学校的路程是 (
A.4km
B.5km
C.6km
D.8km
C
)A.4km
B.5km
C.6km
D.8km
答案：【解析】：
本题主要考查一元一次方程的应用。
设小华家到学校的路程为 $x$ km。
当小华每小时骑15km时，用时为 $\frac{x}{15}$ 小时，早到3分钟，即用时比标准时间少 $\frac{3}{60}$ 小时。
当小华每小时骑12km时，用时为 $\frac{x}{12}$ 小时，迟到3分钟，即用时比标准时间多 $\frac{3}{60}$ 小时。
根据题意，我们可以得到方程：
$\frac{x}{15} + \frac{3}{60} = \frac{x}{12} - \frac{3}{60}$，
解这个方程，我们得到：
$x = 6$，
即小华家到学校的路程是 6km。
【答案】：C. 6km。
本题主要考查一元一次方程的应用。
设小华家到学校的路程为 $x$ km。
当小华每小时骑15km时，用时为 $\frac{x}{15}$ 小时，早到3分钟，即用时比标准时间少 $\frac{3}{60}$ 小时。
当小华每小时骑12km时，用时为 $\frac{x}{12}$ 小时，迟到3分钟，即用时比标准时间多 $\frac{3}{60}$ 小时。
根据题意，我们可以得到方程：
$\frac{x}{15} + \frac{3}{60} = \frac{x}{12} - \frac{3}{60}$，
解这个方程，我们得到：
$x = 6$，
即小华家到学校的路程是 6km。
【答案】：C. 6km。
9. 某班劳动时,将全班同学分成x个小组,若每小组11人,则余下1人;若每小组12人,则有一小组少4人.若要求每小组人数相同,则可以分成 (
A.3组
B.5组
C.6组
D.7组
D
)A.3组
B.5组
C.6组
D.7组
答案：【解析】：
本题考查的是利用一元一次方程来解决实际问题。
根据题意，设全班同学分成$x$个小组，当每小组11人时，余下1人，即总人数为$11x+1$；
当每小组12人时，有一小组少4人，即总人数为$12x-4$。
由于两种情况的总人数是相同的，所以可以列出等式：$11x + 1 = 12x - 4$，
移项得：$x = 5$，
将$x = 5$代入$11x + 1$，得到总人数为56人。
考虑重新分组，需要找到一个数$y$，使得56人可以被$y$整除，即每小组人数相同。
检验选项，发现只有56能被7整除，即可以分成7组，每组8人。
但题目问的是可以分成多少组，且每小组人数需相同，由于之前已经设出小组数为$x$，并求出$x=5$是在原分组条件下的结果，现在需要考虑的是在新的条件下（每小组人数相同）可以分成多少组。
由于总人数为56人，且需要每小组人数相同，那么最合理的分组就是56的因数分组，考虑到选项，只有7组，每组8人满足条件。
【答案】：D.7组。
本题考查的是利用一元一次方程来解决实际问题。
根据题意，设全班同学分成$x$个小组，当每小组11人时，余下1人，即总人数为$11x+1$；
当每小组12人时，有一小组少4人，即总人数为$12x-4$。
由于两种情况的总人数是相同的，所以可以列出等式：$11x + 1 = 12x - 4$，
移项得：$x = 5$，
将$x = 5$代入$11x + 1$，得到总人数为56人。
考虑重新分组，需要找到一个数$y$，使得56人可以被$y$整除，即每小组人数相同。
检验选项，发现只有56能被7整除，即可以分成7组，每组8人。
但题目问的是可以分成多少组，且每小组人数需相同，由于之前已经设出小组数为$x$，并求出$x=5$是在原分组条件下的结果，现在需要考虑的是在新的条件下（每小组人数相同）可以分成多少组。
由于总人数为56人，且需要每小组人数相同，那么最合理的分组就是56的因数分组，考虑到选项，只有7组，每组8人满足条件。
【答案】：D.7组。