11. (2023·山东日照)《九章算术》是我国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载：今有共买鸡,人出九,盈十一；人出六,不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡,每人出$9$钱,会多出$11$钱；每人出$6$钱,又差$16$钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为$x$,可列方程为(
A.$9x + 11 = 6x + 16$
B.$9x - 11 = 6x - 16$
C.$9x + 11 = 6x - 16$
D.$9x - 11 = 6x + 16$
D
)A.$9x + 11 = 6x + 16$
B.$9x - 11 = 6x - 16$
C.$9x + 11 = 6x - 16$
D.$9x - 11 = 6x + 16$
答案：【解析】：
这是一个典型的盈亏问题，需要通过设立方程来求解。
题目中给出了两个条件：
每人出9钱，会多出11钱，即总钱数比所需钱数多11钱，可以表示为$9x - \text{鸡的价格} = 11$；
每人出6钱，又差16钱，即总钱数比所需钱数少16钱，可以表示为$6x - \text{鸡的价格} = -16$。
由于鸡的价格是固定的，可以通过两个方程消去鸡的价格，得到关于$x$的方程。
将两个方程变形，得到：
$\text{鸡的价格} = 9x - 11$。
$\text{鸡的价格} = 6x + 16$。
由于鸡的价格相等，所以有$9x - 11 = 6x + 16$。
【答案】：
D. $9x - 11 = 6x + 16$。
这是一个典型的盈亏问题，需要通过设立方程来求解。
题目中给出了两个条件：
每人出9钱，会多出11钱，即总钱数比所需钱数多11钱，可以表示为$9x - \text{鸡的价格} = 11$；
每人出6钱，又差16钱，即总钱数比所需钱数少16钱，可以表示为$6x - \text{鸡的价格} = -16$。
由于鸡的价格是固定的，可以通过两个方程消去鸡的价格，得到关于$x$的方程。
将两个方程变形，得到：
$\text{鸡的价格} = 9x - 11$。
$\text{鸡的价格} = 6x + 16$。
由于鸡的价格相等，所以有$9x - 11 = 6x + 16$。
【答案】：
D. $9x - 11 = 6x + 16$。
12. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题,原文如下：今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽,问：城中家几何？大意如下：今有$100$头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每$3$家共取一头,恰好取完,问：城中有多少户人家？在这个问题中,城中人家的户数为(
A.$25$
B.$75$
C.$81$
D.$90$
B
)A.$25$
B.$75$
C.$81$
D.$90$
答案：【解析】：
本题考查了一元一次方程的应用。
设城中有$x$户人家。
根据题意，每家先取一头鹿，共取$x$头鹿，剩下的鹿数量为$100 - x$。
然后剩下的鹿每3家共取一头，即取$\frac{x}{3}$头鹿。
因此，我们可以建立方程：
$x + \frac{x}{3} = 100$
合并同类项，得：
$\frac{4}{3}x = 100$
解这个方程，我们得到：
$x = 75$
所以城中人家的户数为75户。
【答案】：B. $75$。
本题考查了一元一次方程的应用。
设城中有$x$户人家。
根据题意，每家先取一头鹿，共取$x$头鹿，剩下的鹿数量为$100 - x$。
然后剩下的鹿每3家共取一头，即取$\frac{x}{3}$头鹿。
因此，我们可以建立方程：
$x + \frac{x}{3} = 100$
合并同类项，得：
$\frac{4}{3}x = 100$
解这个方程，我们得到：
$x = 75$
所以城中人家的户数为75户。
【答案】：B. $75$。
13. (2025·江苏盐城期末)为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控手段达到节水的目的.该市自来水收费价目表如下：
|每户每月用水量|单价|
|不超过$6$立方米的部分|$2$元/立方米|
|超过$6立方米且不超过10$立方米的部分|$4$元/立方米|
|超过$10$立方米的部分|$8$元/立方米|
例如：若某户居民一月份用水$8$立方米,则应缴纳水费$2×6 + 4×(8 - 6)= 20$(元).
(1)若该户居民二月份用水$12.5$立方米,则应缴纳水费多少元？
(2)若该户居民三、四月份共用水$15$立方米(四月份用水量超过三月份),共缴纳水费$44$元,则该户居民三、四月份各用水多少立方米？
|每户每月用水量|单价|
|不超过$6$立方米的部分|$2$元/立方米|
|超过$6立方米且不超过10$立方米的部分|$4$元/立方米|
|超过$10$立方米的部分|$8$元/立方米|
例如：若某户居民一月份用水$8$立方米,则应缴纳水费$2×6 + 4×(8 - 6)= 20$(元).
(1)若该户居民二月份用水$12.5$立方米,则应缴纳水费多少元？
(2)若该户居民三、四月份共用水$15$立方米(四月份用水量超过三月份),共缴纳水费$44$元,则该户居民三、四月份各用水多少立方米？
答案：【解析】：
本题主要考查分段计算问题以及根据价格问题列一元一次方程并求解。
(1) 对于二月份的水费，我们需要根据给定的收费标准，将用水量分为三个部分进行计算：不超过6立方米的部分，超过6立方米但不超过10立方米的部分，以及超过10立方米的部分。
(2) 对于三、四月份的水费问题，我们需要先判断哪个月份用水量超过10立方米，哪个月份用水量不超过6立方米（因为四月份用水量超过三月份，所以三月份用水量不可能超过10立方米）。然后，根据收费标准和水费总额，设立一元一次方程进行求解。
【答案】：
(1)解：
二月份用水量为$12.5$立方米，应缴纳水费计算如下：
前6立方米费用：$6 × 2 = 12$（元）；
接下来4立方米（即6到10立方米部分）费用：$4 × 4 = 16$（元）；
最后2.5立方米（即超过10立方米部分）费用：$2.5 × 8 = 20$（元）；
所以，二月份应缴纳水费总额为：$12 + 16 + 20 = 48$（元）。
(2)解：
设三月份用水量为$x$立方米，则四月份用水量为$(15 - x)$立方米。
由于四月份用水量超过三月份，所以$x ＜ 15 - x$，即$x ＜ 7.5$。
又因为四月份用水量超过10立方米的部分会带来较高的费用，而三、四月份共缴纳水费44元，所以我们可以推断出三月份用水量不超过6立方米，四月份用水量超过6立方米但不超过10立方米的情况不成立（因为这种情况下费用会超过44元），所以四月份用水量一定超过10-6=4立方米，即超过10-6=4立方米的部分需要按照8元/立方米计算。
根据收费标准和水费总额，我们可以列出以下方程：
$2x + 6 × 2 + 4 × 4 + 8 × (15 - x - 10) = 44$；
化简得：
$2x + 12 + 16 + 8 × (5 - x) = 44$；
$2x + 28 + 40 - 8x = 44$；
$-6x = -24$；
$x = 4$；
所以，三月份用水量为4立方米，四月份用水量为$15 - 4 = 11$（立方米）。
综上，(1)应缴纳水费$48$元；(2)三月份用水量为$4$立方米，四月份用水量为$11$立方米。
本题主要考查分段计算问题以及根据价格问题列一元一次方程并求解。
(1) 对于二月份的水费，我们需要根据给定的收费标准，将用水量分为三个部分进行计算：不超过6立方米的部分，超过6立方米但不超过10立方米的部分，以及超过10立方米的部分。
(2) 对于三、四月份的水费问题，我们需要先判断哪个月份用水量超过10立方米，哪个月份用水量不超过6立方米（因为四月份用水量超过三月份，所以三月份用水量不可能超过10立方米）。然后，根据收费标准和水费总额，设立一元一次方程进行求解。
【答案】：
(1)解：
二月份用水量为$12.5$立方米，应缴纳水费计算如下：
前6立方米费用：$6 × 2 = 12$（元）；
接下来4立方米（即6到10立方米部分）费用：$4 × 4 = 16$（元）；
最后2.5立方米（即超过10立方米部分）费用：$2.5 × 8 = 20$（元）；
所以，二月份应缴纳水费总额为：$12 + 16 + 20 = 48$（元）。
(2)解：
设三月份用水量为$x$立方米，则四月份用水量为$(15 - x)$立方米。
由于四月份用水量超过三月份，所以$x ＜ 15 - x$，即$x ＜ 7.5$。
又因为四月份用水量超过10立方米的部分会带来较高的费用，而三、四月份共缴纳水费44元，所以我们可以推断出三月份用水量不超过6立方米，四月份用水量超过6立方米但不超过10立方米的情况不成立（因为这种情况下费用会超过44元），所以四月份用水量一定超过10-6=4立方米，即超过10-6=4立方米的部分需要按照8元/立方米计算。
根据收费标准和水费总额，我们可以列出以下方程：
$2x + 6 × 2 + 4 × 4 + 8 × (15 - x - 10) = 44$；
化简得：
$2x + 12 + 16 + 8 × (5 - x) = 44$；
$2x + 28 + 40 - 8x = 44$；
$-6x = -24$；
$x = 4$；
所以，三月份用水量为4立方米，四月份用水量为$15 - 4 = 11$（立方米）。
综上，(1)应缴纳水费$48$元；(2)三月份用水量为$4$立方米，四月份用水量为$11$立方米。