24.(6分)亮点原创·定义一种新运算“$f$”：$f(a)表示a在运算f$作用下的结果,例如：$f(a)= a^{2}-(a - 1)^{2}$,它对一些数的运算结果如下：$f(1)= 1^{2}-(1 - 1)^{2}= 1$,$f(2)= 2^{2}-(2 - 1)^{2}= 3$,$f(3)= 3^{2}-(3 - 1)^{2}= 5$,…根据以上定义,解答下列问题：
(1)计算$f(30)$的值；
(2)计算$f(1)+f(2)+f(3)+… +f(40)$的值；
(3)计算$\frac{1}{f(1)× f(2)}+\frac{1}{f(2)× f(3)}+\frac{1}{f(3)× f(4)}+… +\frac{1}{f(2024)× f(2025)}$的值.
(1)计算$f(30)$的值；
(2)计算$f(1)+f(2)+f(3)+… +f(40)$的值；
(3)计算$\frac{1}{f(1)× f(2)}+\frac{1}{f(2)× f(3)}+\frac{1}{f(3)× f(4)}+… +\frac{1}{f(2024)× f(2025)}$的值.
答案：(1)由题意,得$f(30)=30^{2}-29^{2}=59.$(2)因为$f(1)=1=2×1-1,f(2)=3=2×2-1,f(3)=5=2×3-1,...$,所以依此类推,$f(n)=2n-1$,所以$f(1)+f(2)+f(3)+... +f(40)=1+3+5+... +79=\frac {1+79}{2}×40=1600.$(3)因为$f(n)=2n-1$,所以$\frac {1}{f(1)×f(2)}+\frac {1}{f(2)×f(3)}+\frac {1}{f(3)×f(4)}+... +\frac {1}{f(2024)×f(2025)}=\frac {1}{1×3}+\frac {1}{3×5}+\frac {1}{5×7}+... +\frac {1}{4047×4049}=\frac {1}{2}×(1-\frac {1}{3})+\frac {1}{2}×(\frac {1}{3}-\frac {1}{5})+\frac {1}{2}×(\frac {1}{5}-\frac {1}{7})+... +\frac {1}{2}×(\frac {1}{4047}-\frac {1}{4049})=\frac {1}{2}×(1-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{5}+\frac {1}{5}-\frac {1}{7}+... +\frac {1}{4047}-\frac {1}{4049})=\frac {2024}{4049}.$
解析：
(1)$f(30)=30^{2}-(30-1)^{2}=30^{2}-29^{2}=(30-29)(30+29)=1×59=59$
(2)由$f(1)=1=2×1-1$，$f(2)=3=2×2-1$，$f(3)=5=2×3-1$，推测$f(n)=2n-1$。验证：$f(n)=n^{2}-(n-1)^{2}=n^{2}-(n^{2}-2n + 1)=2n-1$，所以$f(n)=2n-1$成立。则$f(1)+f(2)+\cdots+f(40)=1 + 3 + 5+\cdots+(2×40-1)=1 + 3 + 5+\cdots+79$，这是首项为$1$，末项为$79$，项数为$40$的等差数列，和为$\frac{(1 + 79)×40}{2}=1600$
(3)因为$f(n)=2n-1$，所以原式$=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\cdots+\frac{1}{(2×2024-1)(2×2025-1)}=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\cdots+\frac{1}{4047×4049}$。又因为$\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2k - 1}-\frac{1}{2k + 1})$，所以原式$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\cdots+\frac{1}{2}(\frac{1}{4047}-\frac{1}{4049})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{4049})=\frac{1}{2}×\frac{4048}{4049}=\frac{2024}{4049}$
(2)由$f(1)=1=2×1-1$，$f(2)=3=2×2-1$，$f(3)=5=2×3-1$，推测$f(n)=2n-1$。验证：$f(n)=n^{2}-(n-1)^{2}=n^{2}-(n^{2}-2n + 1)=2n-1$，所以$f(n)=2n-1$成立。则$f(1)+f(2)+\cdots+f(40)=1 + 3 + 5+\cdots+(2×40-1)=1 + 3 + 5+\cdots+79$，这是首项为$1$，末项为$79$，项数为$40$的等差数列，和为$\frac{(1 + 79)×40}{2}=1600$
(3)因为$f(n)=2n-1$，所以原式$=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\cdots+\frac{1}{(2×2024-1)(2×2025-1)}=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\cdots+\frac{1}{4047×4049}$。又因为$\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2k - 1}-\frac{1}{2k + 1})$，所以原式$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\cdots+\frac{1}{2}(\frac{1}{4047}-\frac{1}{4049})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{4049})=\frac{1}{2}×\frac{4048}{4049}=\frac{2024}{4049}$
25.(7分)(2025·江苏镇江期末)某商场将进货价为每盏30元的台灯以每盏40元的销售价售出,每月的销售量为600盏. 市场调研表明：当每盏台灯的销售价每上涨1元时,其销售量将减少10盏. 设每盏台灯的销售价上涨$a$元.
(1)试用含$a$的代数式填空：
① 涨价后,每盏台灯的销售价为
② 涨价后,每盏台灯的利润为
③ 涨价后,这种台灯每月的销售量为
(2)该商场想要销售这种台灯每月的利润达到10000元,商场经理甲说：“在原销售价每盏40元的基础上再上涨40元,可以完成任务.”商场经理乙说：“不用涨那么多,在原销售价每盏40元的基础上再上涨10元就可以了.”试判断经理甲与乙的说法是否正确,并说明理由.
(1)试用含$a$的代数式填空：
① 涨价后,每盏台灯的销售价为
$(40+a)$
元；② 涨价后,每盏台灯的利润为
$(10+a)$
元；③ 涨价后,这种台灯每月的销售量为
$(600-10a)$
盏；(2)该商场想要销售这种台灯每月的利润达到10000元,商场经理甲说：“在原销售价每盏40元的基础上再上涨40元,可以完成任务.”商场经理乙说：“不用涨那么多,在原销售价每盏40元的基础上再上涨10元就可以了.”试判断经理甲与乙的说法是否正确,并说明理由.
(2)经理甲与乙的说法都正确.理由如下:由题意,得销售这种台灯每月的利润为$(10+a)(600-10a)$元.当$a=40$时,每月的利润为$(10+40)×(600-10×40)=10000$(元);当$a=10$时,每月的利润为$(10+10)×(600-10×10)=10000$(元).故经理甲与乙的说法都正确.
答案：(1)①$(40+a)$ ②$(10+a)$ ③$(600-10a)$(2)经理甲与乙的说法都正确.理由如下:由题意,得销售这种台灯每月的利润为$(10+a)(600-10a)$元.当$a=40$时,每月的利润为$(10+40)×(600-10×40)=10000$(元);当$a=10$时,每月的利润为$(10+10)×(600-10×10)=10000$(元).故经理甲与乙的说法都正确.