16. 新素养几何直观如图,在数轴上,点A,B,C表示的数分别是a,b,c,且a,b满足$|a + 2| + (b + 1)^{2} = 0$,c是$\frac{1}{7}$的倒数.如果将数轴折叠,使得点A与点C重合,那么与点B重合的点表示的数是______
6
.答案：6
解析：
因为$|a + 2| + (b + 1)^{2} = 0$，且$|a + 2| \geq 0$，$(b + 1)^{2} \geq 0$，所以$a + 2 = 0$，$b + 1 = 0$，解得$a = -2$，$b = -1$。
因为$c$是$\frac{1}{7}$的倒数，所以$c = 7$。
点$A$表示的数是$-2$，点$C$表示的数是$7$，折叠后点$A$与点$C$重合，所以折痕处的点表示的数是$\frac{-2 + 7}{2} = \frac{5}{2}$。
设与点$B$重合的点表示的数是$x$，点$B$表示的数是$-1$，则$\frac{-1 + x}{2} = \frac{5}{2}$，解得$x = 6$。
6
因为$c$是$\frac{1}{7}$的倒数，所以$c = 7$。
点$A$表示的数是$-2$，点$C$表示的数是$7$，折叠后点$A$与点$C$重合，所以折痕处的点表示的数是$\frac{-2 + 7}{2} = \frac{5}{2}$。
设与点$B$重合的点表示的数是$x$，点$B$表示的数是$-1$，则$\frac{-1 + x}{2} = \frac{5}{2}$，解得$x = 6$。
6
17. (2025·江苏徐州期末)观察下列一组数：$-\frac{2}{3},\frac{6}{9},-\frac{12}{27},\frac{20}{81},-\frac{30}{243},…$,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第n个数是______.(用含n的代数式表示)
$\frac{n(n+1)\cdot(-1)^n}{3^n}$
答案：$\frac{n(n+1)\cdot(-1)^n}{3^n}$ 解析:第1个数是$-\frac{2}{3}=\frac{1×2×(-1)}{3}$,第2个数是$\frac{6}{9}=\frac{2×3×(-1)^2}{3^2}$,第3个数是$-\frac{12}{27}=\frac{3×4×(-1)^3}{3^3}$,…,依此规律,第n个数是$\frac{n(n+1)\cdot(-1)^n}{3^n}$.
解析：
$\frac{n(n+1)\cdot(-1)^n}{3^n}$
18. 亮点原创将正奇数按照如下规律进行分组排列,依次为(1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19),…,我们称“3”是第2组第1个数,“15”是第4组第2个数.若2025是第m组第n个数,则$m + n = $
68
.答案：68 解析:由题意,得第m组有m个连续的奇数.因为2025=2×1013-1,所以2025是第1013个奇数.因为1+2+3+…+44=990,1+2+3+…+45=1035,所以2025是第45组第1013-990=23(个)数,所以m=45,n=23,所以m+n=68.
解析：
由题意，第$m$组有$m$个连续奇数。
因为$2025 = 2×1013 - 1$，所以2025是第1013个奇数。
由于$1 + 2 + 3 + \cdots + 44 = \frac{44×(44 + 1)}{2} = 990$，$1 + 2 + 3 + \cdots + 45 = \frac{45×(45 + 1)}{2} = 1035$，
可知2025在第45组，且是该组第$1013 - 990 = 23$个数。
故$m = 45$，$n = 23$，则$m + n = 45 + 23 = 68$。
68
因为$2025 = 2×1013 - 1$，所以2025是第1013个奇数。
由于$1 + 2 + 3 + \cdots + 44 = \frac{44×(44 + 1)}{2} = 990$，$1 + 2 + 3 + \cdots + 45 = \frac{45×(45 + 1)}{2} = 1035$，
可知2025在第45组，且是该组第$1013 - 990 = 23$个数。
故$m = 45$，$n = 23$，则$m + n = 45 + 23 = 68$。
68
19. (8分)新素养运算能力计算：
(1)$8 + (-10) + (-2) - (-5)$；
(2)$(-2)÷\frac{1}{3}×(-3)$；
(3)$(-\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{3})×(-24)$；
(4)$(-3)^{2} + [20 - (-2)^{3}]÷(-3)$.
(1)$8 + (-10) + (-2) - (-5)$；
(2)$(-2)÷\frac{1}{3}×(-3)$；
(3)$(-\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{3})×(-24)$；
(4)$(-3)^{2} + [20 - (-2)^{3}]÷(-3)$.
答案：（1）原式=8-10-2+5=1.（2）原式=(-2)×3×(-3)=18.（3）原式=$\left(-\frac{1}{2}\right)×(-24)+\frac{3}{4}×(-24)+\left(-\frac{1}{3}\right)×(-24)=12-18+8=2$.（4）原式=$9+(20+8)÷(-3)=9-\frac{28}{3}=-\frac{1}{3}$.
解析：
(1)原式$=8 - 10 - 2 + 5$
$=(8 + 5) + (-10 - 2)$
$=13 - 12$
$=1$
(2)原式$=(-2)×3×(-3)$
$=(-6)×(-3)$
$=18$
(3)原式$=\left(-\frac{1}{2}\right)×(-24) + \frac{3}{4}×(-24) + \left(-\frac{1}{3}\right)×(-24)$
$=12 - 18 + 8$
$=(12 + 8) - 18$
$=20 - 18$
$=2$
(4)原式$=9 + [20 - (-8)]÷(-3)$
$=9 + (20 + 8)÷(-3)$
$=9 + 28÷(-3)$
$=9 - \frac{28}{3}$
$=\frac{27}{3} - \frac{28}{3}$
$=-\frac{1}{3}$
$=(8 + 5) + (-10 - 2)$
$=13 - 12$
$=1$
(2)原式$=(-2)×3×(-3)$
$=(-6)×(-3)$
$=18$
(3)原式$=\left(-\frac{1}{2}\right)×(-24) + \frac{3}{4}×(-24) + \left(-\frac{1}{3}\right)×(-24)$
$=12 - 18 + 8$
$=(12 + 8) - 18$
$=20 - 18$
$=2$
(4)原式$=9 + [20 - (-8)]÷(-3)$
$=9 + (20 + 8)÷(-3)$
$=9 + 28÷(-3)$
$=9 - \frac{28}{3}$
$=\frac{27}{3} - \frac{28}{3}$
$=-\frac{1}{3}$
20. (4分)先化简,再求值：$-[3xy^{2} - 2(xy - \frac{1}{2}x^{2}y) + 3xy] + 3xy^{2}$,其中$x = \frac{3}{4}$,$y = -1$.
答案：原式=$-3xy^2+2xy-x^2y-3xy+3xy^2=-x^2y-xy$.当$x=\frac{3}{4}$,$y=-1$时,原式=$-\left(\frac{3}{4}\right)^2×(-1)-\frac{3}{4}×(-1)=\frac{9}{16}+\frac{3}{4}=\frac{21}{16}$.
解析：
原式$=-[3xy^{2}-2(xy-\frac{1}{2}x^{2}y)+3xy]+3xy^{2}$
$=-3xy^{2}+2(xy-\frac{1}{2}x^{2}y)-3xy+3xy^{2}$
$=-3xy^{2}+2xy - x^{2}y - 3xy + 3xy^{2}$
$=(-3xy^{2}+3xy^{2}) + (2xy - 3xy) - x^{2}y$
$=-xy - x^{2}y$
当$x = \frac{3}{4}$，$y=-1$时，
原式$=-\frac{3}{4}×(-1)-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}×(-1)$
$=\frac{3}{4}-\frac{9}{16}×(-1)$
$=\frac{3}{4}+\frac{9}{16}$
$=\frac{12}{16}+\frac{9}{16}$
$=\frac{21}{16}$
$=-3xy^{2}+2(xy-\frac{1}{2}x^{2}y)-3xy+3xy^{2}$
$=-3xy^{2}+2xy - x^{2}y - 3xy + 3xy^{2}$
$=(-3xy^{2}+3xy^{2}) + (2xy - 3xy) - x^{2}y$
$=-xy - x^{2}y$
当$x = \frac{3}{4}$，$y=-1$时，
原式$=-\frac{3}{4}×(-1)-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}×(-1)$
$=\frac{3}{4}-\frac{9}{16}×(-1)$
$=\frac{3}{4}+\frac{9}{16}$
$=\frac{12}{16}+\frac{9}{16}$
$=\frac{21}{16}$