1. 下列方程中,是一元一次方程的为(
A.$x - 2y = 4$
B.$xy = 4$
C.$3y - 1 = 4$
D.$\frac{1}{4}x - 4$
C
)A.$x - 2y = 4$
B.$xy = 4$
C.$3y - 1 = 4$
D.$\frac{1}{4}x - 4$
答案：C
2. (2024·海南)若代数式$x - 3$的值为5,则$x$的值为(
A.8
B.-8
C.2
D.-2
A
)A.8
B.-8
C.2
D.-2
答案：A
解析：
由题意得 $x - 3 = 5$，解得 $x = 5 + 3 = 8$。A
3. 新趋势 传统文化(2024·山东烟台)《周髀算经》是中国现存最早的数理天文学著作.书中记载这样一道题：“今有女子不善织,日减功迟.初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫.问织几何？”意思如下：现有一个不擅长织布的女子,织布的速度越来越慢,并且每天减少的数量相同,第一天织了五尺布,最后一天仅织了一尺布,30天完工,则一共织布(
A.45尺
B.88尺
C.90尺
D.98尺
C
)A.45尺
B.88尺
C.90尺
D.98尺
答案：C
解析：
该女子每天织布的数量构成等差数列，首项$a_1 = 5$尺，末项$a_{30}=1$尺，项数$n = 30$。
等差数列求和公式为$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$。
则$S_{30}=\frac{30×(5 + 1)}{2}=\frac{30×6}{2}=90$尺。
C
等差数列求和公式为$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$。
则$S_{30}=\frac{30×(5 + 1)}{2}=\frac{30×6}{2}=90$尺。
C
4. 亮点原创 已知$m$为有理数,下列说法正确的是(
A.关于$x的方程m|x| = m的解是x = \pm 1$
B.关于$x的方程|m|x = |m|的解是x = 1$
C.关于$x的方程|m|x = m的解是x = 1$
D.关于$x的方程(|m| + 1)|x| = |m| + 1的解是x = \pm 1$
D
)A.关于$x的方程m|x| = m的解是x = \pm 1$
B.关于$x的方程|m|x = |m|的解是x = 1$
C.关于$x的方程|m|x = m的解是x = 1$
D.关于$x的方程(|m| + 1)|x| = |m| + 1的解是x = \pm 1$
答案：D
解析：
A. 当$m = 0$时，方程$0\cdot|x|=0$的解为全体有理数，故A错误；
B. 当$m = 0$时，方程$0\cdot x=0$的解为全体有理数，故B错误；
C. 当$m = 0$时，方程$0\cdot x=0$的解为全体有理数；当$m\neq0$时，$|m|x=m$，若$m＞0$，$x = 1$；若$m＜0$，$x=-1$，故C错误；
D. 因为$|m|+1\geq1＞0$，方程两边同除以$|m|+1$得$|x|=1$，解得$x=\pm1$，故D正确。
D
B. 当$m = 0$时，方程$0\cdot x=0$的解为全体有理数，故B错误；
C. 当$m = 0$时，方程$0\cdot x=0$的解为全体有理数；当$m\neq0$时，$|m|x=m$，若$m＞0$，$x = 1$；若$m＜0$，$x=-1$，故C错误；
D. 因为$|m|+1\geq1＞0$，方程两边同除以$|m|+1$得$|x|=1$，解得$x=\pm1$，故D正确。
D
5. 若关于$x的方程x + \frac{6a - x}{2} = \frac{a}{3}与方程\frac{x + 1}{2} - \frac{2x - 1}{5} = 0$的解相同,则$a$的值为(
A.$\frac{21}{16}$
B.$\frac{63}{16}$
C.$-\frac{21}{16}$
D.$-\frac{63}{16}$
A
)A.$\frac{21}{16}$
B.$\frac{63}{16}$
C.$-\frac{21}{16}$
D.$-\frac{63}{16}$
答案：A
解析：
解方程$\frac{x + 1}{2} - \frac{2x - 1}{5} = 0$，
两边同乘10得：$5(x + 1)-2(2x - 1)=0$，
去括号：$5x + 5 - 4x + 2 = 0$，
合并同类项：$x + 7 = 0$，
解得$x=-7$。
将$x = -7$代入方程$x + \frac{6a - x}{2} = \frac{a}{3}$，
得$-7+\frac{6a - (-7)}{2}=\frac{a}{3}$，
即$-7+\frac{6a + 7}{2}=\frac{a}{3}$，
两边同乘6得：$-42 + 3(6a + 7)=2a$，
去括号：$-42 + 18a + 21 = 2a$，
合并同类项：$18a - 21 = 2a$，
移项：$18a - 2a=21$，
$16a = 21$，
解得$a=\frac{21}{16}$。
A
两边同乘10得：$5(x + 1)-2(2x - 1)=0$，
去括号：$5x + 5 - 4x + 2 = 0$，
合并同类项：$x + 7 = 0$，
解得$x=-7$。
将$x = -7$代入方程$x + \frac{6a - x}{2} = \frac{a}{3}$，
得$-7+\frac{6a - (-7)}{2}=\frac{a}{3}$，
即$-7+\frac{6a + 7}{2}=\frac{a}{3}$，
两边同乘6得：$-42 + 3(6a + 7)=2a$，
去括号：$-42 + 18a + 21 = 2a$，
合并同类项：$18a - 21 = 2a$，
移项：$18a - 2a=21$，
$16a = 21$，
解得$a=\frac{21}{16}$。
A
6. 甲计划用若干个工作日完成某项工作,从第二个工作日起,乙加入此项工作,且甲、乙两人的工作效率相同,结果提前3天完成,则甲计划完成此项工作的天数是(
A.5
B.6
C.7
D.8
C
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案：C
解析：
设甲计划完成此项工作的天数是$x$天，甲的工作效率为$1$，则工作总量为$x$。
甲单独工作$1$天，完成的工作量为$1$。
从第二个工作日起，甲、乙两人一起工作，两人工作效率相同，每天完成的工作量为$2$，一起工作的天数为$(x - 1 - 3)$天，完成的工作量为$2(x - 1 - 3)$。
根据工作总量等于各部分工作量之和，可得方程：$1 + 2(x - 1 - 3) = x$
解方程：
$\begin{aligned}1 + 2(x - 4)&=x\\1 + 2x - 8&=x\\2x - x&=8 - 1\\x&=7\end{aligned}$
C
甲单独工作$1$天，完成的工作量为$1$。
从第二个工作日起，甲、乙两人一起工作，两人工作效率相同，每天完成的工作量为$2$，一起工作的天数为$(x - 1 - 3)$天，完成的工作量为$2(x - 1 - 3)$。
根据工作总量等于各部分工作量之和，可得方程：$1 + 2(x - 1 - 3) = x$
解方程：
$\begin{aligned}1 + 2(x - 4)&=x\\1 + 2x - 8&=x\\2x - x&=8 - 1\\x&=7\end{aligned}$
C
7. (2025·江苏苏州期末)给出下列结论：
① 若$m + n = 1$,则关于$x的方程mx + n = 1的解为x = 1$；
② 若$mn = 6$,则关于$x的方程mx + m = 6的解为x = n - 1$；
③ 若$b = 2a$,则关于$x的方程ax + b = 0(a \neq 0)的解为x = -\frac{1}{2}$.
其中正确的有(
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
① 若$m + n = 1$,则关于$x的方程mx + n = 1的解为x = 1$；
② 若$mn = 6$,则关于$x的方程mx + m = 6的解为x = n - 1$；
③ 若$b = 2a$,则关于$x的方程ax + b = 0(a \neq 0)的解为x = -\frac{1}{2}$.
其中正确的有(
C
)A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
答案：C
解析：
①当$m = 0$时，$n = 1$，方程$0x + 1 = 1$，解为任意实数，结论错误；
②方程$mx + m = 6$，$m(x + 1)=6$，$mn = 6$，则$m(x + 1)=mn$，$m\neq 0$时，$x + 1 = n$，$x = n - 1$，$m = 0$时方程无解，结论错误；
③方程$ax + 2a = 0$，$a(x + 2)=0$，$a\neq 0$，$x = - 2$，结论错误。
C
②方程$mx + m = 6$，$m(x + 1)=6$，$mn = 6$，则$m(x + 1)=mn$，$m\neq 0$时，$x + 1 = n$，$x = n - 1$，$m = 0$时方程无解，结论错误；
③方程$ax + 2a = 0$，$a(x + 2)=0$，$a\neq 0$，$x = - 2$，结论错误。
C