23. (6分)新素养 推理能力 (2025·江苏常州期末)如图,O为直线AB上一点,OC为射线,OD,OE分别为$∠AOC,∠BOC$的平分线.
(1)判断射线OD,OE之间的位置关系,并说明理由；
(2)若$∠AOD= 30^{\circ }$,试说明：OC为$∠AOE$的平分线；
(3)若$∠AOD:∠AOE= 2:11$,求$∠BOE$的度数.
(1)判断射线OD,OE之间的位置关系,并说明理由；
(2)若$∠AOD= 30^{\circ }$,试说明：OC为$∠AOE$的平分线；
(3)若$∠AOD:∠AOE= 2:11$,求$∠BOE$的度数.
答案：（1）OD⊥OE. 理由如下:因为 OD 平分∠AOC,OE 平分∠BOC,所以∠AOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠BOE=∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC,所以∠DOE=∠COD+∠COE=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$×180°=90°,所以 OD⊥OE.
（2）因为∠AOD=30°,所以∠COD=∠AOD=30°,∠AOC=2∠AOD=60°. 因为∠DOE=90°,所以∠COE=∠DOE-∠COD=60°,所以∠AOC=∠COE,所以 OC 为∠AOE 的平分线.
（3）因为∠AOD:∠AOE=2:11,所以设∠AOD=2x°,则∠AOE=11x°,所以∠DOE=∠AOE-∠AOD=9x°. 又∠DOE=90°,所以 9x=90,解得 x=10,所以∠AOE=110°,所以∠BOE=180°-∠AOE=70°.
（2）因为∠AOD=30°,所以∠COD=∠AOD=30°,∠AOC=2∠AOD=60°. 因为∠DOE=90°,所以∠COE=∠DOE-∠COD=60°,所以∠AOC=∠COE,所以 OC 为∠AOE 的平分线.
（3）因为∠AOD:∠AOE=2:11,所以设∠AOD=2x°,则∠AOE=11x°,所以∠DOE=∠AOE-∠AOD=9x°. 又∠DOE=90°,所以 9x=90,解得 x=10,所以∠AOE=110°,所以∠BOE=180°-∠AOE=70°.
24. (4分)亮点原创 钟表在12时三针重合,经过x min后,秒针第二次将分针和时针所夹的锐角平分,求x的值.
答案：秒针、分针、时针转动的速度分别为 360°/min,6°/min,0.5°/min,显然 x 的值大于 2 且小于 3,则有 6x-360(x-2)=360(x-2)-0.5x,解得 x=$\frac{2880}{1427}$.