25. (8分)新趋势 推导探究 (2025·江苏镇江期末)如图,$∠AOB$的边OA上有一动点P,从距离点O18 cm的点M处出发,沿线段MO及射线OB运动,速度为2 cm/s；同时动点Q从点O出发,沿射线OB运动,速度为1 cm/s. 设运动的时间是t s.
(1)当点P在MO上运动时,$OP= $
(2)当点P在MO上运动时,若$OP= OQ$,求t的值；
(3)若点Q运动到距离点O16 cm的点N处时停止,则在点Q停止运动前,点P能否追上点Q？如果能,求出此时t的值；如果不能,请说明理由.
(1)当点P在MO上运动时,$OP= $
（18-2t）
cm；(用含t的代数式表示)(2)当点P在MO上运动时,若$OP= OQ$,求t的值；
由题意,得 OP=（18-2t）cm,OQ=t cm. 若 OP=OQ,则 18-2t=t,解得 t=6.
(3)若点Q运动到距离点O16 cm的点N处时停止,则在点Q停止运动前,点P能否追上点Q？如果能,求出此时t的值；如果不能,请说明理由.
不能. 理由如下:因为 ON=16 cm,所以当点 Q 运动到点 N 时,t=16÷1=16,此时点 P 运动的路程为 2×16=32(cm). 因为 OM+ON=18+16=34(cm),32＜34,所以点 Q 停止运动前,点 P 不能追上点 Q.
答案：（1）（18-2t）
（2）由题意,得 OP=（18-2t）cm,OQ=t cm. 若 OP=OQ,则 18-2t=t,解得 t=6.
（3）不能. 理由如下:因为 ON=16 cm,所以当点 Q 运动到点 N 时,t=16÷1=16,此时点 P 运动的路程为 2×16=32(cm). 因为 OM+ON=18+16=34(cm),32＜34,所以点 Q 停止运动前,点 P 不能追上点 Q.
（2）由题意,得 OP=（18-2t）cm,OQ=t cm. 若 OP=OQ,则 18-2t=t,解得 t=6.
（3）不能. 理由如下:因为 ON=16 cm,所以当点 Q 运动到点 N 时,t=16÷1=16,此时点 P 运动的路程为 2×16=32(cm). 因为 OM+ON=18+16=34(cm),32＜34,所以点 Q 停止运动前,点 P 不能追上点 Q.
26. (8分)如图,直线l上有A,B两点,$AB= 12cm$,O是线段AB上一点,$OA= 2OB$.
(1)填空：$OA=$
(2)若C是线段AB上一点,且满足$AC= OC+CB$,求OC的长；
(3)若动点P,Q分别从A,B两点同时出发,向右运动,点P的速度为2 cm/s,点Q的速度为1 cm/s. 设运动的时间为t s,当点P与点Q重合时,P,Q两点停止运动.
① 当t为何值时,$2OP-OQ= 4cm$？
② 当点P运动到点O时,动点M从点O出发,以3 cm/s的速度也向右运动. 当点M追上点Q后立即返回,以3 cm/s的速度向点P运动,遇到点P后再立即返回,以3 cm/s的速度向点Q运动,如此往返,直到P,Q两点停止运动时,点M也停止运动. 在此过程中,点M运动的总路程是多少？
(1)填空：$OA=$
8
cm,$OB=$4
cm；(2)若C是线段AB上一点,且满足$AC= OC+CB$,求OC的长；
设 OC=x cm. 分类讨论如下:① 当点 C 在线段 OB 上时,AC=OA+OC=（8+x）cm,OC+CB=OB=4 cm. 因为 AC=OC+CB,所以 8+x=4,解得 x=-4,不合题意,舍去;② 当点 C 在线段 OA 上时,AC=OA-OC=（8-x）cm,CB=OC+OB=（x+4）cm. 因为 AC=OC+CB,所以 8-x=x+（x+4）,解得 x=$\frac{4}{3}$. 综上所述,OC 的长是$\frac{4}{3}$cm.
(3)若动点P,Q分别从A,B两点同时出发,向右运动,点P的速度为2 cm/s,点Q的速度为1 cm/s. 设运动的时间为t s,当点P与点Q重合时,P,Q两点停止运动.
① 当t为何值时,$2OP-OQ= 4cm$？
当点 P 运动到点 O 时,t=8÷2=4;当 P,Q 两点停止运动时,t=12÷（2-1）=12. 由题意,得 AP=2t cm,OQ=OB+BQ=（4+t）cm. 分类讨论如下:当 0≤t≤4 时,OP=OA-AP=（8-2t）cm. 若 2OP-OQ=4 cm,则 2（8-2t）-（4+t）=4,解得 t=1.6;当 4＜t≤12 时,OP=AP-OA=（2t-8）cm. 若 2OP-OQ=4 cm,则 2（2t-8）-（4+t）=4,解得 t=8. 综上所述,当 t 的值为 1.6 或 8 时,2OP-OQ=4 cm.
② 当点P运动到点O时,动点M从点O出发,以3 cm/s的速度也向右运动. 当点M追上点Q后立即返回,以3 cm/s的速度向点P运动,遇到点P后再立即返回,以3 cm/s的速度向点Q运动,如此往返,直到P,Q两点停止运动时,点M也停止运动. 在此过程中,点M运动的总路程是多少？
由①,得点 P 运动到点 O 时,t=4;P,Q 两点停止运动时,t=12. 故点 M 运动的时间是 12-4=8(s),所以点 M 运动的总路程是 3×8=24(cm).
答案：（1）8 4
（2）设 OC=x cm. 分类讨论如下:① 当点 C 在线段 OB 上时,AC=OA+OC=（8+x）cm,OC+CB=OB=4 cm. 因为 AC=OC+CB,所以 8+x=4,解得 x=-4,不合题意,舍去;② 当点 C 在线段 OA 上时,AC=OA-OC=（8-x）cm,CB=OC+OB=（x+4）cm. 因为 AC=OC+CB,所以 8-x=x+（x+4）,解得 x=$\frac{4}{3}$. 综上所述,OC 的长是$\frac{4}{3}$cm.
（3）① 当点 P 运动到点 O 时,t=8÷2=4;当 P,Q 两点停止运动时,t=12÷（2-1）=12. 由题意,得 AP=2t cm,OQ=OB+BQ=（4+t）cm. 分类讨论如下:当 0≤t≤4 时,OP=OA-AP=（8-2t）cm. 若 2OP-OQ=4 cm,则 2（8-2t）-（4+t）=4,解得 t=1.6;当 4＜t≤12 时,OP=AP-OA=（2t-8）cm. 若 2OP-OQ=4 cm,则 2（2t-8）-（4+t）=4,解得 t=8. 综上所述,当 t 的值为 1.6 或 8 时,2OP-OQ=4 cm.
② 由①,得点 P 运动到点 O 时,t=4;P,Q 两点停止运动时,t=12. 故点 M 运动的时间是 12-4=8(s),所以点 M 运动的总路程是 3×8=24(cm).
（2）设 OC=x cm. 分类讨论如下:① 当点 C 在线段 OB 上时,AC=OA+OC=（8+x）cm,OC+CB=OB=4 cm. 因为 AC=OC+CB,所以 8+x=4,解得 x=-4,不合题意,舍去;② 当点 C 在线段 OA 上时,AC=OA-OC=（8-x）cm,CB=OC+OB=（x+4）cm. 因为 AC=OC+CB,所以 8-x=x+（x+4）,解得 x=$\frac{4}{3}$. 综上所述,OC 的长是$\frac{4}{3}$cm.
（3）① 当点 P 运动到点 O 时,t=8÷2=4;当 P,Q 两点停止运动时,t=12÷（2-1）=12. 由题意,得 AP=2t cm,OQ=OB+BQ=（4+t）cm. 分类讨论如下:当 0≤t≤4 时,OP=OA-AP=（8-2t）cm. 若 2OP-OQ=4 cm,则 2（8-2t）-（4+t）=4,解得 t=1.6;当 4＜t≤12 时,OP=AP-OA=（2t-8）cm. 若 2OP-OQ=4 cm,则 2（2t-8）-（4+t）=4,解得 t=8. 综上所述,当 t 的值为 1.6 或 8 时,2OP-OQ=4 cm.
② 由①,得点 P 运动到点 O 时,t=4;P,Q 两点停止运动时,t=12. 故点 M 运动的时间是 12-4=8(s),所以点 M 运动的总路程是 3×8=24(cm).