25. (6分)新素养 应用意识为实施乡村振兴战略,解决某山区老百姓出行难的问题,当地政府决定修建一条高速公路,其中一段长为146m的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后,乙工程队加入,两工程队又联合工作了1天,这3天共掘进26m.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2m,按此速度完成这项隧道贯穿工程,甲、乙两个工程队还需联合工作多少天?
答案：设甲工程队每天掘进x m，则乙工程队每天掘进$(x-2)m$.由题意，得$3x+(x-2)=26$，解得$x=7$，则$x-2=5$，所以甲、乙两个工程队还需联合工作$\frac {146-26}{7+5}=10$(天).
解析：
设甲工程队每天掘进$x\ \text{m}$，则乙工程队每天掘进$(x - 2)\ \text{m}$。
由题意，得$2x + [x + (x - 2)] = 26$，
化简得$2x + x + x - 2 = 26$，
$4x - 2 = 26$，
$4x = 28$，
解得$x = 7$。
则乙工程队每天掘进$x - 2 = 7 - 2 = 5\ \text{m}$。
剩余工程长度为$146 - 26 = 120\ \text{m}$，
甲、乙两队联合每天掘进$7 + 5 = 12\ \text{m}$，
还需联合工作天数为$\frac{120}{12} = 10$天。
答：甲、乙两个工程队还需联合工作$10$天。
由题意，得$2x + [x + (x - 2)] = 26$，
化简得$2x + x + x - 2 = 26$，
$4x - 2 = 26$，
$4x = 28$，
解得$x = 7$。
则乙工程队每天掘进$x - 2 = 7 - 2 = 5\ \text{m}$。
剩余工程长度为$146 - 26 = 120\ \text{m}$，
甲、乙两队联合每天掘进$7 + 5 = 12\ \text{m}$，
还需联合工作天数为$\frac{120}{12} = 10$天。
答：甲、乙两个工程队还需联合工作$10$天。
26. (10分)新趋势 推导探究(2025·江苏徐州期末)如图,线段AB= 24,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动,M为AP的中点.设运动的时间为t s(t＞0).
(1)若点P在线段AB上运动:
①当t为何值时,BP= 2AM?
②求2BM-BP的值;
(2)当点P在线段AB的延长线上运动时,N为BP的中点,说明线段MN的长不变,并求出其值;
(3)在点P运动的过程中,N为BP的中点.是否存在这样的t值,使M,N,B三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点?若有,请求出t的值;若没有,请说明理由.
(1)若点P在线段AB上运动:
①当t为何值时,BP= 2AM?
②求2BM-BP的值;
(2)当点P在线段AB的延长线上运动时,N为BP的中点,说明线段MN的长不变,并求出其值;
(3)在点P运动的过程中,N为BP的中点.是否存在这样的t值,使M,N,B三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点?若有,请求出t的值;若没有,请说明理由.
答案：（1）① 由题意，得$AP=2t$.因为$AB=24$，所以$BP=AB-AP=24-2t$.因为M为AP的中点，所以$AM=\frac {1}{2}AP=t$.因为$BP=2AM$，所以$24-2t=2t$，解得$t=6$.故当$t=6$时，$BP=2AM$.② 因为$AM=t$，所以$BM=AB-AM=24-t$.因为$BP=24-2t$，所以$2BM-BP=2(24-t)-(24-2t)=24$.（2）当点P在线段AB的延长线上运动时，$BP=AP-AB=2t-24$.因为N为BP的中点，所以$PN=\frac {1}{2}BP=t-12$.因为$PM=\frac {1}{2}AP=t$，所以$MN=PM-PN=t-(t-12)=12$.故线段MN的长不变，且其值为12.（3）由题意，得$AP=2t$，$AM=t$.将线段AB所在直线看作数轴，设点A表示的数是0，点B表示的数是24，则点M表示的数是t，点P表示的数是2t.因为N为BP的中点，所以点N表示的数是$\frac {2t+24}{2}=t+12$.分类讨论如下：若M为NB的中点，则$2t=t+12+24$，解得$t=36$；若N为MB的中点，则$2(t+12)=t+24$，解得$t=0$，不合题意，舍去；若B为MN的中点，则$2×24=t+12+t$，解得$t=18$.综上所述，存在满足题意的t，且t的值为18或36.