24. (6分)(2025·江苏淮安期末)某服装店计划从批发市场购进甲、乙两种不同款式的服装共80件进行销售.已知甲种款式的服装每件的进价比乙种款式的服装每件的进价贵10元,购进30件甲种款式服装的费用比购进35件乙种款式服装的费用少100元.
(1) 甲、乙两种款式的服装每件的进价分别是多少元?
(2) 该服装店购进乙种款式服装的件数是甲种款式服装件数的3倍,并都以每件120元的价格进行销售.经过一段时间,甲种款式服装全部售完,乙种款式服装还剩20件未售完,该服装店决定对剩下的服装打八折销售.求该服装店把这批服装全部销售完获得的利润.
(1) 甲、乙两种款式的服装每件的进价分别是多少元?
(2) 该服装店购进乙种款式服装的件数是甲种款式服装件数的3倍,并都以每件120元的价格进行销售.经过一段时间,甲种款式服装全部售完,乙种款式服装还剩20件未售完,该服装店决定对剩下的服装打八折销售.求该服装店把这批服装全部销售完获得的利润.
答案：(1)设乙种款式的服装每件的进价是x元,则甲种款式的服装每件的进价是(x + 10)元.由题意,得30(x + 10) = 35x - 100,解得x = 80,则x + 10 = 90.故甲种款式的服装每件的进价是90元,乙种款式的服装每件的进价是80元. (2)设该服装店购进甲种款式服装y件,则购进乙种款式服装3y件.由题意,得y + 3y = 80,解得y = 20,则3y = 60,所以该服装店购进甲种款式服装20件,购进乙种款式服装60件,则120×(80 - 20) + 120×0.8×20 - (90×20 + 80×60) = 2520(元).故该服装店把这批服装全部销售完获得的利润是2520元.
25. (7分)新趋势 推导探究 如图,线段AB= 10,动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向终点B运动,同时,另一个动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度在线段AB上来回运动(从点B向点A运动,到达点A后,立即原速返回,回到点B后立即调头向点A运动).当点P到达点B时,P,Q两点都停止运动.设运动的时间为xs.(点Q调头的时间忽略不计)
(1) 当x= 3时,线段PQ的长为______
(2) 当P,Q两点第一次相遇时,求线段BQ的长;
(3) 是否存在某一时刻,使点Q恰好落在线段AP的中点处?若存在,请求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由.
(2)当P,Q两点第一次相遇时,x + 3x = 10,解得x = 2.5,则3x = 7.5.故当P,Q两点第一次相遇时,线段BQ的长为7.5.
(3)由题意,得当点P到达点B时,x = 10÷1 = 10,所以0≤x≤10.当点Q恰好落在线段AP的中点处时,分类讨论如下:①当点Q从点B出发未到点A时,有x = 2(10 - 3x),解得x = $\frac{20}{7}$;②当点Q到达点A后,从点A返回点B时,有x = 2(3x - 10),解得x = 4;③当点Q第一次返回到点B后,从点B向点A运动时,有x = 2(10×3 - 3x),解得x = $\frac{60}{7}$.综上所述,存在满足条件的x,且所有x的值为$\frac{20}{7}$,4,$\frac{60}{7}$.
(1) 当x= 3时,线段PQ的长为______
2
;(2) 当P,Q两点第一次相遇时,求线段BQ的长;
(3) 是否存在某一时刻,使点Q恰好落在线段AP的中点处?若存在,请求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由.
(2)当P,Q两点第一次相遇时,x + 3x = 10,解得x = 2.5,则3x = 7.5.故当P,Q两点第一次相遇时,线段BQ的长为7.5.
(3)由题意,得当点P到达点B时,x = 10÷1 = 10,所以0≤x≤10.当点Q恰好落在线段AP的中点处时,分类讨论如下:①当点Q从点B出发未到点A时,有x = 2(10 - 3x),解得x = $\frac{20}{7}$;②当点Q到达点A后,从点A返回点B时,有x = 2(3x - 10),解得x = 4;③当点Q第一次返回到点B后,从点B向点A运动时,有x = 2(10×3 - 3x),解得x = $\frac{60}{7}$.综上所述,存在满足条件的x,且所有x的值为$\frac{20}{7}$,4,$\frac{60}{7}$.
答案：(1)2 解析:当x = 3时,P,Q两点的位置如图所示: 此时AP = 1×3 = 3,BQ = 3×3 = 9.因为AB = 10,所以AQ = AB - BQ = 1,所以PQ = AP - AQ = 2. (2)当P,Q两点第一次相遇时,x + 3x = 10,解得x = 2.5,则3x = 7.5.故当P,Q两点第一次相遇时,线段BQ的长为7.5. (3)由题意,得当点P到达点B时,x = 10÷1 = 10,所以0≤x≤10.当点Q恰好落在线段AP的中点处时,分类讨论如下:①当点Q从点B出发未到点A时,有x = 2(10 - 3x),解得x = $\frac{20}{7}$;②当点Q到达点A后,从点A返回点B时,有x = 2(3x - 10),解得x = 4;③当点Q第一次返回到点B后,从点B向点A运动时,有x = 2(10×3 - 3x),解得x = $\frac{60}{7}$.综上所述,存在满足条件的x,且所有x的值为$\frac{20}{7}$,4,$\frac{60}{7}$.
解析：
(1)2
(2)设当P,Q两点第一次相遇时，运动时间为$x$秒。
由题意得：$x + 3x = 10$
解得$x = 2.5$
则$BQ = 3x = 3×2.5 = 7.5$
答：线段$BQ$的长为$7.5$。
(3)存在。
由题意得，点$P$到达点$B$时，$x = 10÷1 = 10$，所以$0\leq x\leq10$。
①当点$Q$从点$B$出发未到点$A$时，$AQ = 10 - 3x$，$AP = x$，因为点$Q$是线段$AP$的中点，所以$AP = 2AQ$，即$x = 2(10 - 3x)$，解得$x=\frac{20}{7}$；
②当点$Q$到达点$A$后，从点$A$返回点$B$时，$AQ = 3x - 10$，$AP = x$，因为点$Q$是线段$AP$的中点，所以$AP = 2AQ$，即$x = 2(3x - 10)$，解得$x = 4$；
③当点$Q$第一次返回到点$B$后，从点$B$向点$A$运动时，$BQ = 3x - 20$，$AQ = 10 - BQ = 30 - 3x$，$AP = x$，因为点$Q$是线段$AP$的中点，所以$AP = 2AQ$，即$x = 2(30 - 3x)$，解得$x=\frac{60}{7}$。
综上所述，所有满足条件的$x$的值为$\frac{20}{7}$，$4$，$\frac{60}{7}$。
(2)设当P,Q两点第一次相遇时，运动时间为$x$秒。
由题意得：$x + 3x = 10$
解得$x = 2.5$
则$BQ = 3x = 3×2.5 = 7.5$
答：线段$BQ$的长为$7.5$。
(3)存在。
由题意得，点$P$到达点$B$时，$x = 10÷1 = 10$，所以$0\leq x\leq10$。
①当点$Q$从点$B$出发未到点$A$时，$AQ = 10 - 3x$，$AP = x$，因为点$Q$是线段$AP$的中点，所以$AP = 2AQ$，即$x = 2(10 - 3x)$，解得$x=\frac{20}{7}$；
②当点$Q$到达点$A$后，从点$A$返回点$B$时，$AQ = 3x - 10$，$AP = x$，因为点$Q$是线段$AP$的中点，所以$AP = 2AQ$，即$x = 2(3x - 10)$，解得$x = 4$；
③当点$Q$第一次返回到点$B$后，从点$B$向点$A$运动时，$BQ = 3x - 20$，$AQ = 10 - BQ = 30 - 3x$，$AP = x$，因为点$Q$是线段$AP$的中点，所以$AP = 2AQ$，即$x = 2(30 - 3x)$，解得$x=\frac{60}{7}$。
综上所述，所有满足条件的$x$的值为$\frac{20}{7}$，$4$，$\frac{60}{7}$。