1.(3分)若m,n是正整数,则多项式$x^{m}+y^{n}+4^{m+n}$的次数为 (
A.m
B.n
C.m,n中较大的数
D.$m+n$
C
)A.m
B.n
C.m,n中较大的数
D.$m+n$
答案：C
解析：
多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数。在多项式$x^{m}+y^{n}+4^{m+n}$中，$x^{m}$的次数是$m$，$y^{n}$的次数是$n$，$4^{m+n}$是常数项，次数为$0$。因为$m$，$n$是正整数，所以该多项式的次数为$m$，$n$中较大的数。
C
C
2.(3分)新素养抽象能力如果一个多项式的各项的次数相同,那么这个多项式叫作齐次多项式,如:$x^{3}+3xy^{2}+4xz^{2}+2y^{3}$是三次齐次多项式.若$a^{x+3}b^{2}-6ab^{3}c^{2}$是齐次多项式,则x的值为____
1
.答案：1
解析：
因为多项式$a^{x+3}b^{2}-6ab^{3}c^{2}$是齐次多项式，所以各项次数相同。
第一项$a^{x+3}b^{2}$的次数为$(x + 3)+2=x + 5$；
第二项$-6ab^{3}c^{2}$的次数为$1+3+2=6$。
则$x + 5=6$，解得$x=1$。
1
第一项$a^{x+3}b^{2}$的次数为$(x + 3)+2=x + 5$；
第二项$-6ab^{3}c^{2}$的次数为$1+3+2=6$。
则$x + 5=6$，解得$x=1$。
1
3.(3分)亮点原创若将多项式中的任意两个字母交换位置,多项式不变,则称该多项式为“亮点多项式”.例如:$a+b+c$就是“亮点多项式”.给出下列四个多项式:①$a-b-c$;②$-a-b-c+2$;③$ab+bc+ca$;④$a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a$.其中是“亮点多项式”的为
②③
.(填序号)答案：②③
4.(6分)上分点一若关于x,y的多项式$4xy^{2}-5x^{3}y^{4}+(m-5)x^{5}y^{3}-2与多项式-2x^{n}y^{4}+6xy-3x-7$的次数相同,且次数最高的项的系数也相同,求正整数m,n的值.
答案：由题意,分类讨论如下:① 当m=5时,多项式4xy²-5x³y⁴+(m-5)x⁵y³-2次数最高的项的系数为-5,多项式-2xⁿy⁴+6xy-3x-7没有系数为-5的项,不合题意;② 当m≠5时,因为多项式4xy²-5x³y⁴+(m-5)x⁵y³-2与多项式-2xⁿy⁴+6xy-3x-7的次数相同,且次数最高的项的系数也相同,所以m-5=-2,n+4=5+3,所以m=3,n=4.综上所述,正整数m,n的值分别为3,4.
解析：
①当$m = 5$时，多项式$4xy^{2}-5x^{3}y^{4}+(m - 5)x^{5}y^{3}-2$次数最高的项为$-5x^{3}y^{4}$，系数为$-5$，多项式$-2x^{n}y^{4}+6xy - 3x - 7$中无系数为$-5$的项，不合题意；
②当$m\neq5$时，多项式$4xy^{2}-5x^{3}y^{4}+(m - 5)x^{5}y^{3}-2$次数最高的项为$(m - 5)x^{5}y^{3}$，次数为$5 + 3=8$，系数为$m - 5$，多项式$-2x^{n}y^{4}+6xy - 3x - 7$次数最高的项为$-2x^{n}y^{4}$，次数为$n + 4$，系数为$-2$。因为两多项式次数相同且最高次项系数相同，所以$m - 5=-2$，$n + 4=8$，解得$m = 3$，$n = 4$。
正整数$m$，$n$的值分别为$3$，$4$。
②当$m\neq5$时，多项式$4xy^{2}-5x^{3}y^{4}+(m - 5)x^{5}y^{3}-2$次数最高的项为$(m - 5)x^{5}y^{3}$，次数为$5 + 3=8$，系数为$m - 5$，多项式$-2x^{n}y^{4}+6xy - 3x - 7$次数最高的项为$-2x^{n}y^{4}$，次数为$n + 4$，系数为$-2$。因为两多项式次数相同且最高次项系数相同，所以$m - 5=-2$，$n + 4=8$，解得$m = 3$，$n = 4$。
正整数$m$，$n$的值分别为$3$，$4$。
5.(3分)下列运算正确的是 (
A.$3a^{2}b-2ba^{2}= a^{2}b$
B.$-(x-1)= -x-1$
C.$2x+4y= 6xy$
D.$2(a-1)= 2a-1$
A
)A.$3a^{2}b-2ba^{2}= a^{2}b$
B.$-(x-1)= -x-1$
C.$2x+4y= 6xy$
D.$2(a-1)= 2a-1$
答案：A
6.(3分)上分点二若$5x^{m+4}y^{3}与x^{2}y^{n+1}$是同类项,则$m^{n}$的值为 (
A.4
B.-4
C.$-\frac {1}{4}$
D.$\frac {1}{4}$
A
)A.4
B.-4
C.$-\frac {1}{4}$
D.$\frac {1}{4}$
答案：A
解析：
因为$5x^{m+4}y^{3}$与$x^{2}y^{n+1}$是同类项，所以相同字母的指数相同，即$m + 4=2$，$n + 1=3$。解得$m=2 - 4=-2$，$n=3 - 1=2$。则$m^{n}=(-2)^{2}=4$。
A
A
7.(2025·江苏苏州期末·3分)对于整数m,n,定义一种新的运算“$\odot$”:当$m+n$为偶数时,规定$m\odot n= 2|m+n|+(m-n)$;当$m+n$为奇数时,规定$m\odot n= 2|m+n|-(m-n)$.已知a为正整数,且满足$(a\odot a)\odot a= 60+3a$,则a的值为____
6或15
.答案：6或15 解析:因为a为正整数,a+a=2a,所以2a为偶数,所以a⊙a=2|a+a|+(a-a)=4a.分类讨论如下:① 当a为偶数时,4a+a=5a,也为偶数,所以(a⊙a)⊙a=4a⊙a=2|4a+a|+(4a-a)=13a,所以13a=60+3a,所以a=6;② 当a为奇数时,4a+a=5a,也为奇数,所以(a⊙a)⊙a=4a⊙a=2|4a+a|-(4a-a)=7a,所以7a=60+3a,所以a=15.综上所述,a的值为6或15.
解析：
因为$a$为正整数，$a + a=2a$，$2a$为偶数，所以$a\odot a=2|a + a|+(a - a)=4a$。
① 当$a$为偶数时，$4a + a=5a$为偶数，$(a\odot a)\odot a=4a\odot a=2|4a + a|+(4a - a)=10a + 3a=13a$。由$13a=60 + 3a$，得$10a=60$，$a=6$。
② 当$a$为奇数时，$4a + a=5a$为奇数，$(a\odot a)\odot a=4a\odot a=2|4a + a|-(4a - a)=10a - 3a=7a$。由$7a=60 + 3a$，得$4a=60$，$a=15$。
综上，$a$的值为$6$或$15$。
① 当$a$为偶数时，$4a + a=5a$为偶数，$(a\odot a)\odot a=4a\odot a=2|4a + a|+(4a - a)=10a + 3a=13a$。由$13a=60 + 3a$，得$10a=60$，$a=6$。
② 当$a$为奇数时，$4a + a=5a$为奇数，$(a\odot a)\odot a=4a\odot a=2|4a + a|-(4a - a)=10a - 3a=7a$。由$7a=60 + 3a$，得$4a=60$，$a=15$。
综上，$a$的值为$6$或$15$。
8.(7分)任意写一个三位数,使百位上的数字比个位上的数字大3.交换百位上的数字与个位上的数字,用大数减去小数得到一个差,交换差的百位上的数字与个位上的数字,做两个数的加法,得到的结果为1089.若用不同的三位数再做几次,结果都是1089吗?请说明理由.
答案：结果都是1089.理由如下:设这个三位数为100(3+c)+10b+c,交换百位上的数字与个位上的数字后为100c+10b+3+c,则[100(3+c)+10b+c]-(100c+10b+3+c)=297.再交换297的百位上的数字和个位上的数字得792.又297+792=1089,所以用不同的三位数再做几次,结果都是1089.
解析：
结果都是1089。理由如下：设这个三位数个位上的数字为$c$，十位上的数字为$b$，则百位上的数字为$3 + c$，这个三位数可表示为$100(3 + c) + 10b + c$。交换百位上的数字与个位上的数字后得到的三位数为$100c + 10b + (3 + c)$。大数减去小数：$\begin{aligned}&[100(3 + c) + 10b + c] - [100c + 10b + (3 + c)]\\=&300 + 100c + 10b + c - 100c - 10b - 3 - c\\=&297\end{aligned}$交换差297的百位上的数字与个位上的数字得到792。两数相加：$297 + 792 = 1089$。所以用不同的三位数再做几次，结果都是1089。