13.(3分)将正整数按如图所示的规律排列下去.若用有序数对$(m,n)表示第m$排,从左到右第$n$个数,如$(3,2)$表示整数5,则$(16,4)$表示的数是
124
.答案：124
解析：
第1排有1个数，第2排有2个数，…，第m排有m个数。前m-1排共有数的个数为$1+2+\cdots+(m-1)=\frac{(m-1)m}{2}$。
对于$(16,4)$，m=16，n=4。前15排共有数的个数为$\frac{15×16}{2}=120$。第16排第4个数是$120+4=124$。
124
对于$(16,4)$，m=16，n=4。前15排共有数的个数为$\frac{15×16}{2}=120$。第16排第4个数是$120+4=124$。
124
14.(3分)如果一个四位自然数$M= \overline {abcd}$的各数位上的数字互不相等,且满足$\overline {ab}+\overline {cd}= 130$,那么称这个四位数为“大吉数”.若一个“大吉数”$M$的前三个数字组成的三位数$\overline {abc}$与后三个数字组成的三位数$\overline {bcd}$的和能被11整除,则满足条件的$M$的最大值是____
9832
.答案：9832
解析：
设四位数$M = \overline{abcd}$，则$\overline{ab} = 10a + b$，$\overline{cd} = 10c + d$。
由$\overline{ab} + \overline{cd} = 130$，得$10a + b + 10c + d = 130$。
$\overline{abc} = 100a + 10b + c$，$\overline{bcd} = 100b + 10c + d$，其和为：
$\begin{aligned}\overline{abc} + \overline{bcd}&=100a + 10b + c + 100b + 10c + d\\&=100a + 110b + 11c + d\\&=90a + 10(a + b + 10c + d) + 110b + 11c - 9d\\&=90a + 10×130 + 11(10b + c) - 9d\\&=90a + 1300 + 11(10b + c) - 9d\end{aligned}$
因为$10a + b + 10c + d = 130$，所以$d = 130 - 10a - b - 10c$，代入上式化简后可得该和为$100a + 110b + 11c + 130 - 10a - b - 10c = 90a + 109b + c + 130$，进一步变形为$10(9a + 10b) + (9b + c) + 130$，而$9a + 10b = 10a + b + 9b - a = (10a + b) + 9b - a$，又因为$10a + b = 130 - (10c + d)$，但更简便的是由$10a + b = 130 - \overline{cd}$，要使$M$最大，$a$应尽可能大，设$a = 9$，则$\overline{ab} = 90 + b$，$\overline{cd} = 130 - (90 + b) = 40 - b$，所以$c = 3$（因为$\overline{cd}$是两位数，十位为$3$或$4$，若$c = 4$，则$10c + d = 40 + d$，$90 + b + 40 + d = 130$得$b + d = 0$，不符合数字互不相等，所以$c = 3$），则$\overline{cd} = 30 + d$，所以$90 + b + 30 + d = 130$，即$b + d = 10$，$d = 10 - b$。
此时$\overline{abc} + \overline{bcd} = 90×9 + 109b + 3 + 130 = 810 + 109b + 3 + 130 = 943 + 109b$，要能被$11$整除，$943÷11 = 85\cdots\cdots8$，$109b = 11×9b + 10b$，所以$8 + 10b$能被$11$整除，$10b = 11k - 8$，$b$为一位数且$b \neq 9$、$b \neq 3$、$b \neq d = 10 - b$（即$b \neq 5$），当$k = 6$时，$10b = 58$（舍）；$k = 8$时，$10b = 80$，$b = 8$，则$d = 10 - 8 = 2$，此时$a = 9$，$b = 8$，$c = 3$，$d = 2$，各数位数字互不相等，满足条件。
9832
由$\overline{ab} + \overline{cd} = 130$，得$10a + b + 10c + d = 130$。
$\overline{abc} = 100a + 10b + c$，$\overline{bcd} = 100b + 10c + d$，其和为：
$\begin{aligned}\overline{abc} + \overline{bcd}&=100a + 10b + c + 100b + 10c + d\\&=100a + 110b + 11c + d\\&=90a + 10(a + b + 10c + d) + 110b + 11c - 9d\\&=90a + 10×130 + 11(10b + c) - 9d\\&=90a + 1300 + 11(10b + c) - 9d\end{aligned}$
因为$10a + b + 10c + d = 130$，所以$d = 130 - 10a - b - 10c$，代入上式化简后可得该和为$100a + 110b + 11c + 130 - 10a - b - 10c = 90a + 109b + c + 130$，进一步变形为$10(9a + 10b) + (9b + c) + 130$，而$9a + 10b = 10a + b + 9b - a = (10a + b) + 9b - a$，又因为$10a + b = 130 - (10c + d)$，但更简便的是由$10a + b = 130 - \overline{cd}$，要使$M$最大，$a$应尽可能大，设$a = 9$，则$\overline{ab} = 90 + b$，$\overline{cd} = 130 - (90 + b) = 40 - b$，所以$c = 3$（因为$\overline{cd}$是两位数，十位为$3$或$4$，若$c = 4$，则$10c + d = 40 + d$，$90 + b + 40 + d = 130$得$b + d = 0$，不符合数字互不相等，所以$c = 3$），则$\overline{cd} = 30 + d$，所以$90 + b + 30 + d = 130$，即$b + d = 10$，$d = 10 - b$。
此时$\overline{abc} + \overline{bcd} = 90×9 + 109b + 3 + 130 = 810 + 109b + 3 + 130 = 943 + 109b$，要能被$11$整除，$943÷11 = 85\cdots\cdots8$，$109b = 11×9b + 10b$，所以$8 + 10b$能被$11$整除，$10b = 11k - 8$，$b$为一位数且$b \neq 9$、$b \neq 3$、$b \neq d = 10 - b$（即$b \neq 5$），当$k = 6$时，$10b = 58$（舍）；$k = 8$时，$10b = 80$，$b = 8$，则$d = 10 - 8 = 2$，此时$a = 9$，$b = 8$，$c = 3$，$d = 2$，各数位数字互不相等，满足条件。
9832
15.(3分)如图,长方形$ABCD$由4块小长方形拼成,其中小长方形②③的形状、大小完全相同,且长与宽的差为2.5,则小长方形④与小长方形①周长的差是
10
.答案：10
解析：
设小长方形②的长为$a$，宽为$b$，则小长方形③的长为$a$，宽为$b$，且$a - b=2.5$。
由图可知：小长方形①的长为$b$，宽为$a - b$；小长方形④的长为$a$，宽为$a$。
小长方形①的周长：$2[b+(a - b)]=2a$
小长方形④的周长：$2(a + a)=4a$
小长方形④与小长方形①周长的差：$4a-2a=2a$
又因为$a - b=2.5$，且小长方形③的宽$b$等于小长方形①的长$b$，小长方形③的长$a$等于小长方形④的宽$a$，同时大长方形的宽为$a + b$，也等于小长方形③的长$a$加上小长方形①的宽$a - b$，即$a+(a - b)=a + b$，化简得$a - b=b$，所以$b=a - 2.5$，代入$a - b=b$得$a-(a - 2.5)=a - 2.5$，解得$a=5$。
则$2a=2×5=10$
10
由图可知：小长方形①的长为$b$，宽为$a - b$；小长方形④的长为$a$，宽为$a$。
小长方形①的周长：$2[b+(a - b)]=2a$
小长方形④的周长：$2(a + a)=4a$
小长方形④与小长方形①周长的差：$4a-2a=2a$
又因为$a - b=2.5$，且小长方形③的宽$b$等于小长方形①的长$b$，小长方形③的长$a$等于小长方形④的宽$a$，同时大长方形的宽为$a + b$，也等于小长方形③的长$a$加上小长方形①的宽$a - b$，即$a+(a - b)=a + b$，化简得$a - b=b$，所以$b=a - 2.5$，代入$a - b=b$得$a-(a - 2.5)=a - 2.5$，解得$a=5$。
则$2a=2×5=10$
10
16.(3分)计算:$(1-\frac {1}{2}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+... +\frac {1}{2011}-\frac {1}{2012})÷(\frac {1}{1007}+\frac {1}{1008}+... +\frac {1}{2012})=$
1
.答案：1 解析：$\left[\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2011}+\frac{1}{2012}\right)-2×\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2012}\right)\right]÷\left(\frac{1}{1007}+\frac{1}{1008}+\cdots+\frac{1}{2012}\right)=\left[\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2011}+\frac{1}{2012}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{1006}\right)\right]÷\left(\frac{1}{1007}+\frac{1}{1008}+\cdots+\frac{1}{2012}\right)=\left(\frac{1}{1007}+\frac{1}{1008}+\cdots+\frac{1}{2012}\right)÷\left(\frac{1}{1007}+\frac{1}{1008}+\cdots+\frac{1}{2012}\right)=1$.
解析：
$\begin{aligned}&\left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2011} - \frac{1}{2012}\right) ÷ \left(\frac{1}{1007} + \frac{1}{1008} + \cdots + \frac{1}{2012}\right)\\=&\left[\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2012}\right) - 2×\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2012}\right)\right] ÷ \left(\frac{1}{1007} + \cdots + \frac{1}{2012}\right)\\=&\left[\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2012}\right) - \left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{1006}\right)\right] ÷ \left(\frac{1}{1007} + \cdots + \frac{1}{2012}\right)\\=&\left(\frac{1}{1007} + \frac{1}{1008} + \cdots + \frac{1}{2012}\right) ÷ \left(\frac{1}{1007} + \cdots + \frac{1}{2012}\right)\\=&1\end{aligned}$
1
1
17.(2025·江苏泰州期末·3分)如图,过数轴上表示1的点作数轴的垂线$l_{1}$,过数轴上表示2的点作数轴的垂线$l_{2}$,过数轴上表示3的点作数轴的垂线$l_{3}$,….已知点$A_{0}$表示的数为-1,将点$A_{0}沿直线l_{1}翻折得到点A_{1}$,将点$A_{1}沿直线l_{2}翻折得到点A_{2}$,将点$A_{2}沿直线l_{3}翻折得到点A_{3}$,…,则点$A_{2025}$表示的数为____.
2027
答案：2027 解析：由题意，得点$A_{0}$表示的数为-1，点$A_{1}$表示的数为$1×2-(-1)=3$，点$A_{2}$表示的数为$2×2-3=1$，点$A_{3}$表示的数为$2×3-1=5$，点$A_{4}$表示的数为$2×4-5=3$，点$A_{5}$表示的数为$2×5-3=7$，…，所以当n为奇数时，点$A_{n}$表示的数为$n+2$，所以点$A_{2025}$表示的数为$2025+2=2027$.
解析：
点$A_0$表示的数为$-1$，
点$A_1$表示的数为$2×1 - (-1) = 3$，
点$A_2$表示的数为$2×2 - 3 = 1$，
点$A_3$表示的数为$2×3 - 1 = 5$，
点$A_4$表示的数为$2×4 - 5 = 3$，
点$A_5$表示的数为$2×5 - 3 = 7$，
……
观察可得，当$n$为奇数时，点$A_n$表示的数为$n + 2$，
因为$2025$是奇数，所以点$A_{2025}$表示的数为$2025 + 2 = 2027$。
2027
点$A_1$表示的数为$2×1 - (-1) = 3$，
点$A_2$表示的数为$2×2 - 3 = 1$，
点$A_3$表示的数为$2×3 - 1 = 5$，
点$A_4$表示的数为$2×4 - 5 = 3$，
点$A_5$表示的数为$2×5 - 3 = 7$，
……
观察可得，当$n$为奇数时，点$A_n$表示的数为$n + 2$，
因为$2025$是奇数，所以点$A_{2025}$表示的数为$2025 + 2 = 2027$。
2027
18.(3分)新素养抽象能力 对于三个数$a$,$b$,$c$,我们规定用$M\{ a,b,c\}$表示这三个数的平均数,用$min\{ a,b,c\}$表示这三个数中最小的数,例如:$M\{ -1,2,3\} = \frac {-1+2+3}{3}= \frac {4}{3},min\{ -1,2,3\} = -1$.若$M\{ 3,2x+1,4x-1\} = min\{ 2,-x+3,5x\}$,则$x$的值为
$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$
.答案：$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$ 解析：由题意，得$M\{3,2x+1,4x-1\}=\frac{1}{3}[3+(2x+1)+(4x-1)]=2x+1$.因为$M\{3,2x+1,4x-1\}=\min\{2,-x+3,5x\}$，所以分类讨论如下：① 若$2x+1=2$，解得$x=\frac{1}{2}$，则$\min\{2,-x+3,5x\}=\min\left\{2,\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right\}=2$，符合题意；② 若$2x+1=-x+3$，解得$x=\frac{2}{3}$，则$\min\{2,-x+3,5x\}=\min\left\{2,\frac{7}{3},\frac{10}{3}\right\}=2$，不合题意，舍去；③ 若$2x+1=5x$，解得$x=\frac{1}{3}$，则$\min\{2,-x+3,5x\}=\min\left\{2,\frac{8}{3},\frac{5}{3}\right\}=\frac{5}{3}$，符合题意.综上所述，x的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$.
19.(3分)在数轴上有一点$A$,将点$A$向左移动2个单位长度得到点$B$,将点$B$向左移动4个单位长度得到点$C$,点$A$,$B$,$C分别表示有理数a$,$b$,$c$.若$a$,$b$,$c$这三个数的乘积为负数,且这三个数的和与其中的一个数相等,则$a$的值为
4或3
.答案：4或3 解析：由题意，得$b=a-2$，$c=b-4=a-6$，所以$a+b+c=3a-8$.因为a，b，c这三个数的和与其中的一个数相等，所以分类讨论如下：① 若$3a-8=a$，解得$a=4$，则$b=2$，$c=-2$，所以$abc=-16＜0$，符合题意；② 若$3a-8=a-2$，解得$a=3$，则$b=1$，$c=-3$，所以$abc=-9＜0$，符合题意；③ 若$3a-8=a-6$，解得$a=1$，则$b=-1$，$c=-5$，所以$abc=5＞0$，不合题意，舍去.综上所述，a的值为4或3.
解析：
由题意，得$b = a - 2$，$c = b - 4 = a - 6$，则$a + b + c = a + (a - 2) + (a - 6) = 3a - 8$。
因为$a$，$b$，$c$的和与其中一个数相等，分情况讨论：
① 若$3a - 8 = a$，解得$a = 4$。此时$b = 4 - 2 = 2$，$c = 4 - 6 = -2$，$abc = 4×2×(-2) = -16 ＜ 0$，符合题意。
② 若$3a - 8 = b = a - 2$，解得$a = 3$。此时$b = 3 - 2 = 1$，$c = 3 - 6 = -3$，$abc = 3×1×(-3) = -9 ＜ 0$，符合题意。
③ 若$3a - 8 = c = a - 6$，解得$a = 1$。此时$b = 1 - 2 = -1$，$c = 1 - 6 = -5$，$abc = 1×(-1)×(-5) = 5 ＞ 0$，不合题意，舍去。
综上，$a$的值为$4$或$3$。
因为$a$，$b$，$c$的和与其中一个数相等，分情况讨论：
① 若$3a - 8 = a$，解得$a = 4$。此时$b = 4 - 2 = 2$，$c = 4 - 6 = -2$，$abc = 4×2×(-2) = -16 ＜ 0$，符合题意。
② 若$3a - 8 = b = a - 2$，解得$a = 3$。此时$b = 3 - 2 = 1$，$c = 3 - 6 = -3$，$abc = 3×1×(-3) = -9 ＜ 0$，符合题意。
③ 若$3a - 8 = c = a - 6$，解得$a = 1$。此时$b = 1 - 2 = -1$，$c = 1 - 6 = -5$，$abc = 1×(-1)×(-5) = 5 ＞ 0$，不合题意，舍去。
综上，$a$的值为$4$或$3$。
20.(3分)在数轴上,点$A$,$C表示的数分别是a$,$c$,且$a$,$c满足等式(16+a)^{2}+|c-12|= 0$,点$B表示的数是多项式2x^{2}-4x+3$的一次项系数.点$A$,$B$,$C$在数轴上同时开始运动,点$A$向左运动,速度为每秒3个单位长度,点$B$,$C$均向右运动,速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度,设运动的时间为$t\ s$,且点$A$,$B之间的距离表示为AB$,点$B$,$C之间的距离表示为BC$.若存在$m$,使得$AB-mBC的值不随t$的变化而变化,则$AB-mBC$的值是____
-84
.答案：-84 解析：因为$(16+a)^{2}+|c-12|=0$，所以$16+a=0$，$c-12=0$，解得$a=-16$，$c=12$.因为点B表示的数是多项式$2x^{2}-4x+3$的一次项系数，所以点B表示的数是-4.由题意，得当运动的时间为t s时，点A，B，C表示的数分别是$-16-3t$，$-4+3t$，$12+4t$，所以$AB=-4+3t-(-16-3t)=6t+12$，$BC=12+4t-(-4+3t)=t+16$，所以$AB-mBC=6t+12-m(t+16)=(6-m)t+12-16m$.因为$AB-mBC$的值不随t的变化而变化，所以$6-m=0$，解得$m=6$，所以$AB-mBC=12-16×6=-84$.
解析：
因为$(16+a)^{2}+|c-12|=0$，所以$16+a=0$，$c-12=0$，解得$a=-16$，$c=12$。多项式$2x^{2}-4x+3$的一次项系数为$-4$，故点$B$表示的数是$-4$。运动$t\ \text{s}$后，点$A$，$B$，$C$表示的数分别为$-16 - 3t$，$-4 + 3t$，$12 + 4t$。
$AB = (-4 + 3t) - (-16 - 3t) = 6t + 12$，$BC = (12 + 4t) - (-4 + 3t) = t + 16$。
$AB - mBC = 6t + 12 - m(t + 16) = (6 - m)t + 12 - 16m$。
因为$AB - mBC$的值不随$t$变化，所以$6 - m = 0$，解得$m = 6$。
则$AB - mBC = 12 - 16×6 = -84$。
$-84$
$AB = (-4 + 3t) - (-16 - 3t) = 6t + 12$，$BC = (12 + 4t) - (-4 + 3t) = t + 16$。
$AB - mBC = 6t + 12 - m(t + 16) = (6 - m)t + 12 - 16m$。
因为$AB - mBC$的值不随$t$变化，所以$6 - m = 0$，解得$m = 6$。
则$AB - mBC = 12 - 16×6 = -84$。
$-84$