16. (14分)新趋势 推导探究 如图,在数轴上,点A表示的数为a,点B表示的数为b,点C表示的数为c,b是最小的正整数,且a,c满足$|a + 2|+(c - 7)^{2} = 0$.
(1)$a = $
(2)点A,B,C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动,设t s后,点A与点B之间的距离表示为AB,点A与点C之间的距离表示为AC,点B与点C之间的距离表示为BC,则$AB = $
(3)在(2)的条件下,$3BC - 2AB$的值是否随t的变化而变化？若变化,请说明理由；若不变,请求出其值.
(1)$a = $
-2
,$b = $1
,$c = $7
；(2)点A,B,C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动,设t s后,点A与点B之间的距离表示为AB,点A与点C之间的距离表示为AC,点B与点C之间的距离表示为BC,则$AB = $
3t+3
,$AC = $5t+9
,$BC = $2t+6
；(用含t的代数式表示)(3)在(2)的条件下,$3BC - 2AB$的值是否随t的变化而变化？若变化,请说明理由；若不变,请求出其值.
因为AB=3t+3，BC=2t+6，所以3BC-2AB=3(2t+6)-2(3t+3)=6t+18-6t-6=12。故3BC-2AB的值不随t的变化而变化，其值为12。
答案：(1)-2 1 7 (2)3t+3 5t+9 2t+6 解析：由题意,得t s后,点A表示的数为-2-t,点B表示的数为1+2t,点C表示的数为7+4t,所以AB=1+2t-(-2-t)=3t+3,AC=7+4t-(-2-t)=5t+9,BC=7+4t-(1+2t)=2t+6. (3)因为AB=3t+3,BC=2t+6,所以3BC-2AB=3(2t+6)-2(3t+3)=6t+18-6t-6=12.故3BC-2AB的值不随t的变化而变化,其值为12.
解析：
(1)$-2$，$1$，$7$
(2)$3t+3$，$5t+9$，$2t+6$
(3)$3BC - 2AB=3(2t+6)-2(3t+3)=6t+18-6t-6=12$，故$3BC - 2AB$的值不随$t$的变化而变化，其值为$12$
(2)$3t+3$，$5t+9$，$2t+6$
(3)$3BC - 2AB=3(2t+6)-2(3t+3)=6t+18-6t-6=12$，故$3BC - 2AB$的值不随$t$的变化而变化，其值为$12$
17. (14分)对于任意有理数x,y,规定一种新的运算“*”：$x*y = xy - 2x + 1$.
(1)求$3*2$的值；
(2)对于任意有理数x,y,是否都有$x*y = y*x$成立？如果成立,请说明理由；如果不一定成立,请举反例说明；
(3)如图,在数轴上,点A,B之间的距离为2,点A表示的数为$1*(-9)$,点C表示的数为$(-8)*\frac{1}{8}$. 若点B以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动,同时点C以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动,设运动的时间为t s,则当t为何值时,点B,C之间的距离为8？并求此时点B在数轴上表示的数.
(1)求$3*2$的值；
(2)对于任意有理数x,y,是否都有$x*y = y*x$成立？如果成立,请说明理由；如果不一定成立,请举反例说明；
(3)如图,在数轴上,点A,B之间的距离为2,点A表示的数为$1*(-9)$,点C表示的数为$(-8)*\frac{1}{8}$. 若点B以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动,同时点C以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动,设运动的时间为t s,则当t为何值时,点B,C之间的距离为8？并求此时点B在数轴上表示的数.
答案：(1)由题意,得3*2=3×2-2×3+1=1. (2)当x=3,y=4时,3*4=3×4-2×3+1=7,4*3=4×3-2×4+1=5,所以3*4≠4*3,所以对于任意有理数x,y,x*y=y*x不一定成立. (3)由题意,得1*(-9)=1×(-9)-2×1+1=-10,(-8)*1/8=(-8)×1/8-2×(-8)+1=16,所以点A,C表示的数分别为-10,16,所以点B表示的数为-10+2=-8.当运动的时间为t s时,点B表示的数为-8+6t,点C表示的数为16-2t,则点B,C之间的距离d=|-8+6t-(16-2t)|=|8t-24|.又d=8,所以|8t-24|=8,解得t=2或4.当t=2时,-8+6t=4；当t=4时,-8+6t=16.综上所述,当t的值为2或4时,点B,C之间的距离为8,此时点B在数轴上表示的数为4或16.
解析：
(1)$3*2=3× 2-2× 3+1=1$
(2)当$x=3$,$y=4$时,$3*4=3× 4-2× 3+1=7$,$4*3=4× 3-2× 4+1=5$,因为$7\neq 5$,所以$x*y=y*x$不一定成立
(3)$1*(-9)=1× (-9)-2× 1+1=-10$,$(-8)*\frac{1}{8}=(-8)× \frac{1}{8}-2× (-8)+1=16$,点$A$表示$-10$,点$C$表示$16$,点$B$表示$-10 + 2=-8$.运动$t\ \text{s}$后,点$B$表示$-8 + 6t$,点$C$表示$16-2t$,距离$d=|-8 + 6t-(16-2t)|=|8t-24|$.由$d=8$得$|8t-24|=8$,解得$t=2$或$t=4$.当$t=2$时,点$B$表示$-8 + 6× 2=4$;当$t=4$时,点$B$表示$-8 + 6× 4=16$.
综上,$t=2$或$4$时,点$B$、$C$距离为$8$,此时点$B$表示$4$或$16$
(2)当$x=3$,$y=4$时,$3*4=3× 4-2× 3+1=7$,$4*3=4× 3-2× 4+1=5$,因为$7\neq 5$,所以$x*y=y*x$不一定成立
(3)$1*(-9)=1× (-9)-2× 1+1=-10$,$(-8)*\frac{1}{8}=(-8)× \frac{1}{8}-2× (-8)+1=16$,点$A$表示$-10$,点$C$表示$16$,点$B$表示$-10 + 2=-8$.运动$t\ \text{s}$后,点$B$表示$-8 + 6t$,点$C$表示$16-2t$,距离$d=|-8 + 6t-(16-2t)|=|8t-24|$.由$d=8$得$|8t-24|=8$,解得$t=2$或$t=4$.当$t=2$时,点$B$表示$-8 + 6× 2=4$;当$t=4$时,点$B$表示$-8 + 6× 4=16$.
综上,$t=2$或$4$时,点$B$、$C$距离为$8$,此时点$B$表示$4$或$16$