15.(14分)已知3个有理数x,y,z,且$x= \frac {2}{(-1)^{n}-1}$(n为正整数),x与y互为相反数,y与z互为倒数.
(1)当n为奇数时,能否求出x,y,z的值?当n为偶数时呢?若能,请计算并写出结果;若不能,请说明理由;
(2)在(1)的条件下,计算:$xy-y^{n}-(y-z)^{2025}$.
(1)当n为奇数时,能否求出x,y,z的值?当n为偶数时呢?若能,请计算并写出结果;若不能,请说明理由;
(2)在(1)的条件下,计算:$xy-y^{n}-(y-z)^{2025}$.
答案：（1）当$n$为奇数时，$x=\frac{2}{(-1)^{n}-1}=\frac{2}{-1-1}=-1$. 因为$x$与$y$互为相反数，所以$y=-x=1$. 因为$y$与$z$为倒数，所以$z=\frac{1}{y}=1$，所以$x=-1$，$y=1$，$z=1$；当$n$为偶数时，$(-1)^{n}-1=1-1=0$. 因为分母不能为零，所以不能求出$x$，$y$，$z$的值.
（2）因为$x=-1$，$y=1$，$z=1$，所以$xy-y^{n}-(y-z)^{2025}=(-1)×1-1^{n}-(1-1)^{2025}=-2$.
（2）因为$x=-1$，$y=1$，$z=1$，所以$xy-y^{n}-(y-z)^{2025}=(-1)×1-1^{n}-(1-1)^{2025}=-2$.
16.(2025·江苏苏州期末·14分)观察下面三组单项式:$x,2x^{2},4x^{3},8x^{4},16x^{5},...$①;$2x,-4x^{2},8x^{3},-16x^{4},32x^{5},...$②;$3x,5x^{2},9x^{3},17x^{4},33x^{5},...$③.分别取①②③中第10个单项式,令这三个单项式的和为A,则当$x= \frac {1}{2}$时,求$256×[3A-2(A+\frac {1}{4})]$的值.
答案：由题意，得$A=2^{9}x^{10}+(-2^{10}x^{10})+(2^{10}+1)x^{10}=513x^{10}$. 当$x=\frac{1}{2}$时，$A=513×(\frac{1}{2})^{10}=\frac{513}{1024}$，所以原式$=256×(3A-2A-\frac{1}{2})=256×(A-\frac{1}{2})=256×(\frac{513}{1024}-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$.
解析：
观察①组单项式：系数为$2^{n-1}$，字母部分为$x^n$，第10个单项式为$2^{9}x^{10}=512x^{10}$。
观察②组单项式：系数为$(-2)^n$，字母部分为$x^n$，第10个单项式为$(-2)^{10}x^{10}=-1024x^{10}$。
观察③组单项式：系数为$2^n + 1$，字母部分为$x^n$，第10个单项式为$(2^{10}+1)x^{10}=1025x^{10}$。
则$A=512x^{10}-1024x^{10}+1025x^{10}=513x^{10}$。
当$x=\frac{1}{2}$时，$A=513×(\frac{1}{2})^{10}=\frac{513}{1024}$。
原式$=256×[3A - 2(A+\frac{1}{4})]=256×(A - \frac{1}{2})=256×(\frac{513}{1024}-\frac{512}{1024})=256×\frac{1}{1024}=\frac{1}{4}$。
$\frac{1}{4}$
观察②组单项式：系数为$(-2)^n$，字母部分为$x^n$，第10个单项式为$(-2)^{10}x^{10}=-1024x^{10}$。
观察③组单项式：系数为$2^n + 1$，字母部分为$x^n$，第10个单项式为$(2^{10}+1)x^{10}=1025x^{10}$。
则$A=512x^{10}-1024x^{10}+1025x^{10}=513x^{10}$。
当$x=\frac{1}{2}$时，$A=513×(\frac{1}{2})^{10}=\frac{513}{1024}$。
原式$=256×[3A - 2(A+\frac{1}{4})]=256×(A - \frac{1}{2})=256×(\frac{513}{1024}-\frac{512}{1024})=256×\frac{1}{1024}=\frac{1}{4}$。
$\frac{1}{4}$
17.(16分)对于数轴上的两点A,B,给出如下定义:A,B两点到原点O的距离之差的绝对值称为A,B两点的绝对距离,记为$|AOB|或|BOA|$.特别地,当点A与点B重合时,规定$|AOB|= 0$.例如:如图①,在数轴上,点A,B分别表示-3,1,则$|AOB|= |3-1|= 2$.如图②,在数轴上,点A,B分别表示-1,2,点C表示数x.
(1)①$|AOB|=$
②若$|AOC|= 3|AOB|$,求x的值;
(2)若$1≤x≤2,|AOC|= |BOC|$,求x的值;
(3)若C是数轴上位于原点O右侧的一个动点,$|AOC|+|BOC|= 2$,求x的值.
(1)①$|AOB|=$
1
;②若$|AOC|= 3|AOB|$,求x的值;
因为$|AOC|=3|AOB|$，$|AOB|=1$，所以$|AOC|=3$. 因为点$C$表示数$x$，所以分类讨论如下：若$x\geqslant0$，则$|x-1|=3$，解得$x=4$($x=-2$不合题意，舍去)；若$x＜0$，则$|-x-1|=3$，解得$x=-4$($x=2$不合题意，舍去). 综上所述，$x$的值为4或$-4$.
(2)若$1≤x≤2,|AOC|= |BOC|$,求x的值;
因为$1\leqslant x\leqslant2$，所以$|AOC|=|x-1|=x-1$，$|BOC|=|x-2|=2-x$. 因为$|AOC|=|BOC|$，所以$x-1=2-x$，解得$x=\frac{3}{2}$.
(3)若C是数轴上位于原点O右侧的一个动点,$|AOC|+|BOC|= 2$,求x的值.
因为$C$是数轴上位于原点$O$右侧的一个动点，所以$x＞0$，所以$|AOC|=|x-1|$，$|BOC|=|x-2|$. 因为$|AOC|+|BOC|=2$，所以$|x-1|+|x-2|=2$. 分类讨论如下：当$0＜x＜1$时，原方程可化为$1-x+2-x=2$，解得$x=\frac{1}{2}$；当$1\leqslant x\leqslant2$时，原方程可化为$x-1+2-x=2$，该方程无解；当$x＞2$时，原方程可化为$x-1+x-2=2$，解得$x=\frac{5}{2}$. 综上所述，$x$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$.
答案：（1）①1
②因为$|AOC|=3|AOB|$，$|AOB|=1$，所以$|AOC|=3$. 因为点$C$表示数$x$，所以分类讨论如下：若$x\geqslant0$，则$|x-1|=3$，解得$x=4$($x=-2$不合题意，舍去)；若$x＜0$，则$|-x-1|=3$，解得$x=-4$($x=2$不合题意，舍去). 综上所述，$x$的值为4或$-4$.
（2）因为$1\leqslant x\leqslant2$，所以$|AOC|=|x-1|=x-1$，$|BOC|=|x-2|=2-x$. 因为$|AOC|=|BOC|$，所以$x-1=2-x$，解得$x=\frac{3}{2}$.
（3）因为$C$是数轴上位于原点$O$右侧的一个动点，所以$x＞0$，所以$|AOC|=|x-1|$，$|BOC|=|x-2|$. 因为$|AOC|+|BOC|=2$，所以$|x-1|+|x-2|=2$. 分类讨论如下：当$0＜x＜1$时，原方程可化为$1-x+2-x=2$，解得$x=\frac{1}{2}$；当$1\leqslant x\leqslant2$时，原方程可化为$x-1+2-x=2$，该方程无解；当$x＞2$时，原方程可化为$x-1+x-2=2$，解得$x=\frac{5}{2}$. 综上所述，$x$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$.
②因为$|AOC|=3|AOB|$，$|AOB|=1$，所以$|AOC|=3$. 因为点$C$表示数$x$，所以分类讨论如下：若$x\geqslant0$，则$|x-1|=3$，解得$x=4$($x=-2$不合题意，舍去)；若$x＜0$，则$|-x-1|=3$，解得$x=-4$($x=2$不合题意，舍去). 综上所述，$x$的值为4或$-4$.
（2）因为$1\leqslant x\leqslant2$，所以$|AOC|=|x-1|=x-1$，$|BOC|=|x-2|=2-x$. 因为$|AOC|=|BOC|$，所以$x-1=2-x$，解得$x=\frac{3}{2}$.
（3）因为$C$是数轴上位于原点$O$右侧的一个动点，所以$x＞0$，所以$|AOC|=|x-1|$，$|BOC|=|x-2|$. 因为$|AOC|+|BOC|=2$，所以$|x-1|+|x-2|=2$. 分类讨论如下：当$0＜x＜1$时，原方程可化为$1-x+2-x=2$，解得$x=\frac{1}{2}$；当$1\leqslant x\leqslant2$时，原方程可化为$x-1+2-x=2$，该方程无解；当$x＞2$时，原方程可化为$x-1+x-2=2$，解得$x=\frac{5}{2}$. 综上所述，$x$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$.