1.(3分)上分点一 在方程$3x - y = 2$,$x + 1 = 0$,$\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$,$x^{2} - 2x - 3 = 0$,$\frac{1}{x} = 2$中,一元一次方程的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
解析：
$3x - y = 2$含有两个未知数，不是一元一次方程；
$x + 1 = 0$是一元一次方程；
$\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$是一元一次方程；
$x^2 - 2x - 3 = 0$未知数最高次数是2，不是一元一次方程；
$\frac{1}{x} = 2$不是整式方程，不是一元一次方程；
一元一次方程有2个。
B
$x + 1 = 0$是一元一次方程；
$\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$是一元一次方程；
$x^2 - 2x - 3 = 0$未知数最高次数是2，不是一元一次方程；
$\frac{1}{x} = 2$不是整式方程，不是一元一次方程；
一元一次方程有2个。
B
2.(2023·湖南永州·3分)若关于$x的一元一次方程2x + m = 5的解为x = 1$,则$m$的值为(
A.3
B.$-3$
C.7
D.$-7$
A
)A.3
B.$-3$
C.7
D.$-7$
答案：A
解析：
将$x = 1$代入方程$2x + m = 5$，得$2×1 + m = 5$，解得$m = 3$。
A
A
3.(4分)规定:$(a,b)表示a$,$b$两个数中较小的一个,$[a,b]表示a$,$b$两个数中较大的一个.例如:$(2,1) = 1$,$[2,1] = 2$,则$(-2,3) + [-\frac{2}{3},-\frac{3}{4}] = $
$-\frac{8}{3}$
；若$(m,m - 2) + 3[-m,-m - 1] = -5$,则$m$的值为$\frac{3}{2}$
.答案：$-\frac{8}{3}$ $\frac{3}{2}$
解析：
$(-2,3) + [-\frac{2}{3},-\frac{3}{4}] = -2 + (-\frac{2}{3}) = -\frac{8}{3}$
当$m ＜ m - 2$时，不等式无解。
当$m \geq m - 2$时，$(m,m - 2) = m - 2$
若$-m \geq -m - 1$，则$[-m,-m - 1] = -m$
$(m - 2) + 3(-m) = -5$
$m - 2 - 3m = -5$
$-2m = -3$
$m = \frac{3}{2}$
若$-m ＜ -m - 1$，不等式无解。
综上，$m = \frac{3}{2}$
$-\frac{8}{3}$；$\frac{3}{2}$
当$m ＜ m - 2$时，不等式无解。
当$m \geq m - 2$时，$(m,m - 2) = m - 2$
若$-m \geq -m - 1$，则$[-m,-m - 1] = -m$
$(m - 2) + 3(-m) = -5$
$m - 2 - 3m = -5$
$-2m = -3$
$m = \frac{3}{2}$
若$-m ＜ -m - 1$，不等式无解。
综上，$m = \frac{3}{2}$
$-\frac{8}{3}$；$\frac{3}{2}$
4.(9分)新素养 运算能力 解下列方程:
(1)$-3x = 2$；
(2)$5x + 3 = 6$；
(3)$\frac{1}{3}x + 2 = -1$.
(1)$-3x = 2$；
(2)$5x + 3 = 6$；
(3)$\frac{1}{3}x + 2 = -1$.
答案：(1) $x=-\frac{2}{3}$. (2) $x=\frac{3}{5}$. (3) $x=-9$.
解析：
(1)方程两边同时除以$-3$，得$x=-\dfrac{2}{3}$；
(2)移项，得$5x=6-3$，合并同类项，得$5x=3$，方程两边同时除以$5$，得$x=\dfrac{3}{5}$；
(3)移项，得$\dfrac{1}{3}x=-1-2$，合并同类项，得$\dfrac{1}{3}x=-3$，方程两边同时乘以$3$，得$x=-9$.
(2)移项，得$5x=6-3$，合并同类项，得$5x=3$，方程两边同时除以$5$，得$x=\dfrac{3}{5}$；
(3)移项，得$\dfrac{1}{3}x=-1-2$，合并同类项，得$\dfrac{1}{3}x=-3$，方程两边同时乘以$3$，得$x=-9$.
5.(3分)上分点二 下列选项中,移项正确的是(
A.若$x - 4 = 8$,则$x = 8 - 4$
B.若$3s = 2s + 5$,则$-3s - 2s = 5$
C.若$5w - 2 = 4w + 1$,则$5w - 4w = 1 + 2$
D.若$8 + x = 2x$,则$8 - 2x = 2x - x$
C
)A.若$x - 4 = 8$,则$x = 8 - 4$
B.若$3s = 2s + 5$,则$-3s - 2s = 5$
C.若$5w - 2 = 4w + 1$,则$5w - 4w = 1 + 2$
D.若$8 + x = 2x$,则$8 - 2x = 2x - x$
答案：C
6.(3分)已知$|n + 2| + (5m - 3)^{2} = 0$,则关于$x的方程10mx + 4 = 3x + n的解是x = $
-2
.答案：-2
解析：
因为$|n + 2| + (5m - 3)^{2} = 0$，$|n + 2| \geq 0$，$(5m - 3)^{2} \geq 0$，所以$n + 2 = 0$，$5m - 3 = 0$，解得$n = -2$，$m = \frac{3}{5}$。将$m = \frac{3}{5}$，$n = -2$代入方程$10mx + 4 = 3x + n$，得$10×\frac{3}{5}x + 4 = 3x - 2$，即$6x + 4 = 3x - 2$，移项得$6x - 3x = -2 - 4$，$3x = -6$，解得$x = -2$。
7.(2025·江苏常州期末·3分)已知$ax^{2} + bx + c是关于x$的二次多项式,记为$P(x)$.规定:$P(x)的导数多项式为2ax + b$,记为$Q(x)$.例如:若$P(x) = -3x^{2} + 4x + 7$,则$Q(x) = -6x + 4$.若$P(x) = (\frac{1}{2}m + 3)x^{2} - 8x + 9是关于x$的二次多项式,且关于$x的方程Q(x) = -2x$的解为正整数,则整数$m$的值为______
-7或-4或0
.答案：-7或-4或0
解析：
因为$P(x)=(\frac{1}{2}m + 3)x^{2}-8x + 9$是关于$x$的二次多项式，所以$\frac{1}{2}m+3\neq0$，即$m\neq -6$。
$P(x)$的导数多项式$Q(x)=2(\frac{1}{2}m + 3)x-8=(m + 6)x-8$。
方程$Q(x)=-2x$可化为$(m + 6)x-8=-2x$，移项得$(m + 6)x + 2x=8$，即$(m + 8)x=8$，解得$x=\frac{8}{m + 8}$。
因为方程的解为正整数，所以$\frac{8}{m + 8}$是正整数，$m + 8$是$8$的正因数。
$8$的正因数为$1,2,4,8$，则：
当$m + 8=1$时，$m=-7$；
当$m + 8=2$时，$m=-6$（舍去，因为$m\neq -6$）；
当$m + 8=4$时，$m=-4$；
当$m + 8=8$时，$m=0$。
综上，整数$m$的值为$-7$或$-4$或$0$。
$-7$或$-4$或$0$
$P(x)$的导数多项式$Q(x)=2(\frac{1}{2}m + 3)x-8=(m + 6)x-8$。
方程$Q(x)=-2x$可化为$(m + 6)x-8=-2x$，移项得$(m + 6)x + 2x=8$，即$(m + 8)x=8$，解得$x=\frac{8}{m + 8}$。
因为方程的解为正整数，所以$\frac{8}{m + 8}$是正整数，$m + 8$是$8$的正因数。
$8$的正因数为$1,2,4,8$，则：
当$m + 8=1$时，$m=-7$；
当$m + 8=2$时，$m=-6$（舍去，因为$m\neq -6$）；
当$m + 8=4$时，$m=-4$；
当$m + 8=8$时，$m=0$。
综上，整数$m$的值为$-7$或$-4$或$0$。
$-7$或$-4$或$0$