8. (3分)鸡兔同笼问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?”下面是嘉淇的解题过程,需要补足横线上符号所代表的内容,则下列判断不正确的是 (
解:设鸡有x只,那么兔子有$□$只.
因为$☆$+兔的足数= 94,
所以可列方程为$◯ \cdot x+\triangle \cdot (35-x)= 94$,
解得x= 23,则35-x= 12.
答:鸡有23只,兔子有12只.
A.$□$代表(35-x)
B.$☆$代表表鸡的足数
C.$◯$代表2
D.$\triangle$代表2
D
)解:设鸡有x只,那么兔子有$□$只.
因为$☆$+兔的足数= 94,
所以可列方程为$◯ \cdot x+\triangle \cdot (35-x)= 94$,
解得x= 23,则35-x= 12.
答:鸡有23只,兔子有12只.
A.$□$代表(35-x)
B.$☆$代表表鸡的足数
C.$◯$代表2
D.$\triangle$代表2
答案：D
9. (2025·江苏泰州期末·3分)轮船沿江从A港顺流行驶到B港,比从B港返回A港少用3h.若船在静水中的速度为26km/h,水流速度为2km/h,则A港和B港相距
504
km.答案：504
解析：
设A港和B港相距$x$km。
顺流速度为$26 + 2 = 28$km/h，逆流速度为$26 - 2 = 24$km/h。
根据时间关系可列方程：$\frac{x}{24} - \frac{x}{28} = 3$
通分得到：$\frac{7x}{168} - \frac{6x}{168} = 3$
化简得：$\frac{x}{168} = 3$
解得：$x = 504$
504
顺流速度为$26 + 2 = 28$km/h，逆流速度为$26 - 2 = 24$km/h。
根据时间关系可列方程：$\frac{x}{24} - \frac{x}{28} = 3$
通分得到：$\frac{7x}{168} - \frac{6x}{168} = 3$
化简得：$\frac{x}{168} = 3$
解得：$x = 504$
504
10. (3分)一个蓄水池有两个排水管A,B和一个注水管C,单独开A管3h可以排完一池水,单独开B管6h可以排完一池水,单独开C管5h可以注满一池水,现在蓄水池为满水状态.若A,B两管先开$\frac {3}{2}$h后再开C管,则开C管
$\frac{5}{6}$
h后可以排完池中的水.答案：$\frac{5}{6}$
解析：
设开C管$x$h后可以排完池中的水。
A管的排水效率为$\frac{1}{3}$（池/h），B管的排水效率为$\frac{1}{6}$（池/h），C管的注水效率为$\frac{1}{5}$（池/h）。
A、B两管先开$\frac{3}{2}$h的排水量为$(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) × \frac{3}{2}$。
之后A、B、C三管同时开$x$h，此时的净排水量为$(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{5})x$。
根据满池水排完，可列方程：$(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) × \frac{3}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{5})x = 1$
计算$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$，则$\frac{1}{2} × \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$。
$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$。
方程化为：$\frac{3}{4} + \frac{3}{10}x = 1$
$\frac{3}{10}x = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$x = \frac{1}{4} ÷ \frac{3}{10} = \frac{1}{4} × \frac{10}{3} = \frac{5}{6}$
$\frac{5}{6}$
A管的排水效率为$\frac{1}{3}$（池/h），B管的排水效率为$\frac{1}{6}$（池/h），C管的注水效率为$\frac{1}{5}$（池/h）。
A、B两管先开$\frac{3}{2}$h的排水量为$(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) × \frac{3}{2}$。
之后A、B、C三管同时开$x$h，此时的净排水量为$(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{5})x$。
根据满池水排完，可列方程：$(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) × \frac{3}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{5})x = 1$
计算$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$，则$\frac{1}{2} × \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$。
$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$。
方程化为：$\frac{3}{4} + \frac{3}{10}x = 1$
$\frac{3}{10}x = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$x = \frac{1}{4} ÷ \frac{3}{10} = \frac{1}{4} × \frac{10}{3} = \frac{5}{6}$
$\frac{5}{6}$
11. (6分)上分点二 甲、乙两人完成一项工作,甲先做3天,然后乙加入合做,完成剩下的工作.设工作总量为1,工作进度如下表,求完成这项工作需要的时间.
|时间|第3天|第5天|
|工作进度|$\frac {1}{4}$|$\frac {1}{2}$|
|时间|第3天|第5天|
|工作进度|$\frac {1}{4}$|$\frac {1}{2}$|
答案：由题意可知,甲的工作效率为 $\frac{1}{4}÷3=\frac{1}{12}$,所以乙的工作效率为 $(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})÷(5-3)-\frac{1}{12}=\frac{1}{24}$. 设完成这项工作需要的时间为 x 天. 由题意,得 $\frac{x}{12}+\frac{x-3}{24}=1$,解得 x=9. 故完成这项工作需要的时间为 9 天.
解析：
甲的工作效率为 $\frac{1}{4} ÷ 3 = \frac{1}{12}$。
第3天到第5天共$5 - 3 = 2$天，两人合作完成的工作量为 $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$，则两人合作的工作效率为 $\frac{1}{4} ÷ 2 = \frac{1}{8}$，所以乙的工作效率为 $\frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{1}{24}$。
设完成这项工作需要的时间为 $x$ 天。甲工作了 $x$ 天，乙工作了 $(x - 3)$ 天，由题意得：
$\frac{x}{12} + \frac{x - 3}{24} = 1$
解得 $x = 9$
故完成这项工作需要的时间为 $9$ 天。
第3天到第5天共$5 - 3 = 2$天，两人合作完成的工作量为 $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$，则两人合作的工作效率为 $\frac{1}{4} ÷ 2 = \frac{1}{8}$，所以乙的工作效率为 $\frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{1}{24}$。
设完成这项工作需要的时间为 $x$ 天。甲工作了 $x$ 天，乙工作了 $(x - 3)$ 天，由题意得：
$\frac{x}{12} + \frac{x - 3}{24} = 1$
解得 $x = 9$
故完成这项工作需要的时间为 $9$ 天。
12. (3分)上分点三 新素养 推理能力 如图,用形状、大小相同的菱形组成一组有规律的图案,其中第1个图案中有4个菱形,第2个图案中有7个菱形,第3个图案中有10个菱形,…,按此规律排下去,若相邻的两个图案中共有菱形12149个,则这两个图案分别是 (
A.第2022个,第2023个
B.第2023个,第2024个
C.第2024个,第2025个
D.第2025个,第2026个
C
)A.第2022个,第2023个
B.第2023个,第2024个
C.第2024个,第2025个
D.第2025个,第2026个
答案：C
解析：
设第$n$个图案中有$a_n$个菱形。
观察规律：
第1个图案：$a_1 = 4 = 3×1 + 1$
第2个图案：$a_2 = 7 = 3×2 + 1$
第3个图案：$a_3 = 10 = 3×3 + 1$
...
故第$n$个图案中菱形个数为$a_n = 3n + 1$。
相邻两个图案菱形总数为：
$a_n + a_{n+1} = (3n + 1) + [3(n + 1) + 1] = 6n + 5$
依题意得：$6n + 5 = 12149$
解得：$6n = 12144$，$n = 2024$
则这两个图案分别是第2024个和第2025个。
C
观察规律：
第1个图案：$a_1 = 4 = 3×1 + 1$
第2个图案：$a_2 = 7 = 3×2 + 1$
第3个图案：$a_3 = 10 = 3×3 + 1$
...
故第$n$个图案中菱形个数为$a_n = 3n + 1$。
相邻两个图案菱形总数为：
$a_n + a_{n+1} = (3n + 1) + [3(n + 1) + 1] = 6n + 5$
依题意得：$6n + 5 = 12149$
解得：$6n = 12144$，$n = 2024$
则这两个图案分别是第2024个和第2025个。
C
13. (3分)观察如图所示的一组图案,其中第1个图案中共有7个“·”,第2个图案中共有13个“·”,第3个图案中共有21个“·”,第4个图案中共有31个…“·”,,按此规律,若第(n+1)个图案比第n个图案中的“·”多4054个,则n= ____
2025
.答案：2025
解析：
设第$n$个图案中“·”的个数为$a_{n}$。
观察规律：
$a_{1}=7=1× 2 + 5$，
$a_{2}=13=2× 3 + 7$，
$a_{3}=21=3× 4 + 9$，
$a_{4}=31=4× 5 + 11$，
...
推测$a_{n}=n(n + 1)+(2n + 3)=n^{2}+3n + 3$。
验证：当$n=1$时，$1 + 3 + 3=7$；$n=2$时，$4 + 6 + 3=13$；$n=3$时，$9 + 9 + 3=21$；$n=4$时，$16 + 12 + 3=31$，均符合。
则$a_{n+1}-a_{n}=[(n + 1)^{2}+3(n + 1)+3]-(n^{2}+3n + 3)=2n + 4$。
由题意$2n + 4=4054$，解得$n=2025$。
2025
观察规律：
$a_{1}=7=1× 2 + 5$，
$a_{2}=13=2× 3 + 7$，
$a_{3}=21=3× 4 + 9$，
$a_{4}=31=4× 5 + 11$，
...
推测$a_{n}=n(n + 1)+(2n + 3)=n^{2}+3n + 3$。
验证：当$n=1$时，$1 + 3 + 3=7$；$n=2$时，$4 + 6 + 3=13$；$n=3$时，$9 + 9 + 3=21$；$n=4$时，$16 + 12 + 3=31$，均符合。
则$a_{n+1}-a_{n}=[(n + 1)^{2}+3(n + 1)+3]-(n^{2}+3n + 3)=2n + 4$。
由题意$2n + 4=4054$，解得$n=2025$。
2025