6.(6分)如图,直线EF分别与直线AB,CD相交于点P和点Q,PG平分$∠BPQ$交CD于点G,QH平分$∠CQP$交AB于H,且$∠1= ∠2$.写出图中哪些直线互相平行,并说明理由.
答案：QH//PG，AB//CD. 理由如下：因为 PG 平分∠BPQ，QH 平分∠CQP，所以∠GPQ=∠1=1/2∠BPQ，∠HQP=∠2=1/2∠CQP. 因为∠1=∠2，所以∠GPQ=∠HQP，∠BPQ=∠CQP，所以 QH//PG，AB//CD.
7.(2025·江苏常州期末·3分)新素养 推理能力 如图,已知射线OP//AE,$∠A= α$,依次作出$∠AOP$的平分线OB,$∠BOP的平分线OB_{1},∠B_{1}OP的平分线OB_{2},...,∠B_{2024}OP的平分线OB_{2025}$,其中点$B,B_{1},B_{2},...,B_{2025}$都在射线AE上,则$∠AB_{2025}O$的度数为 (
A.$\frac {180^{\circ }-α}{2^{2024}}$
B.$\frac {180^{\circ }-α}{2^{2025}}$
C.$\frac {180^{\circ }-α}{2^{2026}}$
D.$\frac {180^{\circ }-α}{2}$
C
)A.$\frac {180^{\circ }-α}{2^{2024}}$
B.$\frac {180^{\circ }-α}{2^{2025}}$
C.$\frac {180^{\circ }-α}{2^{2026}}$
D.$\frac {180^{\circ }-α}{2}$
答案：C 解析：因为 OP//AE，所以∠A+∠AOP=180°，∠ABO=∠BOP. 因为∠A=α，所以∠AOP=180°-α. 因为 OB 平分∠AOP，所以∠AOB=∠BOP=1/2∠AOP=1/2(180°-α)，所以∠ABO=∠BOP=1/2(180°-α). 同理，得∠AB₁O=∠B₁OP=1/2∠BOP=1/2²(180°-α)，∠AB₂O=1/2³(180°-α)，…，则∠AB₂₀₂₅O=(180°-α)/2²⁰²⁶.
8.(3分)如图,已知直线$l_{1}// l_{2},∠α= ∠β$.若$∠1= 40^{\circ }$,则$∠2= $
140°
.答案：140°
解析：
延长∠α的一边交$l_{2}$于一点，设∠α的对顶角为∠3，∠β的对顶角为∠4。
∵$l_{1}//l_{2}$，
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）。
∵∠α=∠β，∠3=∠α，∠4=∠β（对顶角相等），
∴∠3=∠4。
∴∠3的一边与∠4的一边平行（内错角相等，两直线平行）。
∴∠2+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠1=40°，
∴∠2=180° - 40°=140°。
140°
∵$l_{1}//l_{2}$，
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）。
∵∠α=∠β，∠3=∠α，∠4=∠β（对顶角相等），
∴∠3=∠4。
∴∠3的一边与∠4的一边平行（内错角相等，两直线平行）。
∴∠2+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠1=40°，
∴∠2=180° - 40°=140°。
140°
9.(3分)上分点三 若两个角的两边分别平行,且一个角比另一个角的3倍少$60^{\circ }$,则这两个角的度数分别为
30°，30°或 120°，60°
.答案：30°，30°或 120°，60°
解析：
设其中一个角为$x^{\circ}$，则另一个角为$(3x - 60)^{\circ}$。
因为两个角的两边分别平行，所以这两个角相等或互补。
情况一：两角相等
$x = 3x - 60$
$2x = 60$
$x = 30$
则另一个角为$3×30 - 60 = 30^{\circ}$
情况二：两角互补
$x + (3x - 60) = 180$
$4x - 60 = 180$
$4x = 240$
$x = 60$
则另一个角为$3×60 - 60 = 120^{\circ}$
这两个角的度数分别为$30^{\circ}$，$30^{\circ}$或$120^{\circ}$，$60^{\circ}$
因为两个角的两边分别平行，所以这两个角相等或互补。
情况一：两角相等
$x = 3x - 60$
$2x = 60$
$x = 30$
则另一个角为$3×30 - 60 = 30^{\circ}$
情况二：两角互补
$x + (3x - 60) = 180$
$4x - 60 = 180$
$4x = 240$
$x = 60$
则另一个角为$3×60 - 60 = 120^{\circ}$
这两个角的度数分别为$30^{\circ}$，$30^{\circ}$或$120^{\circ}$，$60^{\circ}$
10.(3分)上分点四 给出下列说法:① 各边相等的三角形是正三角形;② 各角相等的多边形是正多边形;③ 各边相等的多边形是正多边形;④ 正多边形的边都相等;⑤ 正多边形的内角都相等;⑥ 正多边形的对角线都相等;⑦ 正多边形的外角都相等.其中错误的个数是 (
A.2
B.3
C.4
D.5
B
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案：B
解析：
①正确；②错误（矩形各角相等但不是正多边形）；③错误（菱形各边相等但不是正多边形）；④正确；⑤正确；⑥错误（正五边形对角线不都相等）；⑦正确。错误的是②③⑥，共3个。
B
B
11.(3分)如图所示为长方形ABCD,一条直线将该长方形分割成两个多边形.若这两个多边形的边数分别为a和b,则$a+b$的值不可能是 (
A.6
B.7
C.8
D.9
D
)A.6
B.7
C.8
D.9
答案：D
12.(4分)若过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,k边形一共有k条对角线,则代数式$m\cdot (-k)^{n}$的值为 (
A.1 250
B.-1 250
C.1 000
D.-1 000
B
)A.1 250
B.-1 250
C.1 000
D.-1 000
答案：B
解析：
过$m$边形的一个顶点的对角线条数为$m - 3$，由题意得$m - 3 = 7$，解得$m = 10$。
$n$边形没有对角线，三角形没有对角线，故$n = 3$。
$k$边形的对角线条数公式为$\frac{k(k - 3)}{2}$，由题意得$\frac{k(k - 3)}{2}=k$，解得$k = 5$（$k = 0$舍去）。
则$m\cdot (-k)^{n}=10× (-5)^{3}=10× (-125)=-1250$。
B
$n$边形没有对角线，三角形没有对角线，故$n = 3$。
$k$边形的对角线条数公式为$\frac{k(k - 3)}{2}$，由题意得$\frac{k(k - 3)}{2}=k$，解得$k = 5$（$k = 0$舍去）。
则$m\cdot (-k)^{n}=10× (-5)^{3}=10× (-125)=-1250$。
B