10. (3分)新素养抽象能力若两个方程的解相差$1$,则称解较大的方程是另一个方程的“后移方程”,例如:方程$x-2= 0是方程x-1= 0$的“后移方程”.若关于$x的方程3x+m+n= 0是方程3x+m= 0$的“后移方程”,则$n$的值为
-3
.答案：-3
解析：
解方程$3x + m = 0$，得$x = -\dfrac{m}{3}$。
解方程$3x + m + n = 0$，得$x = -\dfrac{m + n}{3}$。
因为方程$3x + m + n = 0$是方程$3x + m = 0$的“后移方程”，所以$-\dfrac{m + n}{3}-\left(-\dfrac{m}{3}\right)=1$。
化简得$-\dfrac{m + n}{3}+\dfrac{m}{3}=1$，即$-\dfrac{n}{3}=1$，解得$n=-3$。
$-3$
解方程$3x + m + n = 0$，得$x = -\dfrac{m + n}{3}$。
因为方程$3x + m + n = 0$是方程$3x + m = 0$的“后移方程”，所以$-\dfrac{m + n}{3}-\left(-\dfrac{m}{3}\right)=1$。
化简得$-\dfrac{m + n}{3}+\dfrac{m}{3}=1$，即$-\dfrac{n}{3}=1$，解得$n=-3$。
$-3$
11. (3分)亮点原创已知在数轴上表示数$a的点与原点相距2$个单位长度,$b$为绝对值最小的数.若$a$,$c$互为倒数,且$\frac {a+d}{2}= c$,则$(2a+3b)^{4}+(c-5b)^{3}-(7b-2d)^{2}= $
$252\frac{1}{8}$或$251\frac{7}{8}$
.答案：$252\frac{1}{8}$或$251\frac{7}{8}$
解析：
因为在数轴上表示数$a$的点与原点相距$2$个单位长度，所以$|a| = 2$，即$a = 2$或$a=-2$。
因为$b$为绝对值最小的数，所以$b = 0$。
因为$a$，$c$互为倒数，所以当$a = 2$时，$c=\frac{1}{2}$；当$a=-2$时，$c=-\frac{1}{2}$。
因为$\frac{a + d}{2}=c$，所以$d=2c - a$。
当$a = 2$，$c=\frac{1}{2}$时，$d=2×\frac{1}{2}-2=1 - 2=-1$。
$(2a + 3b)^{4}+(c - 5b)^{3}-(7b - 2d)^{2}$
$=(2×2 + 3×0)^{4}+(\frac{1}{2}-5×0)^{3}-(7×0 - 2×(-1))^{2}$
$=4^{4}+(\frac{1}{2})^{3}-2^{2}$
$=256+\frac{1}{8}-4$
$=252+\frac{1}{8}$
$=252\frac{1}{8}$
当$a=-2$，$c=-\frac{1}{2}$时，$d=2×(-\frac{1}{2})-(-2)=-1 + 2=1$。
$(2a + 3b)^{4}+(c - 5b)^{3}-(7b - 2d)^{2}$
$=(2×(-2)+3×0)^{4}+(-\frac{1}{2}-5×0)^{3}-(7×0 - 2×1)^{2}$
$=(-4)^{4}+(-\frac{1}{2})^{3}-(-2)^{2}$
$=256-\frac{1}{8}-4$
$=252-\frac{1}{8}$
$=251\frac{7}{8}$
$252\frac{1}{8}$或$251\frac{7}{8}$
因为$b$为绝对值最小的数，所以$b = 0$。
因为$a$，$c$互为倒数，所以当$a = 2$时，$c=\frac{1}{2}$；当$a=-2$时，$c=-\frac{1}{2}$。
因为$\frac{a + d}{2}=c$，所以$d=2c - a$。
当$a = 2$，$c=\frac{1}{2}$时，$d=2×\frac{1}{2}-2=1 - 2=-1$。
$(2a + 3b)^{4}+(c - 5b)^{3}-(7b - 2d)^{2}$
$=(2×2 + 3×0)^{4}+(\frac{1}{2}-5×0)^{3}-(7×0 - 2×(-1))^{2}$
$=4^{4}+(\frac{1}{2})^{3}-2^{2}$
$=256+\frac{1}{8}-4$
$=252+\frac{1}{8}$
$=252\frac{1}{8}$
当$a=-2$，$c=-\frac{1}{2}$时，$d=2×(-\frac{1}{2})-(-2)=-1 + 2=1$。
$(2a + 3b)^{4}+(c - 5b)^{3}-(7b - 2d)^{2}$
$=(2×(-2)+3×0)^{4}+(-\frac{1}{2}-5×0)^{3}-(7×0 - 2×1)^{2}$
$=(-4)^{4}+(-\frac{1}{2})^{3}-(-2)^{2}$
$=256-\frac{1}{8}-4$
$=252-\frac{1}{8}$
$=251\frac{7}{8}$
$252\frac{1}{8}$或$251\frac{7}{8}$
12. (3分)如图,数轴上有一个点从原点出发,沿数轴的正方向或负方向跳动,每次跳$1$个单位长度.若经过$5次跳动该点落在表示数3$的点上,则该点的不同运动方案共有
5
种.答案：5 解析:由题意,得向正方向跳1次,结果都是“+1”,向负方向跳1次,结果都是“-1”.不妨设向正方向跳了n次,则向负方向跳了(5-n)次,所以$n-(5-n)=3$,解得n=4,所以向正方向跳了4次,向负方向跳了1次,所以在5次跳动中,任意向负方向跳1次即可,所以共有5种不同的运动方案.
解析：
设向正方向跳了$n$次，则向负方向跳了$(5 - n)$次。由题意得：$n-(5 - n)=3$，解得$n = 4$。即向正方向跳4次，负方向跳1次。在5次跳动中，负方向跳1次的情况有5种，故不同运动方案共有5种。
5
5
13. (3分)新素养几何直观如图,正方形$ABCD的边长为4$,甲、乙两动点分别从$A$,$C$两点同时出发沿正方形的边开始运动,甲按顺时针方向环行,乙按逆时针方向环行.若乙的速度是甲的速度的$3$倍,则它们第$2025$次相遇是在边
AD
上.答案：AD 解析:因为乙的速度是甲的速度的3倍,所以相同时间内甲、乙所行的路程比为1:3.因为正方形ABCD的边长为4,所以甲、乙两点第1次相遇所行的路程和为$4×2=8$,所以甲行的路程为$8×\frac{1}{1+3}=2$,乙行的路程为$8×\frac{3}{1+3}=6$,所以甲、乙两点第1次相遇是在边AD的中点处.同理可得第2次相遇是在边CD的中点处,第3次相遇是在边BC的中点处,第4次相遇是在边AB的中点处,第5次相遇是在边AD的中点处,…,因为$2025÷4=506\cdots\cdots1$,所以第2025次相遇是在边AD的中点处,即在边AD上.
解析：
因为乙的速度是甲的速度的3倍，所以相同时间内甲、乙所行的路程比为1:3。正方形ABCD的边长为4，甲、乙第1次相遇所行路程和为$4×2=8$，甲行路程为$8×\frac{1}{1+3}=2$，乙行路程为$8×\frac{3}{1+3}=6$，第1次相遇在边AD上。第2次相遇路程和为$4×4=16$，甲行$16×\frac{1}{4}=4$，累计行$2+4=6$，在边CD上；第3次相遇甲累计行$6+4=10$，在边BC上；第4次相遇甲累计行$10+4=14$，在边AB上；第5次相遇甲累计行$14+4=18$，在边AD上，周期为4。$2025÷4=506\cdots\cdots1$，第2025次相遇在边AD上。
AD
AD
14. (2025·江苏泰州期末·3分)已知$a$,$b$,$c$,$d表示4$个不同的正整数.若$a+b^{2}+c^{3}+d^{4}= 90$,其中$d＞1$,则$a+2b+3c+4d$的最大值是____
81
.答案：81 解析:因为a,b,c,d表示4个不同的正整数,且$a+b^2+c^3+d^4=90$,其中$d＞1$,所以$d^4＜90$,则d=2或3.经计算,得当d取2,c取1,b取3,a取64时,$a+2b+3c+4d$取最大值,为$64+2×3+3×1+4×2=81$.
解析：
因为$a$，$b$，$c$，$d$是不同的正整数，$d＞1$，且$a + b^2 + c^3 + d^4 = 90$。
$d$为正整数且$d＞1$，$d^4 ＜ 90$，则$d=2$或$3$（$3^4=81$，$4^4=256＞90$）。
情况1：$d=3$，$d^4=81$，则$a + b^2 + c^3=90 - 81=9$。$c$为正整数，$c^3 ＜ 9$，$c=1$或$2$（$2^3=8$，$3^3=27＞9$）。
$c=2$，$c^3=8$，$a + b^2=1$，$a$，$b$为正整数，无解。
$c=1$，$c^3=1$，$a + b^2=8$，$b$为正整数且$b\neq1,3$，$b^2 ＜ 8$，$b=2$（$2^2=4$），则$a=4$。此时$a=4$，$b=2$，$c=1$，$d=3$，$a + 2b + 3c + 4d=4 + 4 + 3 + 12=23$。
情况2：$d=2$，$d^4=16$，则$a + b^2 + c^3=90 - 16=74$。$c$为正整数，$c^3 ＜ 74$，$c$最大取$4$（$4^3=64$，$5^3=125＞74$），且$c\neq2$。
$c=4$，$c^3=64$，$a + b^2=10$，$b$为正整数且$b\neq2,4$，$b^2 ＜ 10$，$b=1,3$（$1^2=1$，$3^2=9$）。
$b=3$，$b^2=9$，$a=1$，$a=1$，$b=3$，$c=4$，$d=2$，$a + 2b + 3c + 4d=1 + 6 + 12 + 8=27$。
$b=1$，$b^2=1$，$a=9$，$a=9$，$b=1$，$c=4$，$d=2$，$a + 2b + 3c + 4d=9 + 2 + 12 + 8=31$。
$c=3$，$c^3=27$，$a + b^2=74 - 27=47$，$b$为正整数且$b\neq2,3$，$b^2 ＜ 47$，$b$最大取$6$（$6^2=36$），$a=47 - 36=11$，$a + 2b + 3c + 4d=11 + 12 + 9 + 8=40$。
$c=1$，$c^3=1$，$a + b^2=73$，$b$为正整数且$b\neq1,2$，$b^2 ＜ 73$，$b$最大取$8$（$8^2=64$），$a=73 - 64=9$；$b=7$，$b^2=49$，$a=24$；$b=6$，$b^2=36$，$a=37$；$b=5$，$b^2=25$，$a=48$；$b=4$，$b^2=16$，$a=57$；$b=3$（$b\neq3$，舍去）；$b=8$时，$a + 2b + 3c + 4d=9 + 16 + 3 + 8=36$；$b=5$时，$a=48$，$a + 2b + 3c + 4d=48 + 10 + 3 + 8=69$；$b=4$时，$a=57$，$a + 2b + 3c + 4d=57 + 8 + 3 + 8=76$；$b=3$舍去；$b=7$时，$a=24$，$24 + 14 + 3 + 8=49$；$b=6$时，$37 + 12 + 3 + 8=60$；$b=5$时$69$，$b=4$时$76$，$b=8$时$36$，最大为$76$（$b=4$，$a=57$）。但$b=4$，$c=1$，$d=2$，$a=57$，均不同，此时值为$57 + 8 + 3 + 8=76$。
比较情况1和情况2，当$d=2$，$c=1$，$b=3$（$b=3$，$b^2=9$，$a=74 - 1 - 9=64$，$a=64$，$b=3$，$c=1$，$d=2$，均不同），$a + 2b + 3c + 4d=64 + 6 + 3 + 8=81$（此前$c=1$，$b=3$未考虑，$b=3$时$b^2=9$，$a=74 - 1 - 9=64$，成立）。
综上，最大值为$81$。
81
$d$为正整数且$d＞1$，$d^4 ＜ 90$，则$d=2$或$3$（$3^4=81$，$4^4=256＞90$）。
情况1：$d=3$，$d^4=81$，则$a + b^2 + c^3=90 - 81=9$。$c$为正整数，$c^3 ＜ 9$，$c=1$或$2$（$2^3=8$，$3^3=27＞9$）。
$c=2$，$c^3=8$，$a + b^2=1$，$a$，$b$为正整数，无解。
$c=1$，$c^3=1$，$a + b^2=8$，$b$为正整数且$b\neq1,3$，$b^2 ＜ 8$，$b=2$（$2^2=4$），则$a=4$。此时$a=4$，$b=2$，$c=1$，$d=3$，$a + 2b + 3c + 4d=4 + 4 + 3 + 12=23$。
情况2：$d=2$，$d^4=16$，则$a + b^2 + c^3=90 - 16=74$。$c$为正整数，$c^3 ＜ 74$，$c$最大取$4$（$4^3=64$，$5^3=125＞74$），且$c\neq2$。
$c=4$，$c^3=64$，$a + b^2=10$，$b$为正整数且$b\neq2,4$，$b^2 ＜ 10$，$b=1,3$（$1^2=1$，$3^2=9$）。
$b=3$，$b^2=9$，$a=1$，$a=1$，$b=3$，$c=4$，$d=2$，$a + 2b + 3c + 4d=1 + 6 + 12 + 8=27$。
$b=1$，$b^2=1$，$a=9$，$a=9$，$b=1$，$c=4$，$d=2$，$a + 2b + 3c + 4d=9 + 2 + 12 + 8=31$。
$c=3$，$c^3=27$，$a + b^2=74 - 27=47$，$b$为正整数且$b\neq2,3$，$b^2 ＜ 47$，$b$最大取$6$（$6^2=36$），$a=47 - 36=11$，$a + 2b + 3c + 4d=11 + 12 + 9 + 8=40$。
$c=1$，$c^3=1$，$a + b^2=73$，$b$为正整数且$b\neq1,2$，$b^2 ＜ 73$，$b$最大取$8$（$8^2=64$），$a=73 - 64=9$；$b=7$，$b^2=49$，$a=24$；$b=6$，$b^2=36$，$a=37$；$b=5$，$b^2=25$，$a=48$；$b=4$，$b^2=16$，$a=57$；$b=3$（$b\neq3$，舍去）；$b=8$时，$a + 2b + 3c + 4d=9 + 16 + 3 + 8=36$；$b=5$时，$a=48$，$a + 2b + 3c + 4d=48 + 10 + 3 + 8=69$；$b=4$时，$a=57$，$a + 2b + 3c + 4d=57 + 8 + 3 + 8=76$；$b=3$舍去；$b=7$时，$a=24$，$24 + 14 + 3 + 8=49$；$b=6$时，$37 + 12 + 3 + 8=60$；$b=5$时$69$，$b=4$时$76$，$b=8$时$36$，最大为$76$（$b=4$，$a=57$）。但$b=4$，$c=1$，$d=2$，$a=57$，均不同，此时值为$57 + 8 + 3 + 8=76$。
比较情况1和情况2，当$d=2$，$c=1$，$b=3$（$b=3$，$b^2=9$，$a=74 - 1 - 9=64$，$a=64$，$b=3$，$c=1$，$d=2$，均不同），$a + 2b + 3c + 4d=64 + 6 + 3 + 8=81$（此前$c=1$，$b=3$未考虑，$b=3$时$b^2=9$，$a=74 - 1 - 9=64$，成立）。
综上，最大值为$81$。
81
15. (4分)如图,把两个边长不等的正方形放置在周长为$m的长方形ABCD(AB\lt AD)$内,两个正方形的周长和为$n$,则这两个正方形重叠部分的周长为
$n-m$
.(用含$m$,$n$的代数式表示)答案：$n-m$ 解析:由题意,得重叠部分为长方形.设两个正方形的边长分别为a,b($a＜b$),重叠部分相邻两边的长分别为x,y($x＞y$),则$AB=a+b-x$,$AD=a+b-y$.因为两个正方形的周长和为n,所以$4a+4b=n$,即$4(a+b)=n$.因为长方形ABCD的周长为m,所以$2(AB+AD)=m$,所以$2(2a+2b-x-y)=m$,所以$2(x+y)=4(a+b)-m=n-m$.
解析：
设两个正方形的边长分别为$a$，$b$（$a ＜ b$），重叠部分相邻两边的长分别为$x$，$y$（$x ＞ y$）。
由题意得：$AB = a + b - x$，$AD = a + b - y$。
因为两个正方形的周长和为$n$，所以$4a + 4b = n$，即$4(a + b) = n$。
因为长方形$ABCD$的周长为$m$，所以$2(AB + AD) = m$，即$2[(a + b - x) + (a + b - y)] = m$，化简得$2(2a + 2b - x - y) = m$，进一步得$4(a + b) - 2(x + y) = m$。
将$4(a + b) = n$代入上式，得$n - 2(x + y) = m$，所以$2(x + y) = n - m$。
因为重叠部分的周长为$2(x + y)$，所以重叠部分的周长为$n - m$。
$n - m$
由题意得：$AB = a + b - x$，$AD = a + b - y$。
因为两个正方形的周长和为$n$，所以$4a + 4b = n$，即$4(a + b) = n$。
因为长方形$ABCD$的周长为$m$，所以$2(AB + AD) = m$，即$2[(a + b - x) + (a + b - y)] = m$，化简得$2(2a + 2b - x - y) = m$，进一步得$4(a + b) - 2(x + y) = m$。
将$4(a + b) = n$代入上式，得$n - 2(x + y) = m$，所以$2(x + y) = n - m$。
因为重叠部分的周长为$2(x + y)$，所以重叠部分的周长为$n - m$。
$n - m$
16. (4分)有$n$个依次排列的整式,第$1个整式为9x^{2}$,第$2个整式为9x^{2}+6x+1$,第$2个整式减去第1个整式的差记为a_{1}$,将$a_{1}+2记为a_{2}$,将第$2个整式加上a_{2}作为第3$个整式,将$a_{2}+2记为a_{3}$,将第$3个整式加上a_{3}作为第4$个整式,依此类推.给出以下结论:
①$a_{3}= 6x+5$;
②当$x= 2$时,第$4个整式的值为81$;
③若第$3个整式与第2个整式的差为21$,则$x= 3$;
④第$2025个整式为9x^{2}+6×2024x+2024^{2}$.
其中正确的个数为____
①$a_{3}= 6x+5$;
②当$x= 2$时,第$4个整式的值为81$;
③若第$3个整式与第2个整式的差为21$,则$x= 3$;
④第$2025个整式为9x^{2}+6×2024x+2024^{2}$.
其中正确的个数为____
4
.答案：4 解析:由题意,得$a_1=9x^2+6x+1-9x^2=6x+1$,$a_2=6x+1+2=6x+3$,$a_3=6x+3+2=6x+5$,故①正确;同理可得$a_4=6x+7$,$a_5=6x+9$,$a_6=6x+11$,…,$a_n=6x+2n-1$.因为第2个整式加上$a_2$作为第3个整式,所以第3个整式为$9x^2+6x+1+6x+3=9x^2+12x+4=9x^2+6×2x+2^2$.因为第3个整式加上$a_3$作为第4个整式,所以第4个整式为$9x^2+12x+4+6x+5=9x^2+18x+9=9x^2+6×3x+3^2$.当x=2时,$9x^2+18x+9=81$,故②正确;因为第3个整式与第2个整式的差为21,所以$9x^2+12x+4-(9x^2+6x+1)=21$,解得x=3,故③正确;由题意,得第5个整式为$9x^2+18x+9+6x+7=9x^2+24x+16=9x^2+6×4x+4^2$,同理,得第2025个整式为$9x^2+6×2024x+2024^2$,故④正确.综上所述,其中正确结论的个数为4.
解析：
①由题意得，$a_1=(9x^2 + 6x + 1) - 9x^2 = 6x + 1$，$a_2 = a_1 + 2 = 6x + 1 + 2 = 6x + 3$，$a_3 = a_2 + 2 = 6x + 3 + 2 = 6x + 5$，故①正确；
②第3个整式为第2个整式加上$a_2$：$9x^2 + 6x + 1 + 6x + 3 = 9x^2 + 12x + 4$；第4个整式为第3个整式加上$a_3$：$9x^2 + 12x + 4 + 6x + 5 = 9x^2 + 18x + 9$。当$x = 2$时，$9x^2 + 18x + 9 = 9×2^2 + 18×2 + 9 = 36 + 36 + 9 = 81$，故②正确；
③第3个整式与第2个整式的差为$21$，即$(9x^2 + 12x + 4) - (9x^2 + 6x + 1) = 21$，化简得$6x + 3 = 21$，解得$x = 3$，故③正确；
④观察规律：第2个整式为$9x^2 + 6x + 1 = 9x^2 + 6×1x + 1^2$，第3个整式为$9x^2 + 12x + 4 = 9x^2 + 6×2x + 2^2$，第4个整式为$9x^2 + 18x + 9 = 9x^2 + 6×3x + 3^2$，……，第$n$个整式为$9x^2 + 6×(n - 1)x + (n - 1)^2$，则第2025个整式为$9x^2 + 6×2024x + 2024^2$，故④正确。
正确结论的个数为4。
②第3个整式为第2个整式加上$a_2$：$9x^2 + 6x + 1 + 6x + 3 = 9x^2 + 12x + 4$；第4个整式为第3个整式加上$a_3$：$9x^2 + 12x + 4 + 6x + 5 = 9x^2 + 18x + 9$。当$x = 2$时，$9x^2 + 18x + 9 = 9×2^2 + 18×2 + 9 = 36 + 36 + 9 = 81$，故②正确；
③第3个整式与第2个整式的差为$21$，即$(9x^2 + 12x + 4) - (9x^2 + 6x + 1) = 21$，化简得$6x + 3 = 21$，解得$x = 3$，故③正确；
④观察规律：第2个整式为$9x^2 + 6x + 1 = 9x^2 + 6×1x + 1^2$，第3个整式为$9x^2 + 12x + 4 = 9x^2 + 6×2x + 2^2$，第4个整式为$9x^2 + 18x + 9 = 9x^2 + 6×3x + 3^2$，……，第$n$个整式为$9x^2 + 6×(n - 1)x + (n - 1)^2$，则第2025个整式为$9x^2 + 6×2024x + 2024^2$，故④正确。
正确结论的个数为4。