1.(12分)【阅读理解】在解形如$2|x - 3| = 3|x - 3| - 2x + 9$这一类含有绝对值的方程时,为了去绝对值符号,我们发现两个绝对值符号里面是相同的“$x - 3$”,可以根据绝对值的意义先对“$x$”的取值分成$x < 3和x\geqslant 3$两种情况,再去绝对值符号:①当$x < 3$时,原方程可化为$2(3 - x) = 3(3 - x) - 2x + 9$,解得$x = 4$,不合题意,舍去;②当$x\geqslant 3$时,原方程可化为$2(x - 3) = 3(x - 3) - 2x + 9$,解得$x = 6$.综上所述,原方程的解为$x = 6$.
【方法应用】(1)解方程:$2|x - 5| = 2x + |5 - x|$;
【拓展应用】(2)解方程:$|2 - x| - 3|x + 1| = x - 9$.
【方法应用】(1)解方程:$2|x - 5| = 2x + |5 - x|$;
【拓展应用】(2)解方程:$|2 - x| - 3|x + 1| = x - 9$.
答案:(1)分类讨论如下:①当x<5时,原方程可化为2(5 - x)=2x+(5 - x),解得x = $\frac{5}{3}$;②当x≥5时,原方程可化为2(x - 5)=2x+(x - 5),解得x = -5,不合题意,舍去。综上所述,原方程的解为x = $\frac{5}{3}$。
(2)分类讨论如下:①当x<-1时,原方程可化为2 - x+3(x + 1)=x - 9,解得x = -14;②当-1≤x≤2时,原方程可化为2 - x - 3(x + 1)=x - 9,解得x = $\frac{8}{5}$;③当x>2时,原方程可化为x - 2 - 3(x + 1)=x - 9,解得x = $\frac{4}{3}$,不合题意,舍去。综上所述,原方程的解为x = -14或x = $\frac{8}{5}$。
(2)分类讨论如下:①当x<-1时,原方程可化为2 - x+3(x + 1)=x - 9,解得x = -14;②当-1≤x≤2时,原方程可化为2 - x - 3(x + 1)=x - 9,解得x = $\frac{8}{5}$;③当x>2时,原方程可化为x - 2 - 3(x + 1)=x - 9,解得x = $\frac{4}{3}$,不合题意,舍去。综上所述,原方程的解为x = -14或x = $\frac{8}{5}$。
2.(12分)新素养 抽象能力 对于有理数$x$,$y$,$a$,$t$,若$|x - a| + |y - a| = t$,则称$x和y关于a$的“美好关联数”为$t$.例如:$|2 - 1| + |3 - 1| = 3$,则$2和3关于1$的“美好关联数”为$3$.
(1)$- 3和5关于2$的“美好关联数”为
(2)若$x和2关于3$的“美好关联数”为$4$,求$x$的值;
(3)已知$x_{0}和x_{1}关于1$的“美好关联数”为$1$,$x_{1}和x_{2}关于2$的“美好关联数”为$1$,$x_{2}和x_{3}关于3$的“美好关联数”为$1$,…$$,$x_{40}和x_{41}关于41$的“美好关联数”为$1$,…$$.
①$x_{0} + x_{1}$的最小值为
②$x_{1} + x_{2} + x_{3} + … + x_{40}$的最小值为
(1)$- 3和5关于2$的“美好关联数”为
8
;(2)若$x和2关于3$的“美好关联数”为$4$,求$x$的值;
因为x和2关于3的“美好关联数”为4,所以|x - 3|+|2 - 3|=4,所以|x - 3|=3,解得x = 6或x = 0。
(3)已知$x_{0}和x_{1}关于1$的“美好关联数”为$1$,$x_{1}和x_{2}关于2$的“美好关联数”为$1$,$x_{2}和x_{3}关于3$的“美好关联数”为$1$,…$$,$x_{40}和x_{41}关于41$的“美好关联数”为$1$,…$$.
①$x_{0} + x_{1}$的最小值为
1
;②$x_{1} + x_{2} + x_{3} + … + x_{40}$的最小值为
820
.答案:(1)8
(2)因为x和2关于3的“美好关联数”为4,所以|x - 3|+|2 - 3|=4,所以|x - 3|=3,解得x = 6或x = 0。
(3)①1
②820 解析:由题意,得当$x_1 = 1,x_2 = 2,x_3 = 3,\cdots,x_{40}=40$时,$x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{40}$取最小值,且最小值为1+2+3+…+40 = 820。
(2)因为x和2关于3的“美好关联数”为4,所以|x - 3|+|2 - 3|=4,所以|x - 3|=3,解得x = 6或x = 0。
(3)①1
②820 解析:由题意,得当$x_1 = 1,x_2 = 2,x_3 = 3,\cdots,x_{40}=40$时,$x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{40}$取最小值,且最小值为1+2+3+…+40 = 820。