3.(2025·江苏盐城期末·13分)新素养 几何直观 如图,$O是直线AC$上一点,射线$OB$,$OD都不与射线OC$重合,$\angle AOB与\angle BOD$互为补角,$OE平分\angle AOB$.
(1)若$\angle AOB = 150^{\circ}$,则$\angle AOD = $____,$\angle DOE = $____;
(2)若$\angle DOE = 30^{\circ}$,求$\angle AOB$的度数;
(3)在$\angle BOE$,$\angle BOD$,$\angle DOE$这三个角中,当一个角的度数是另外一个角度数的$2$倍时,求$\angle AOB$的度数.
(1)若$\angle AOB = 150^{\circ}$,则$\angle AOD = $____,$\angle DOE = $____;
(2)若$\angle DOE = 30^{\circ}$,求$\angle AOB$的度数;
(3)在$\angle BOE$,$\angle BOD$,$\angle DOE$这三个角中,当一个角的度数是另外一个角度数的$2$倍时,求$\angle AOB$的度数.
答案：
（1）120° 45°
（2）设∠AOB = 2x°。因为∠AOB与∠BOD互为补角，所以∠BOD = 180° - ∠AOB=(180 - 2x)°。因为OE平分∠AOB，所以∠BOE = $\frac{1}{2}$∠AOB = x°。因为∠DOE = 30°，所以分类讨论如下：①如图①，当OE在∠BOD内部时，∠DOE = ∠BOD - ∠BOE=(180 - 3x)°，所以180 - 3x = 30，解得x = 50，所以∠AOB = 100°；②如图②，当OE在∠BOD外部时，∠DOE = ∠BOE - ∠BOD=(3x - 180)°，所以3x - 180 = 30，解得x = 70，所以∠AOB = 140°。
综上所述，∠AOB的度数为100°或140°。
（3）设∠AOB = 2y°，则同（2），得∠BOD=(180 - 2y)°，∠BOE = y°，所以∠DOE = |∠BOD - ∠BOE| = |180 - 3y|°。当∠BOE，∠BOD，∠DOE这三个角中有一个角的度数是另外一个角度数的2倍时，分类讨论如下：①若∠BOE = 2∠BOD，则y = 2(180 - 2y)，解得y = 72，则∠AOB = 144°；②若∠BOE = 2∠DOE，则y = 2|180 - 3y|，解得y = $\frac{360}{7}$或72，则∠AOB = $(\frac{720}{7})$°或144°；③若∠BOD = 2∠BOE，则180 - 2y = 2y，解得y = 45，则∠AOB = 90°；④若∠BOD = 2∠DOE，则180 - 2y = |360 - 6y|，解得y = 45或 $\frac{135}{2}$，则∠AOB = 90°或135°；⑤若∠DOE = 2∠BOD，则|180 - 3y| = 2(180 - 2y)，解得y = $\frac{540}{7}$，则∠AOB = $(\frac{1080}{7})$°；⑥若∠DOE = 2∠BOE，则|180 - 3y| = 2y，解得y = 36(y = 180不合题意，舍去)，则∠AOB = 72°。综上所述，∠AOB的度数为144°或 $(\frac{720}{7})$°或90°或135°或 $(\frac{1080}{7})$°或72°。
（1）120° 45°
（2）设∠AOB = 2x°。因为∠AOB与∠BOD互为补角，所以∠BOD = 180° - ∠AOB=(180 - 2x)°。因为OE平分∠AOB，所以∠BOE = $\frac{1}{2}$∠AOB = x°。因为∠DOE = 30°，所以分类讨论如下：①如图①，当OE在∠BOD内部时，∠DOE = ∠BOD - ∠BOE=(180 - 3x)°，所以180 - 3x = 30，解得x = 50，所以∠AOB = 100°；②如图②，当OE在∠BOD外部时，∠DOE = ∠BOE - ∠BOD=(3x - 180)°，所以3x - 180 = 30，解得x = 70，所以∠AOB = 140°。
综上所述，∠AOB的度数为100°或140°。
（3）设∠AOB = 2y°，则同（2），得∠BOD=(180 - 2y)°，∠BOE = y°，所以∠DOE = |∠BOD - ∠BOE| = |180 - 3y|°。当∠BOE，∠BOD，∠DOE这三个角中有一个角的度数是另外一个角度数的2倍时，分类讨论如下：①若∠BOE = 2∠BOD，则y = 2(180 - 2y)，解得y = 72，则∠AOB = 144°；②若∠BOE = 2∠DOE，则y = 2|180 - 3y|，解得y = $\frac{360}{7}$或72，则∠AOB = $(\frac{720}{7})$°或144°；③若∠BOD = 2∠BOE，则180 - 2y = 2y，解得y = 45，则∠AOB = 90°；④若∠BOD = 2∠DOE，则180 - 2y = |360 - 6y|，解得y = 45或 $\frac{135}{2}$，则∠AOB = 90°或135°；⑤若∠DOE = 2∠BOD，则|180 - 3y| = 2(180 - 2y)，解得y = $\frac{540}{7}$，则∠AOB = $(\frac{1080}{7})$°；⑥若∠DOE = 2∠BOE，则|180 - 3y| = 2y，解得y = 36(y = 180不合题意，舍去)，则∠AOB = 72°。综上所述，∠AOB的度数为144°或 $(\frac{720}{7})$°或90°或135°或 $(\frac{1080}{7})$°或72°。
4.(13分)新趋势 推导探究 如图①,将一副直角三角板摆放在直线$MN$上,在直角三角板$OAB和直角三角板OCD$中,$\angle OAB = \angle OCD = 90^{\circ}$,$\angle AOB = 45^{\circ}$,$\angle COD = 30^{\circ}$.
(1)保持直角三角板$OCD$不动,当直角三角板$OAB$旋转至图②所示位置时,$\angle BOD与\angle AON$之间有怎样的数量关系?请说明理由;
(2)如图③,若直角三角板$OAB绕点O以每秒6^{\circ}$的速度逆时针旋转,同时直角三角板$OCD也绕点O以每秒3^{\circ}$的速度逆时针旋转,当边$OB旋转至射线OM$上时,两把直角三角板同时停止转动.设旋转的时间为$t\ \unit{s}$,则在此过程中,是否存在某一时刻,使得$\angle BOD + \angle AON = 60^{\circ}$?若存在,请求出$t$的值;若不存在,请说明理由.
视频精讲
(1)保持直角三角板$OCD$不动,当直角三角板$OAB$旋转至图②所示位置时,$\angle BOD与\angle AON$之间有怎样的数量关系?请说明理由;
(2)如图③,若直角三角板$OAB绕点O以每秒6^{\circ}$的速度逆时针旋转,同时直角三角板$OCD也绕点O以每秒3^{\circ}$的速度逆时针旋转,当边$OB旋转至射线OM$上时,两把直角三角板同时停止转动.设旋转的时间为$t\ \unit{s}$,则在此过程中,是否存在某一时刻,使得$\angle BOD + \angle AON = 60^{\circ}$?若存在,请求出$t$的值;若不存在,请说明理由.
视频精讲答案：（1）∠BOD - ∠AON = 15°。理由如下：因为∠AOB = 45°，∠COD = 30°，所以∠BOD - ∠AON = ∠AOB + ∠AOD - (∠AOD + ∠COD)=∠AOB - ∠COD = 15°。
（2）因为∠AOB = 45°，∠COD = 30°，所以当边OB旋转至射线OM上时，t = 180÷6 = 30；当边OA旋转至射线ON上时，t = 45÷6 = $\frac{15}{2}$；当边OB与边OD重合时，t = 30÷(6 - 3)=10。若∠BOD + ∠AON = 60°，则分类讨论如下：①当0≤t≤ $\frac{15}{2}$时，∠AON=(45 - 6t)°，∠BON = 6t°，∠DON=(3t + 30)°，所以∠BOD = ∠DON - ∠BON=(30 - 3t)°，所以30 - 3t+(45 - 6t)=60，解得t = $\frac{5}{3}$；②当 $\frac{15}{2}$＜t＜10时，∠AON=(6t - 45)°，∠BOD=(30 - 3t)°，所以30 - 3t+(6t - 45)=60，解得t = 25，不合题意，舍去；③当10≤t≤30时，∠AON=(6t - 45)°，∠BON = 6t°，∠DON=(3t + 30)°，所以∠BOD = ∠BON - ∠DON=(3t - 30)°，所以3t - 30+(6t - 45)=60，解得t = 15。综上所述，当t = $\frac{5}{3}$或15时，∠BOD + ∠AON = 60°。
（2）因为∠AOB = 45°，∠COD = 30°，所以当边OB旋转至射线OM上时，t = 180÷6 = 30；当边OA旋转至射线ON上时，t = 45÷6 = $\frac{15}{2}$；当边OB与边OD重合时，t = 30÷(6 - 3)=10。若∠BOD + ∠AON = 60°，则分类讨论如下：①当0≤t≤ $\frac{15}{2}$时，∠AON=(45 - 6t)°，∠BON = 6t°，∠DON=(3t + 30)°，所以∠BOD = ∠DON - ∠BON=(30 - 3t)°，所以30 - 3t+(45 - 6t)=60，解得t = $\frac{5}{3}$；②当 $\frac{15}{2}$＜t＜10时，∠AON=(6t - 45)°，∠BOD=(30 - 3t)°，所以30 - 3t+(6t - 45)=60，解得t = 25，不合题意，舍去；③当10≤t≤30时，∠AON=(6t - 45)°，∠BON = 6t°，∠DON=(3t + 30)°，所以∠BOD = ∠BON - ∠DON=(3t - 30)°，所以3t - 30+(6t - 45)=60，解得t = 15。综上所述，当t = $\frac{5}{3}$或15时，∠BOD + ∠AON = 60°。