典例3 若a,b是正整数,且满足$\underset{9个{3}^{a}相加}{\underbrace{{3}^{a}+{3}^{a}+… +{3}^{a}}}= \underset{9个{3}^{b}相乘}{\underbrace{{3}^{b}× {3}^{b}× … × {3}^{b}}}$,则用含b的代数式表示a正确的是(
A.$a= 9b-2$
B.$a= \frac {9}{2}b$
C.$a= b^{9}-2$
D.$a= \frac {9+b}{2}$
A
)A.$a= 9b-2$
B.$a= \frac {9}{2}b$
C.$a= b^{9}-2$
D.$a= \frac {9+b}{2}$
答案：【解析】：
本题主要考查代数式的等价变换和指数运算规则。
首先，我们将 9 个 $3^a$ 相加和 9 个 $3^b$ 相乘分别化简为一个单一的代数式。
对于 9 个 $3^a$ 相加，我们可以将其写为 $9 × 3^a$，根据指数运算规则，可以进一步化简为 $3^{a+2}$（因为 $9 = 3^2$，所以 $9 × 3^a = 3^2 × 3^a = 3^{a+2}$）。
对于 9 个 $3^b$ 相乘，我们可以将其写为 $(3^b)^9$，根据指数运算规则，可以进一步化简为 $3^{9b}$。
由于题目给出这两个代数式是相等的，所以我们有 $3^{a+2} = 3^{9b}$。
由于底数相同，我们可以直接比较指数，得到 $a+2 = 9b$。
解这个方程，我们得到 $a = 9b - 2$。
【答案】：
A
本题主要考查代数式的等价变换和指数运算规则。
首先，我们将 9 个 $3^a$ 相加和 9 个 $3^b$ 相乘分别化简为一个单一的代数式。
对于 9 个 $3^a$ 相加，我们可以将其写为 $9 × 3^a$，根据指数运算规则，可以进一步化简为 $3^{a+2}$（因为 $9 = 3^2$，所以 $9 × 3^a = 3^2 × 3^a = 3^{a+2}$）。
对于 9 个 $3^b$ 相乘，我们可以将其写为 $(3^b)^9$，根据指数运算规则，可以进一步化简为 $3^{9b}$。
由于题目给出这两个代数式是相等的，所以我们有 $3^{a+2} = 3^{9b}$。
由于底数相同，我们可以直接比较指数，得到 $a+2 = 9b$。
解这个方程，我们得到 $a = 9b - 2$。
【答案】：
A
【变式3】若一个两位数的十位数字是m,个位数字是n,则这两位数为
10m+n
。(用含m,n的代数式表示)答案：10m+n
典例4 按如图所示的程序计算,若开始输入x的值为3,则最后输出的结果为
231
。答案：【解析】：本题考查代数式的代入计算以及根据条件进行循环计算的知识点。
题目给出了一个程序，对于输入的$x$值，通过公式$\frac{x(x + 1)}{2}$进行计算，若结果大于$100$则输出，若不大于$100$，则将该结果作为新的$x$值再次代入公式进行计算，直到结果大于$100$为止。
已知开始输入$x$的值为$3$，将其代入公式$\frac{x(x + 1)}{2}$可得：
$\frac{3×(3 + 1)}{2}=\frac{3×4}{2}=6$
因为$6\lt100$，不符合输出要求，所以把$x = 6$代入程序计算：
$\frac{6×(6 + 1)}{2}=\frac{6×7}{2}=21$
由于$21\lt100$，依旧不符合输出要求，再把$x = 21$代入程序计算：
$\frac{21×(21 + 1)}{2}=\frac{21×22}{2}=231$
此时$231\gt100$，符合输出要求，所以最后输出的结果为$231$。
【答案】：$231$
题目给出了一个程序，对于输入的$x$值，通过公式$\frac{x(x + 1)}{2}$进行计算，若结果大于$100$则输出，若不大于$100$，则将该结果作为新的$x$值再次代入公式进行计算，直到结果大于$100$为止。
已知开始输入$x$的值为$3$，将其代入公式$\frac{x(x + 1)}{2}$可得：
$\frac{3×(3 + 1)}{2}=\frac{3×4}{2}=6$
因为$6\lt100$，不符合输出要求，所以把$x = 6$代入程序计算：
$\frac{6×(6 + 1)}{2}=\frac{6×7}{2}=21$
由于$21\lt100$，依旧不符合输出要求，再把$x = 21$代入程序计算：
$\frac{21×(21 + 1)}{2}=\frac{21×22}{2}=231$
此时$231\gt100$，符合输出要求，所以最后输出的结果为$231$。
【答案】：$231$
【变式4】新素养 推理能力 按如图所示的程序计算,若输入$n= 100$,则输出的结果是501；若输入$n= 25$,则输出的结果是631。若开始输入n的值为正整数,最后输出的结果是656,则开始输入n的值可能有(
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
C
)A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案：C
解析：
由程序图可知，输出结果为$5n + 1$（当$5n + 1＞500$时）。
情况1：直接输出$656$，则$5n+1=656$，解得$n=131$（正整数）。
情况2：第一次计算后不输出，第二次计算输出$656$。第一次计算结果为$n_1$，则$5n_1 + 1=656$，$n_1=131$；又$5n + 1=n_1$，即$5n + 1=131$，解得$n=26$（正整数）。
情况3：第二次计算后不输出，第三次计算输出$656$。第二次计算结果为$n_2=26$，则$5n + 1=26$，解得$n=5$（正整数）。
情况4：第三次计算后不输出，第四次计算输出$656$。第三次计算结果为$n_3=5$，则$5n + 1=5$，解得$n=\frac{4}{5}$（非正整数，舍去）。
综上，开始输入$n$的值为$131$，$26$，$5$，共3种。
C
情况1：直接输出$656$，则$5n+1=656$，解得$n=131$（正整数）。
情况2：第一次计算后不输出，第二次计算输出$656$。第一次计算结果为$n_1$，则$5n_1 + 1=656$，$n_1=131$；又$5n + 1=n_1$，即$5n + 1=131$，解得$n=26$（正整数）。
情况3：第二次计算后不输出，第三次计算输出$656$。第二次计算结果为$n_2=26$，则$5n + 1=26$，解得$n=5$（正整数）。
情况4：第三次计算后不输出，第四次计算输出$656$。第三次计算结果为$n_3=5$，则$5n + 1=5$，解得$n=\frac{4}{5}$（非正整数，舍去）。
综上，开始输入$n$的值为$131$，$26$，$5$，共3种。
C