典例1 已知关于x,y,z的单项式$x^{a}y^{b}z^{c}$(a,b,c均为正整数),该单项式的次数为4,则符合条件的单项式的个数为____
3
.答案：【解析】：
本题主要考查单项式的次数以及正整数的性质。
根据单项式的定义，一个单项式的次数是其各个变量的指数之和。
对于单项式$x^{a}y^{b}z^{c}$，其次数为$a+b+c$。
由题意知，$a+b+c=4$，且$a,b,c$均为正整数。
考虑正整数的性质，我们可以列举出所有可能的组合，使得$a+b+c=4$：
当$a=1$时，$b+c=3$，可能的组合有$(b,c)=(1,2),(2,1)$；
当$a=2$时，$b+c=2$，可能的组合只有$(b,c)=(1,1)$；
当$a=3$时，$b+c=1$，由于$b,c$都是正整数，所以不可能满足条件；
当$a\geq4$时，同样不可能满足条件，因为$b,c$至少为1，那么$a+b+c$将大于4。
所以，符合条件的组合有3种，即$(a,b,c)=(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)$。
因此，符合条件的单项式的个数为3。
【答案】：
3。
本题主要考查单项式的次数以及正整数的性质。
根据单项式的定义，一个单项式的次数是其各个变量的指数之和。
对于单项式$x^{a}y^{b}z^{c}$，其次数为$a+b+c$。
由题意知，$a+b+c=4$，且$a,b,c$均为正整数。
考虑正整数的性质，我们可以列举出所有可能的组合，使得$a+b+c=4$：
当$a=1$时，$b+c=3$，可能的组合有$(b,c)=(1,2),(2,1)$；
当$a=2$时，$b+c=2$，可能的组合只有$(b,c)=(1,1)$；
当$a=3$时，$b+c=1$，由于$b,c$都是正整数，所以不可能满足条件；
当$a\geq4$时，同样不可能满足条件，因为$b,c$至少为1，那么$a+b+c$将大于4。
所以，符合条件的组合有3种，即$(a,b,c)=(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)$。
因此，符合条件的单项式的个数为3。
【答案】：
3。
【变式1】已知多项式$A= x^{2}+ex+f$,其中e,f均为正整数.若p为正整数,$q= 1+e+f,(p+1)(q+1)= 15$,则满足条件的多项式A的个数为
2
.答案：2
解析：
因为$p$，$q$为正整数，$(p + 1)(q + 1)=15$，$15=3×5=5×3=1×15=15×1$。
情况1：$p + 1=3$，$q + 1=5$，则$p=2$，$q=4$。又$q=1 + e + f$，所以$1 + e + f=4$，$e + f=3$。$e$，$f$为正整数，有$\begin{cases}e=1\\f=2\end{cases}$，$\begin{cases}e=2\\f=1\end{cases}$。
情况2：$p + 1=5$，$q + 1=3$，则$p=4$，$q=2$。$1 + e + f=2$，$e + f=1$，无正整数解。
情况3：$p + 1=1$，$q + 1=15$，$p=0$非正整数，舍去。
情况4：$p + 1=15$，$q + 1=1$，$q=0$非正整数，舍去。
综上，满足条件的多项式$A$有2个。
2
情况1：$p + 1=3$，$q + 1=5$，则$p=2$，$q=4$。又$q=1 + e + f$，所以$1 + e + f=4$，$e + f=3$。$e$，$f$为正整数，有$\begin{cases}e=1\\f=2\end{cases}$，$\begin{cases}e=2\\f=1\end{cases}$。
情况2：$p + 1=5$，$q + 1=3$，则$p=4$，$q=2$。$1 + e + f=2$，$e + f=1$，无正整数解。
情况3：$p + 1=1$，$q + 1=15$，$p=0$非正整数，舍去。
情况4：$p + 1=15$，$q + 1=1$，$q=0$非正整数，舍去。
综上，满足条件的多项式$A$有2个。
2
典例2 若a个$a^{n}的和为a^{8}$(a为大于1的整数),则$n= $
7
.答案：【解析】：本题主要考查了同底数幂的乘法法则和代数式的求解。
根据题意，a个$a^{n}$的和可以表示为$a \cdot a^{n}$。
由同底数幂的乘法法则，$a \cdot a^{n} = a^{n+1}$。
题目给出$a \cdot a^{n} = a^{8}$，代入上述结果，得到$a^{n+1} = a^{8}$。
由于底数相同，指数也必须相同，因此$n+1=8$。
解这个方程，得到$n=7$。
【答案】：7
根据题意，a个$a^{n}$的和可以表示为$a \cdot a^{n}$。
由同底数幂的乘法法则，$a \cdot a^{n} = a^{n+1}$。
题目给出$a \cdot a^{n} = a^{8}$，代入上述结果，得到$a^{n+1} = a^{8}$。
由于底数相同，指数也必须相同，因此$n+1=8$。
解这个方程，得到$n=7$。
【答案】：7
【变式2】已知单项式$-2x^{3}y^{m-2}减kx^{3}y$(k是正整数)的差是一个单项式,且系数为大于-4的负整数,则$m= $
3
,$k= $1
.答案：3 1
解析：
因为单项式$-2x^{3}y^{m - 2}$减$kx^{3}y$的差是一个单项式，所以$-2x^{3}y^{m - 2}$与$kx^{3}y$是同类项，即$m - 2=1$，解得$m = 3$。
此时差为$(-2 - k)x^{3}y$，其系数为$-2 - k$，因为系数为大于$-4$的负整数，所以$-4 ＜ -2 - k ＜ 0$，即$0 ＜ k + 2 ＜ 4$，$-2 ＜ k ＜ 2$。又因为$k$是正整数，所以$k = 1$。
$m = 3$，$k = 1$
此时差为$(-2 - k)x^{3}y$，其系数为$-2 - k$，因为系数为大于$-4$的负整数，所以$-4 ＜ -2 - k ＜ 0$，即$0 ＜ k + 2 ＜ 4$，$-2 ＜ k ＜ 2$。又因为$k$是正整数，所以$k = 1$。
$m = 3$，$k = 1$
典例3 新素养 抽象能力 定义一种新运算:对任意有理数a,b,都有$a\oplus b= 2a-3b$.例如:$1\oplus 2= 2×1-3×2= -4$.
(1)化简并求值:$(x+3ay)\oplus (x-2by)$,其中a,b互为相反数,x是最大的负整数;
(2)已知$x^{2}\oplus a减3\oplus ax^{2}的差中不含x^{2}$项,求a的值.
(1)化简并求值:$(x+3ay)\oplus (x-2by)$,其中a,b互为相反数,x是最大的负整数;
(2)已知$x^{2}\oplus a减3\oplus ax^{2}的差中不含x^{2}$项,求a的值.
答案：
(1)解：由新运算定义得，$(x+3ay)\oplus (x-2by)=2(x+3ay)-3(x-2by)$
$=2x+6ay-3x+6by$
$=-x+6(a+b)y$
因为a，b互为相反数，所以$a+b=0$，x是最大的负整数，所以$x=-1$
则原式$=-(-1)+6×0×y=1$
(2)解：由新运算定义得，$x^{2}\oplus a=2x^{2}-3a$，$3\oplus ax^{2}=2×3-3ax^{2}=6-3ax^{2}$
所以$x^{2}\oplus a-(3\oplus ax^{2})=(2x^{2}-3a)-(6-3ax^{2})$
$=2x^{2}-3a-6+3ax^{2}$
$=(2+3a)x^{2}-3a-6$
因为差中不含$x^{2}$项，所以$2+3a=0$，解得$a=-\frac{2}{3}$
(1)解：由新运算定义得，$(x+3ay)\oplus (x-2by)=2(x+3ay)-3(x-2by)$
$=2x+6ay-3x+6by$
$=-x+6(a+b)y$
因为a，b互为相反数，所以$a+b=0$，x是最大的负整数，所以$x=-1$
则原式$=-(-1)+6×0×y=1$
(2)解：由新运算定义得，$x^{2}\oplus a=2x^{2}-3a$，$3\oplus ax^{2}=2×3-3ax^{2}=6-3ax^{2}$
所以$x^{2}\oplus a-(3\oplus ax^{2})=(2x^{2}-3a)-(6-3ax^{2})$
$=2x^{2}-3a-6+3ax^{2}$
$=(2+3a)x^{2}-3a-6$
因为差中不含$x^{2}$项，所以$2+3a=0$，解得$a=-\frac{2}{3}$