【变式3】对任意有理数a,b,定义一种新运算“*”:$a*b= 3a-4b$.
(1)化简:$(x-y)*(x+y)$;
(2)求代数式的值:$(x+3y)*[\frac {1}{2}(5y-x)]*(-y)$,其中$x= -\frac {1}{3},y= 2$.
(1)化简:$(x-y)*(x+y)$;
(2)求代数式的值:$(x+3y)*[\frac {1}{2}(5y-x)]*(-y)$,其中$x= -\frac {1}{3},y= 2$.
答案：（1）原式=3(x-y)-4(x+y)=3x-3y-4x-4y=-x-7y.
（2）原式=[3(x+3y)-2(5y-x)]*(-y)=(5x-y)*(-y)=3(5x-y)+4y=15x+y.当$x=-\frac{1}{3},y=2$时,原式$=15×(-\frac{1}{3})+2=-3.$
（2）原式=[3(x+3y)-2(5y-x)]*(-y)=(5x-y)*(-y)=3(5x-y)+4y=15x+y.当$x=-\frac{1}{3},y=2$时,原式$=15×(-\frac{1}{3})+2=-3.$
典例4 已知代数式$m_{1}= a,m_{2}= 2a$,从第三个式子开始,每一个代数式都等于前两个代数式的和,即$m_{3}= m_{1}+m_{2}= 3a,m_{4}= m_{2}+m_{3}= 5a$,…给出下列说法:①若$m_{n}= 55a$,则$n= 8$;②$m_{1}+m_{2}+m_{3}+... +m_{10}= 231a$;③前2025个式子中,a的系数为偶数的代数式有674个;④记前n个式子的和为$S_{n}$,则$S_{2n+2}-S_{2n}= m_{2}+m_{4}+... +m_{2n}+m_{2n+2}$.其中正确的是____.(填序号)
②
答案：【解析】：
① 对于$m_{n} = 55a$，需要验证是否当$n=8$时满足条件。
由题意，$m_{3} = 3a, m_{4} = 5a, m_{5} = 8a, m_{6} = 13a, m_{7} = 21a, m_{8} = 34a, m_{9} = 55a$。
因此，当$m_{n} = 55a$时，$n=9$，所以①错误。
② 对于$m_{1}+m_{2}+m_{3}+...+m_{10}$，需要计算前10项的和。
由题意，这是一个斐波那契数列，其前10项分别为$1a, 2a, 3a, 5a, 8a, 13a, 21a, 34a, 55a, 89a$。
和为$(1+2+3+5+8+13+21+34+55+89)a = 231a$，所以②正确。
③ 对于前2025个式子中，a的系数为偶数的代数式的数量，需要观察系数的奇偶性规律。
系数按奇、偶、奇的规律循环出现，因此每3个式子中有1个偶数系数。
$2025 ÷ 3 = 675$，所以前2025个式子中有675个偶数系数的代数式，与题目中的674个不符，所以③错误。
④ 对于$S_{2n+2}-S_{2n}$和$m_{2}+m_{4}+...+m_{2n}+m_{2n+2}$的关系，需要比较两者的值。
当$n=1$时，$S_{4}-S_{2} = m_{3}+m_{4} = 8a$，而$m_{2}+m_{4} = 7a$，所以$S_{4}-S_{2} \neq m_{2}+m_{4}$，故④错误。
【答案】：②
① 对于$m_{n} = 55a$，需要验证是否当$n=8$时满足条件。
由题意，$m_{3} = 3a, m_{4} = 5a, m_{5} = 8a, m_{6} = 13a, m_{7} = 21a, m_{8} = 34a, m_{9} = 55a$。
因此，当$m_{n} = 55a$时，$n=9$，所以①错误。
② 对于$m_{1}+m_{2}+m_{3}+...+m_{10}$，需要计算前10项的和。
由题意，这是一个斐波那契数列，其前10项分别为$1a, 2a, 3a, 5a, 8a, 13a, 21a, 34a, 55a, 89a$。
和为$(1+2+3+5+8+13+21+34+55+89)a = 231a$，所以②正确。
③ 对于前2025个式子中，a的系数为偶数的代数式的数量，需要观察系数的奇偶性规律。
系数按奇、偶、奇的规律循环出现，因此每3个式子中有1个偶数系数。
$2025 ÷ 3 = 675$，所以前2025个式子中有675个偶数系数的代数式，与题目中的674个不符，所以③错误。
④ 对于$S_{2n+2}-S_{2n}$和$m_{2}+m_{4}+...+m_{2n}+m_{2n+2}$的关系，需要比较两者的值。
当$n=1$时，$S_{4}-S_{2} = m_{3}+m_{4} = 8a$，而$m_{2}+m_{4} = 7a$，所以$S_{4}-S_{2} \neq m_{2}+m_{4}$，故④错误。
【答案】：②
【变式4】新素养 推理能力 依次排列的两个整式$-2a+b,-2a+3b$,将第1个整式乘2再加上第2个整式,称为第1次操作,得到第3个整式$-6a+5b$;将第2个整式乘2再加上第3个整式,称为第2次操作,得到第4个整式$-10a+11b$;将第3个整式乘2再加上第4个整式,称为第3次操作,得到第5个整式$-22a+21b$;…;以此类推,给出下列说法:①第8个整式为$-170a+171b$;②第7次操作后得到的整式的各项系数之和为-1;③若$a= b= -24$,则第2026次操作完成后,所有整式之和为0.其中正确的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
D
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案：D
解析：
①第8个整式为$-170a+171b$
第1个整式：$-2a+b$，第2个整式：$-2a+3b$
第3个整式：$2(-2a+b)+(-2a+3b)=-6a+5b$
第4个整式：$2(-2a+3b)+(-6a+5b)=-10a+11b$
第5个整式：$2(-6a+5b)+(-10a+11b)=-22a+21b$
第6个整式：$2(-10a+11b)+(-22a+21b)=-42a+43b$
第7个整式：$2(-22a+21b)+(-42a+43b)=-86a+85b$
第8个整式：$2(-42a+43b)+(-86a+85b)=-170a+171b$，①正确。
②第7次操作后得到的整式的各项系数之和为-1
第7次操作后得到第8个整式：$-170a+171b$
各项系数之和：$-170+171=1$，②错误。
③若$a=b=-24$，则第2026次操作完成后，所有整式之和为0
观察整式规律：第$n$个整式为$-[(2^{n+1}-2)a]+(2^{n+1}-1)b$（$n\geq1$）
所有整式之和$S_n=(-2a+b)+(-2a+3b)+\cdots+[-(2^{n+1}-2)a+(2^{n+1}-1)b]$
$a$的系数和：$-2-2-6-10-\cdots-(2^{n+1}-2)=-(2^{n+2}-4)$
$b$的系数和：$1+3+5+11+\cdots+(2^{n+1}-1)=2^{n+2}-3$
当$a=b=-24$时，$S_n=-(2^{n+2}-4)(-24)+(2^{n+2}-3)(-24)=(-24)[(2^{n+2}-4)-(2^{n+2}-3)]=(-24)(-1)=24\neq0$，③错误。
正确个数：1，答案选B。
$\boxed{B}$
第1个整式：$-2a+b$，第2个整式：$-2a+3b$
第3个整式：$2(-2a+b)+(-2a+3b)=-6a+5b$
第4个整式：$2(-2a+3b)+(-6a+5b)=-10a+11b$
第5个整式：$2(-6a+5b)+(-10a+11b)=-22a+21b$
第6个整式：$2(-10a+11b)+(-22a+21b)=-42a+43b$
第7个整式：$2(-22a+21b)+(-42a+43b)=-86a+85b$
第8个整式：$2(-42a+43b)+(-86a+85b)=-170a+171b$，①正确。
②第7次操作后得到的整式的各项系数之和为-1
第7次操作后得到第8个整式：$-170a+171b$
各项系数之和：$-170+171=1$，②错误。
③若$a=b=-24$，则第2026次操作完成后，所有整式之和为0
观察整式规律：第$n$个整式为$-[(2^{n+1}-2)a]+(2^{n+1}-1)b$（$n\geq1$）
所有整式之和$S_n=(-2a+b)+(-2a+3b)+\cdots+[-(2^{n+1}-2)a+(2^{n+1}-1)b]$
$a$的系数和：$-2-2-6-10-\cdots-(2^{n+1}-2)=-(2^{n+2}-4)$
$b$的系数和：$1+3+5+11+\cdots+(2^{n+1}-1)=2^{n+2}-3$
当$a=b=-24$时，$S_n=-(2^{n+2}-4)(-24)+(2^{n+2}-3)(-24)=(-24)[(2^{n+2}-4)-(2^{n+2}-3)]=(-24)(-1)=24\neq0$，③错误。
正确个数：1，答案选B。
$\boxed{B}$