典例3 若$x= 3是方程M^{2}-x= 1$的一个解,则M可能为 (
A.$x-1$
B.$x-2$
C.$2x-2$
D.$2x-3$
A
)A.$x-1$
B.$x-2$
C.$2x-2$
D.$2x-3$
答案：【解析】：
题目给出了方程 $M^{2} - x = 1$，并告诉我们 $x = 3$ 是该方程的一个解。
首先，我们将 $x = 3$ 代入方程 $M^{2} - x = 1$，得到 $M^{2} - 3 = 1$。
接着，我们解这个方程找到 $M$ 的值。将方程改写为 $M^{2} = 4$，然后取平方根得到 $M = \pm 2$。
最后，我们需要找到一个表达式，使得当 $x = 3$ 时，该表达式的值为 $\pm 2$。
我们逐一检验选项：
A. $x - 1 = 3 - 1 = 2$，符合条件，因为 $2$ 是 $M$ 的一个可能值。
B. $x - 2 = 3 - 2 = 1$，不符合条件。
C. $2x - 2 = 2 × 3 - 2 = 4$，不符合条件。
D. $2x - 3 = 2 × 3 - 3 = 3$，不符合条件。
因此，只有选项 A 符合条件。
【答案】：
A
题目给出了方程 $M^{2} - x = 1$，并告诉我们 $x = 3$ 是该方程的一个解。
首先，我们将 $x = 3$ 代入方程 $M^{2} - x = 1$，得到 $M^{2} - 3 = 1$。
接着，我们解这个方程找到 $M$ 的值。将方程改写为 $M^{2} = 4$，然后取平方根得到 $M = \pm 2$。
最后，我们需要找到一个表达式，使得当 $x = 3$ 时，该表达式的值为 $\pm 2$。
我们逐一检验选项：
A. $x - 1 = 3 - 1 = 2$，符合条件，因为 $2$ 是 $M$ 的一个可能值。
B. $x - 2 = 3 - 2 = 1$，不符合条件。
C. $2x - 2 = 2 × 3 - 2 = 4$，不符合条件。
D. $2x - 3 = 2 × 3 - 3 = 3$，不符合条件。
因此，只有选项 A 符合条件。
【答案】：
A
【变式3】某书中有这样一道方程题：$2(x-3)-△= x+1$,△处在印刷时被墨盖住了。若查书后面的答案,得知这个方程的解是$x= 9$,则△处的数字是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
解析：
设△处的数字是$a$，则原方程为$2(x - 3)-a=x + 1$。
将$x = 9$代入方程，得$2×(9 - 3)-a=9 + 1$。
计算左边括号内的值：$9-3=6$，则$2×6 - a=12 - a$。
右边计算得：$9 + 1=10$。
所以$12 - a=10$，解得$a=2$。
B
将$x = 9$代入方程，得$2×(9 - 3)-a=9 + 1$。
计算左边括号内的值：$9-3=6$，则$2×6 - a=12 - a$。
右边计算得：$9 + 1=10$。
所以$12 - a=10$，解得$a=2$。
B
典例4 新趋势 传统文化 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇,不知人数不知竹。每人六竿多十四,每人八竿少二竿。”若设牧童有x人,则根据题意可列方程为 (
A.$6x+14= 8x+2$
B.$6x-14= 8x+2$
C.$6x+14= 8x-2$
D.$6x-14= 8x-2$
C
)A.$6x+14= 8x+2$
B.$6x-14= 8x+2$
C.$6x+14= 8x-2$
D.$6x-14= 8x-2$
答案：解：设牧童有$x$人。
根据竹竿总数不变，每人六竿多十四竿时，竹竿总数为$6x + 14$；每人八竿少二竿时，竹竿总数为$8x - 2$。
可列方程：$6x + 14 = 8x - 2$。
答案：C
根据竹竿总数不变，每人六竿多十四竿时，竹竿总数为$6x + 14$；每人八竿少二竿时，竹竿总数为$8x - 2$。
可列方程：$6x + 14 = 8x - 2$。
答案：C
【变式4】新趋势 情境素材 一名快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地,若快递员开车每分钟行驶1.2 km,则早到10 min；若快递员开车每分钟行驶0.8 km,则要迟到5 min。对于这个问题,小明和小亮分别列出了各自的方程。
小明：设快递员所行驶的总路程为x km,则$\frac {x}{1.2}-10= \frac {x}{0.8}+5$。
小亮：设规定时间为y min,则$1.2(y-10)= 0.8(y+5)$。
对于小明和小亮所列的方程,下列判断正确的是 (
A.只有小明的正确
B.只有小亮的正确
C.小明、小亮的都正确
D.小明、小亮的都不正确
小明：设快递员所行驶的总路程为x km,则$\frac {x}{1.2}-10= \frac {x}{0.8}+5$。
小亮：设规定时间为y min,则$1.2(y-10)= 0.8(y+5)$。
对于小明和小亮所列的方程,下列判断正确的是 (
B
)A.只有小明的正确
B.只有小亮的正确
C.小明、小亮的都正确
D.小明、小亮的都不正确
答案：B
解析：
小明的方程分析：
设总路程为$x\ \text{km}$，
速度$1.2\ \text{km/min}$时，实际用时为$\frac{x}{1.2}\ \text{min}$，早到$10\ \text{min}$，则规定时间为$\frac{x}{1.2} + 10\ \text{min}$；
速度$0.8\ \text{km/min}$时，实际用时为$\frac{x}{0.8}\ \text{min}$，迟到$5\ \text{min}$，则规定时间为$\frac{x}{0.8} - 5\ \text{min}$。
小明方程为$\frac{x}{1.2} - 10 = \frac{x}{0.8} + 5$，等式左侧少加$10$、右侧多加$5$，错误。
小亮的方程分析：
设规定时间为$y\ \text{min}$，
速度$1.2\ \text{km/min}$时，实际行驶时间为$(y - 10)\ \text{min}$，路程为$1.2(y - 10)\ \text{km}$；
速度$0.8\ \text{km/min}$时，实际行驶时间为$(y + 5)\ \text{min}$，路程为$0.8(y + 5)\ \text{km}$。
总路程不变，故$1.2(y - 10) = 0.8(y + 5)$，正确。
结论：只有小亮的正确
B
设总路程为$x\ \text{km}$，
速度$1.2\ \text{km/min}$时，实际用时为$\frac{x}{1.2}\ \text{min}$，早到$10\ \text{min}$，则规定时间为$\frac{x}{1.2} + 10\ \text{min}$；
速度$0.8\ \text{km/min}$时，实际用时为$\frac{x}{0.8}\ \text{min}$，迟到$5\ \text{min}$，则规定时间为$\frac{x}{0.8} - 5\ \text{min}$。
小明方程为$\frac{x}{1.2} - 10 = \frac{x}{0.8} + 5$，等式左侧少加$10$、右侧多加$5$，错误。
小亮的方程分析：
设规定时间为$y\ \text{min}$，
速度$1.2\ \text{km/min}$时，实际行驶时间为$(y - 10)\ \text{min}$，路程为$1.2(y - 10)\ \text{km}$；
速度$0.8\ \text{km/min}$时，实际行驶时间为$(y + 5)\ \text{min}$，路程为$0.8(y + 5)\ \text{km}$。
总路程不变，故$1.2(y - 10) = 0.8(y + 5)$，正确。
结论：只有小亮的正确
B