【变式2】小强将一张正方形纸片按如图所示的方式对折两次,并在如图所示的位置上剪去一个小正方形,然后把纸片展开,得到的图形应是(
B
)答案：B
典例3 新素养 推理能力 如图,观察图形中点的个数,其中图①共有4个点,图②共有10个点,图③共有19个点,…,则按此规律,图⑩中点的个数是(
A.109
B.136
C.166
D.199
C
)A.109
B.136
C.166
D.199
答案：解：由图可知，图①中点的个数是$4 = 1 + 3×1$，图②中点的个数是$10 = 1 + 3×1 + 3×2$，图③中点的个数是$19 = 1 + 3×1 + 3×2 + 3×3$，…，则图$n$中点的个数是$1 + 3×(1 + 2 + … + n)$。
对于图⑩，$n = 10$，所以点的个数为：
$\begin{aligned}&1 + 3×(1 + 2 + … + 10)\\=&1 + 3×\frac{(1 + 10)×10}{2}\\=&1 + 3×55\\=&1 + 165\\=&166\end{aligned}$
答案：C
对于图⑩，$n = 10$，所以点的个数为：
$\begin{aligned}&1 + 3×(1 + 2 + … + 10)\\=&1 + 3×\frac{(1 + 10)×10}{2}\\=&1 + 3×55\\=&1 + 165\\=&166\end{aligned}$
答案：C
【变式3】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”,而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作是两个相邻“三角形数”之和.下列等式中,符合这一规律的是(
A.13= 3+10
B.25= 9+16
C.36= 15+21
D.49= 18+31
C
)A.13= 3+10
B.25= 9+16
C.36= 15+21
D.49= 18+31
答案：C
解析：
三角形数规律：第$n$个三角形数为$\frac{n(n + 1)}{2}$；正方形数规律：第$m$个正方形数为$m^2$。
由题意，正方形数$m^2=\frac{n(n + 1)}{2}+\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}=(n + 1)^2$，即$m=n + 1$。
选项分析：
A. 13不是正方形数，不符合。
B. 25是$5^2$，9、16是正方形数非三角形数，不符合。
C. 36是$6^2$，15为第5个三角形数$\frac{5×6}{2}=15$，21为第6个三角形数$\frac{6×7}{2}=21$，$15 + 21=36$，符合。
D. 49是$7^2$，18、31不是三角形数（第6个三角形数21，第7个28，第8个36），不符合。
C
由题意，正方形数$m^2=\frac{n(n + 1)}{2}+\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}=(n + 1)^2$，即$m=n + 1$。
选项分析：
A. 13不是正方形数，不符合。
B. 25是$5^2$，9、16是正方形数非三角形数，不符合。
C. 36是$6^2$，15为第5个三角形数$\frac{5×6}{2}=15$，21为第6个三角形数$\frac{6×7}{2}=21$，$15 + 21=36$，符合。
D. 49是$7^2$，18、31不是三角形数（第6个三角形数21，第7个28，第8个36），不符合。
C