典例 3 (1)若方程$3(x+1)= 2+x$的解与关于x的方程$\frac {6-2k}{3}= 2(x+3)$的解互为倒数,求k的值；
(2)已知关于x的方程$2(x+1)-m= -\frac {m-2}{2}$的解比关于y的方程$5(y-1)-m= 4(y-1)+1$的解大2,求m的值.
(2)已知关于x的方程$2(x+1)-m= -\frac {m-2}{2}$的解比关于y的方程$5(y-1)-m= 4(y-1)+1$的解大2,求m的值.
答案：【解析】：
(1) 此题主要考查了一元一次方程的解法以及相互关系。首先需要解第一个方程 $3(x+1)= 2+x$，获取其解，然后根据题意，该解的倒数即为第二个方程的解，代入第二个方程 $\frac {6-2k}{3}= 2(x+3)$ 可求出 $k$ 的值。
具体步骤如下：
解第一个方程，去括号，移项，合并同类项，得到 $x = -\frac{1}{2}$。
其倒数为 $-2$，代入第二个方程求解 $k$。
(2) 此题同样考查一元一次方程的解法。需要分别解出两个包含待定字母 $m$ 的方程，然后根据题意，第一个方程的解比第二个方程的解大 2，从而构建关于 $m$ 的方程求解。
具体步骤如下：
分别解出两个方程，得到 $x = \frac{m-2}{4}$ 和 $y = 2+m$。
根据题意，构建关于 $m$ 的方程 $\frac{m-2}{4} = 2+m+2$，然后求解。
【答案】：
(1) 解：
首先解方程 $3(x+1)= 2+x$，
去括号得：$3x + 3 = 2 + x$，
移项、合并同类项得：$2x = -1$，
系数化为 1 得：$x = -\frac{1}{2}$。
因为 $-\frac{1}{2}$ 的倒数为 $-2$，
所以将 $x = -2$ 代入方程 $\frac{6-2k}{3} = 2(x+3)$，
得：$\frac{6-2k}{3} = 2×(-2+3)$，
解得：$k = 0$。
(2) 解：
对于方程 $2(x+1)-m = -\frac{m-2}{2}$，
去分母得：$4(x+1)-2m = -(m-2)$，
去括号得：$4x + 4 - 2m = -m + 2$，
移项、合并同类项得：$4x = m - 2$，
系数化为 1 得：$x = \frac{m-2}{4}$。
对于方程 $5(y-1)-m = 4(y-1)+1$，
去括号得：$5y - 5 - m = 4y - 4 + 1$，
移项、合并同类项得：$y = 2 + m$。
根据题意，有 $\frac{m-2}{4} = 2 + m + 2$，
解得：$m = -6$。
(1) 此题主要考查了一元一次方程的解法以及相互关系。首先需要解第一个方程 $3(x+1)= 2+x$，获取其解，然后根据题意，该解的倒数即为第二个方程的解，代入第二个方程 $\frac {6-2k}{3}= 2(x+3)$ 可求出 $k$ 的值。
具体步骤如下：
解第一个方程，去括号，移项，合并同类项，得到 $x = -\frac{1}{2}$。
其倒数为 $-2$，代入第二个方程求解 $k$。
(2) 此题同样考查一元一次方程的解法。需要分别解出两个包含待定字母 $m$ 的方程，然后根据题意，第一个方程的解比第二个方程的解大 2，从而构建关于 $m$ 的方程求解。
具体步骤如下：
分别解出两个方程，得到 $x = \frac{m-2}{4}$ 和 $y = 2+m$。
根据题意，构建关于 $m$ 的方程 $\frac{m-2}{4} = 2+m+2$，然后求解。
【答案】：
(1) 解：
首先解方程 $3(x+1)= 2+x$，
去括号得：$3x + 3 = 2 + x$，
移项、合并同类项得：$2x = -1$，
系数化为 1 得：$x = -\frac{1}{2}$。
因为 $-\frac{1}{2}$ 的倒数为 $-2$，
所以将 $x = -2$ 代入方程 $\frac{6-2k}{3} = 2(x+3)$，
得：$\frac{6-2k}{3} = 2×(-2+3)$，
解得：$k = 0$。
(2) 解：
对于方程 $2(x+1)-m = -\frac{m-2}{2}$，
去分母得：$4(x+1)-2m = -(m-2)$，
去括号得：$4x + 4 - 2m = -m + 2$，
移项、合并同类项得：$4x = m - 2$，
系数化为 1 得：$x = \frac{m-2}{4}$。
对于方程 $5(y-1)-m = 4(y-1)+1$，
去括号得：$5y - 5 - m = 4y - 4 + 1$，
移项、合并同类项得：$y = 2 + m$。
根据题意，有 $\frac{m-2}{4} = 2 + m + 2$，
解得：$m = -6$。
【变式 3】新素养 抽象能力 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1,我们就称这两个方程为“美好方程”.例如：方程$4x= 8和x+1= 0$为“美好方程”.
(1)若“美好方程”的两个解之差为8,其中一个解为$x= n$,求n的值；
(2)若关于x的一元一次方程$\frac {1}{2025}x+3= 2x+k和\frac {1}{2025}x+1= 0$是“美好方程”,求关于y的一元一次方程$\frac {1}{2025}(y+1)+3= 2y+k+2$的解.
(1)若“美好方程”的两个解之差为8,其中一个解为$x= n$,求n的值；
(2)若关于x的一元一次方程$\frac {1}{2025}x+3= 2x+k和\frac {1}{2025}x+1= 0$是“美好方程”,求关于y的一元一次方程$\frac {1}{2025}(y+1)+3= 2y+k+2$的解.
答案：（1）因为“美好方程”的两个解之和为1，其中一个解为x=n，所以另一个解为x=1-n.由题意，得|n-(1-n)|=8，所以|2n-1|=8，所以2n-1=8或-8，所以n=9/2或-7/2.
（2）解方程1/2025x+1=0，得x=-2025.因为关于x的一元一次方程1/2025x+3=2x+k和1/2025x+1=0是“美好方程”，1-(-2025)=2026，所以关于x的一元一次方程1/2025x+3=2x+k的解为x=2026.因为关于y的一元一次方程1/2025(y+1)+3=2y+k+2可化为1/2025(y+1)+3=2(y+1)+k，所以y+1=2026，所以y=2025.
（2）解方程1/2025x+1=0，得x=-2025.因为关于x的一元一次方程1/2025x+3=2x+k和1/2025x+1=0是“美好方程”，1-(-2025)=2026，所以关于x的一元一次方程1/2025x+3=2x+k的解为x=2026.因为关于y的一元一次方程1/2025(y+1)+3=2y+k+2可化为1/2025(y+1)+3=2(y+1)+k，所以y+1=2026，所以y=2025.