典例2 有一个两位数,两个数位上的数字之和为8.如果把个位上的数字与十位上的数字对调,那么所得的新两位数比原两位数大18.求原两位数.
答案：【解析】：
本题主要考查一元一次方程的应用。
设原两位数个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$8 - x$。
原两位数可以表示为：$10(8 - x) + x$，
新两位数（个位和十位对调后）可以表示为：$10x + (8 - x)$，
根据题意，新两位数比原两位数大18，即：
$10x + (8 - x) - [10(8 - x) + x] = 18$，
展开并整理得：
$10x + 8 - x - 80 + 10x - x = 18$，
$18x - 72 = 18$，
$18x = 90$，
$x = 5$，
将$x = 5$代入$8 - x$，得十位数字为3。
所以原两位数为35。
【答案】：
设原两位数个位上的数字为$x$。
由题意，得$10x + (8 - x) - [10(8 - x) + x] = 18$，
解得$x = 5$，
则$8 - x = 3$。
故原两位数为35。
本题主要考查一元一次方程的应用。
设原两位数个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$8 - x$。
原两位数可以表示为：$10(8 - x) + x$，
新两位数（个位和十位对调后）可以表示为：$10x + (8 - x)$，
根据题意，新两位数比原两位数大18，即：
$10x + (8 - x) - [10(8 - x) + x] = 18$，
展开并整理得：
$10x + 8 - x - 80 + 10x - x = 18$，
$18x - 72 = 18$，
$18x = 90$，
$x = 5$，
将$x = 5$代入$8 - x$，得十位数字为3。
所以原两位数为35。
【答案】：
设原两位数个位上的数字为$x$。
由题意，得$10x + (8 - x) - [10(8 - x) + x] = 18$，
解得$x = 5$，
则$8 - x = 3$。
故原两位数为35。
【变式2】有这样一道应用题:今年乙的年龄是甲的2倍,求甲今年的年龄.老师设甲今年x岁,列出了如下所示的表格,小万认为表格中空格应填$2x+20$,小翔认为表格中空格应填$2(x+20)$,下列说法正确的是 (
| |甲|乙|
|今年年龄|x|$2x$|
|20年后的年龄|$x+20$| |
A.两人都错
B.两人都对
C.只有小万对
D.只有小翔对
C
)| |甲|乙|
|今年年龄|x|$2x$|
|20年后的年龄|$x+20$| |
A.两人都错
B.两人都对
C.只有小万对
D.只有小翔对
答案：C
解析：
乙今年年龄为$2x$岁，20年后乙的年龄是在今年年龄基础上增加20岁，即$2x + 20$岁。小万的填法正确，小翔的$2(x + 20)$表示的是甲20年后年龄的2倍，与题目条件无关。
C
C
典例3 新素养 推理能力 如图,将形状、大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形,图①中★的个数为$a_{1}$,图②中★的个数为$a_{2}$,…,图ⓝ中★的个数为$a_{n}$.若$\frac {2}{a_{1}}+\frac {2}{a_{2}}+... +\frac {2}{a_{2025}}= \frac {x}{1013}$,则$x=$
2025
.答案：【解析】：本题可先根据图形找出$a_{n}$的表达式，再利用裂项相消法求出$\frac {2}{a_{1}}+\frac {2}{a_{2}}+... +\frac {2}{a_{2025}}$的值，进而求出$x$的值。
观察图形可知：
图①中★的个数$a_{1}=1×2$；
图②中★的个数$a_{2}=2×3$；
图③中★的个数$a_{3}=3×4$；
以此类推，可得图$n$中★的个数$a_{n}=n(n + 1)$。
则$\frac{2}{a_{n}}=\frac{2}{n(n + 1)}=2×(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})$。
所以$\frac {2}{a_{1}}+\frac {2}{a_{2}}+... +\frac {2}{a_{2025}}$可转化为：
$2×(1 - \frac{1}{2}) + 2×(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \cdots + 2×(\frac{1}{2025} - \frac{1}{2026})$
$=2×[(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \cdots + (\frac{1}{2025} - \frac{1}{2026})]$
观察括号内的式子，可发现从第二项起，每一项与后一项都可以相互抵消，即：
$(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \cdots + (\frac{1}{2025} - \frac{1}{2026})=1 - \frac{1}{2026}$
则$2×[(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \cdots + (\frac{1}{2025} - \frac{1}{2026})]=2×(1 - \frac{1}{2026})$
$=2×\frac{2025}{2026}=\frac{2025}{1013}$
已知$\frac {2}{a_{1}}+\frac {2}{a_{2}}+... +\frac {2}{a_{2025}}= \frac {x}{1013}$，即$\frac{2025}{1013}=\frac{x}{1013}$，所以$x = 2025$。
【答案】：2025
观察图形可知：
图①中★的个数$a_{1}=1×2$；
图②中★的个数$a_{2}=2×3$；
图③中★的个数$a_{3}=3×4$；
以此类推，可得图$n$中★的个数$a_{n}=n(n + 1)$。
则$\frac{2}{a_{n}}=\frac{2}{n(n + 1)}=2×(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})$。
所以$\frac {2}{a_{1}}+\frac {2}{a_{2}}+... +\frac {2}{a_{2025}}$可转化为：
$2×(1 - \frac{1}{2}) + 2×(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \cdots + 2×(\frac{1}{2025} - \frac{1}{2026})$
$=2×[(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \cdots + (\frac{1}{2025} - \frac{1}{2026})]$
观察括号内的式子，可发现从第二项起，每一项与后一项都可以相互抵消，即：
$(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \cdots + (\frac{1}{2025} - \frac{1}{2026})=1 - \frac{1}{2026}$
则$2×[(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \cdots + (\frac{1}{2025} - \frac{1}{2026})]=2×(1 - \frac{1}{2026})$
$=2×\frac{2025}{2026}=\frac{2025}{1013}$
已知$\frac {2}{a_{1}}+\frac {2}{a_{2}}+... +\frac {2}{a_{2025}}= \frac {x}{1013}$，即$\frac{2025}{1013}=\frac{x}{1013}$，所以$x = 2025$。
【答案】：2025
【变式3】现有一列整数,第一个数为1,第二个数为x(x为正整数),以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到.如:第三个数是由x与1差的绝对值得到,即为$|x-1|$,第四个数是由$|x-1|$与x差的绝对值得到,即为$||x-1|-x|,...$.要使这列数的前100个数中恰好有30个0,则$x=$
6 或 7
.答案：6 或 7 解析：当 x 为正偶数时，这列数为 1，x，x-1，1，x-2，|x-3|，…，1，2，1，1，0，1，1，0，…，所以这列数是从 1 开始，第 2 个数和第 3 个数分别是 x，x-1，后面的数依次是相邻前两个数差的绝对值，直至减到 2 后开始按 1，1，0 这 3 个数循环，又这列数的前 100 个数中恰好有 30 个 0，且 100÷3=33……1，所以前 10 个数中没有 0，且第 11～13 个数都可以为 0.当第 11 个数为 0 时，|x-3|=3，解得 x=0(舍去)或 x=6；当第 12 个数为 0 时，|x-3|=2 或|x-3|=4，此时 x 都不合题意，舍去；当第 13 个数为 0 时，|x-3|=5 或|x-3|=1 或|x-3|=7，解得 x=8 或 x=2 或 x=4 或 x=10.经检验，当 x=2 或 4 或 8 或 10 时，都不合题意，舍去；当 x=1 时，这列数为 1，1，0，1，1，0，…，所以前 100 个数中有 33 个 0，不合题意；当 x 为大于 1 的奇数时，这列数为 1，x，x-1，1，x-2，x-3，1，|x-4|，…，2，1，1，0，1，1，0，….同理，得|x-4|=3，解得 x=1(舍去)或 x=7.综上所述，x 的值为 6 或 7.