【变式2】已知直三棱柱的表面展开图如图所示,AC＜BC＜AB,四边形AMNB是正方形,将其折叠成直三棱柱后,下列各点中,与点C距离最大的是(
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
B
)A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
答案：B
解析：
由直三棱柱表面展开图及四边形AMNB是正方形，设$AM=MN=NB=BA=a$。
折叠后，直三棱柱底面为$\triangle ABC$，侧棱$AM=BN=a$，侧面$AMNB$，$BCNP$，$ACMQ$均为矩形。
点$C$在底面$\triangle ABC$中，各点坐标（以$A$为原点，$AB$为$x$轴，垂直$AB$方向为$y$轴，侧棱方向为$z$轴）：$C(x,y,0)$，$M(0,0,a)$，$N(a,0,a)$，$P(a+BC\cos\theta,BC\sin\theta,a)$，$Q(-AC\cos\phi,AC\sin\phi,a)$（$\theta,\phi$为底面三角形内角相关角）。
计算距离：
$CM=\sqrt{x^2+y^2+a^2}=\sqrt{AC^2+a^2}$
$CN=\sqrt{(x-a)^2+y^2+a^2}=\sqrt{BC^2+a^2}$
$CP=\sqrt{(x-(a+BC\cos\theta))^2+(y-BC\sin\theta)^2+a^2}=a$（侧棱长度）
$CQ=\sqrt{(x+AC\cos\phi)^2+(y-AC\sin\phi)^2+a^2}=a$（侧棱长度）
因$AC\lt BC\lt AB=a$，故$CN\gt CM\gt a=CP=CQ$。
B
折叠后，直三棱柱底面为$\triangle ABC$，侧棱$AM=BN=a$，侧面$AMNB$，$BCNP$，$ACMQ$均为矩形。
点$C$在底面$\triangle ABC$中，各点坐标（以$A$为原点，$AB$为$x$轴，垂直$AB$方向为$y$轴，侧棱方向为$z$轴）：$C(x,y,0)$，$M(0,0,a)$，$N(a,0,a)$，$P(a+BC\cos\theta,BC\sin\theta,a)$，$Q(-AC\cos\phi,AC\sin\phi,a)$（$\theta,\phi$为底面三角形内角相关角）。
计算距离：
$CM=\sqrt{x^2+y^2+a^2}=\sqrt{AC^2+a^2}$
$CN=\sqrt{(x-a)^2+y^2+a^2}=\sqrt{BC^2+a^2}$
$CP=\sqrt{(x-(a+BC\cos\theta))^2+(y-BC\sin\theta)^2+a^2}=a$（侧棱长度）
$CQ=\sqrt{(x+AC\cos\phi)^2+(y-AC\sin\phi)^2+a^2}=a$（侧棱长度）
因$AC\lt BC\lt AB=a$，故$CN\gt CM\gt a=CP=CQ$。
B
(1)部分⑦的面积是
(2)计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+…+\frac{1}{2^{n}}=$
$\frac{1}{64}$
；(2)计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+…+\frac{1}{2^{n}}=$
$1 - \frac{1}{2^n}$
.答案：【解析】：
(1) 对于部分⑦的面积：
根据题目描述，部分①的面积是正方形纸片面积的一半，即 $\frac{1}{2}$。
部分②的面积是部分①面积的一半，即 $\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{2^2}$。
部分③的面积是部分②面积的一半，即 $\frac{1}{2} × \frac{1}{2^2} = \frac{1}{2^3}$。
以此类推，部分⑦的面积是 $\frac{1}{2^7-1+1} = \frac{1}{2^6} =\frac{1}{64}$（因为部分⑦是倒数第二个部分，所以指数是6，这里我们直接给出了最终结果的指数形式）。
部分⑦的面积与部分⑥的面积相等，由图可知部分⑥是$\frac{1}{2^6} =\frac{1}{64}$。
(2) 对于序列和：
考虑序列 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \ldots + \frac{1}{2^n}$。
这是一个等比数列，其首项为 $\frac{1}{2}$，公比为 $\frac{1}{2}$，项数为 $n$。
利用等比数列求和公式，但其和也可以直观地通过图形得出。
整个正方形的面积为1，去掉最后一个小部分（即 $\frac{1}{2^n}$）后，剩余的部分就是序列的和。
因此，序列的和为 $1 - \frac{1}{2^n}$。
【答案】：
(1) $\frac{1}{64}$；
(2) $1 - \frac{1}{2^n}$。
(1) 对于部分⑦的面积：
根据题目描述，部分①的面积是正方形纸片面积的一半，即 $\frac{1}{2}$。
部分②的面积是部分①面积的一半，即 $\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{2^2}$。
部分③的面积是部分②面积的一半，即 $\frac{1}{2} × \frac{1}{2^2} = \frac{1}{2^3}$。
以此类推，部分⑦的面积是 $\frac{1}{2^7-1+1} = \frac{1}{2^6} =\frac{1}{64}$（因为部分⑦是倒数第二个部分，所以指数是6，这里我们直接给出了最终结果的指数形式）。
部分⑦的面积与部分⑥的面积相等，由图可知部分⑥是$\frac{1}{2^6} =\frac{1}{64}$。
(2) 对于序列和：
考虑序列 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \ldots + \frac{1}{2^n}$。
这是一个等比数列，其首项为 $\frac{1}{2}$，公比为 $\frac{1}{2}$，项数为 $n$。
利用等比数列求和公式，但其和也可以直观地通过图形得出。
整个正方形的面积为1，去掉最后一个小部分（即 $\frac{1}{2^n}$）后，剩余的部分就是序列的和。
因此，序列的和为 $1 - \frac{1}{2^n}$。
【答案】：
(1) $\frac{1}{64}$；
(2) $1 - \frac{1}{2^n}$。
【变式3】如图,每个小正方形的面积均为1.将左边图形中黑色的小正方形移动,得到右边拼成的长方形,根据两种图形转换的方法计算小正方形的个数可以得出图中的等式.
(1)请写出第3个等式：
(2)猜想第n个等式：2+4+6+…+
(3)当n=
(1)请写出第3个等式：
2+4+6+8=4×5
；(2)猜想第n个等式：2+4+6+…+
2(n+1)
=(n+1)(n+2)
；(用含n的式子表示)(3)当n=
99
时,左边图形中最底端有200个小正方形,此时左边图形中共有10100
个小正方形.答案：（1）2+4+6+8=4×5
（2）2(n+1) (n+1)(n+2) （3）99 10 100
（2）2(n+1) (n+1)(n+2) （3）99 10 100