典例1 新素养 几何直观 如图,将一副三角板摆放在一起,使一块三角板30°角的顶点与另一块三角板的直角顶点重合。若∠COD= 13°30',则∠AOB的补角的度数为____
73.5°(或73°30')
。答案：【解析】：本题主要考查了角的相关计算以及补角的概念。
已知$\angle AOC = 90^{\circ}$（三角板的一个角为直角），$\angle BOD = 30^{\circ}$（另一块三角板的一个角），$\angle COD = 13^{\circ}30' = 13.5^{\circ}$。
根据$\angle BOC=\angle BOD - \angle COD$，可得$\angle BOC = 30^{\circ}-13.5^{\circ}=16.5^{\circ}$。
再根据$\angle AOB=\angle AOC + \angle BOC$，可得$\angle AOB = 90^{\circ}+16.5^{\circ}=106.5^{\circ}$。
因为两个角的和为$180^{\circ}$，则这两个角互为补角，所以$\angle AOB$的补角为$180^{\circ}-\angle AOB = 180^{\circ}-106.5^{\circ}=73.5^{\circ}=73^{\circ}30'$。
【答案】：$73.5^{\circ}$(或$73^{\circ}30'$)
已知$\angle AOC = 90^{\circ}$（三角板的一个角为直角），$\angle BOD = 30^{\circ}$（另一块三角板的一个角），$\angle COD = 13^{\circ}30' = 13.5^{\circ}$。
根据$\angle BOC=\angle BOD - \angle COD$，可得$\angle BOC = 30^{\circ}-13.5^{\circ}=16.5^{\circ}$。
再根据$\angle AOB=\angle AOC + \angle BOC$，可得$\angle AOB = 90^{\circ}+16.5^{\circ}=106.5^{\circ}$。
因为两个角的和为$180^{\circ}$，则这两个角互为补角，所以$\angle AOB$的补角为$180^{\circ}-\angle AOB = 180^{\circ}-106.5^{\circ}=73.5^{\circ}=73^{\circ}30'$。
【答案】：$73.5^{\circ}$(或$73^{\circ}30'$)
【变式1】如图,在同一平面内,∠BOC= 90°,∠AOD= ∠COD,射线OE在∠BOC的内部。若∠AOC= α(α＜90°),∠BOE= 2∠COE,则∠DOE的余角的度数为
$60^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$
。(用含α的式子表示)答案：$60^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$
解析：
∵∠AOC=α，∠AOD=∠COD，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}\alpha$。
∵∠BOC=90°，∠BOE=2∠COE，∠BOE+∠COE=∠BOC，
∴3∠COE=90°，∠COE=30°。
∵∠DOE=∠COD+∠COE，
∴∠DOE=$\frac{1}{2}\alpha$+30°。
∵∠DOE的余角=90°-∠DOE，
∴∠DOE的余角=90°-($\frac{1}{2}\alpha$+30°)=60°-$\frac{1}{2}\alpha$。
$60^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}\alpha$。
∵∠BOC=90°，∠BOE=2∠COE，∠BOE+∠COE=∠BOC，
∴3∠COE=90°，∠COE=30°。
∵∠DOE=∠COD+∠COE，
∴∠DOE=$\frac{1}{2}\alpha$+30°。
∵∠DOE的余角=90°-∠DOE，
∴∠DOE的余角=90°-($\frac{1}{2}\alpha$+30°)=60°-$\frac{1}{2}\alpha$。
$60^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$
典例2 如图,AM,CM分别平分∠BAD和∠BCD。若∠B= 34°,∠D= 42°,则∠M= ____
38°
。答案：【解析】：本题可通过三角形内角和定理以及角平分线的性质来求解$\angle M$的度数。
设$\angle BAD = 2\alpha$，$\angle BCD = 2\beta$。
因为$AM$平分$\angle BAD$，$CM$平分$\angle BCD$，所以$\angle BAM=\angle DAM=\frac{1}{2}\angle BAD = \alpha$，$\angle BCM=\angle DCM=\frac{1}{2}\angle BCD = \beta$。
在$\triangle ABE$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAM+\angle B+\angle AEB = 180^{\circ}$，即$\alpha + 34^{\circ}+\angle AEB = 180^{\circ}$，所以$\angle AEB = 180^{\circ}-\alpha - 34^{\circ}$。
因为$\angle AEB$与$\angle CEM$是对顶角，所以$\angle AEB=\angle CEM = 180^{\circ}-\alpha - 34^{\circ}$。
在$\triangle CEM$中，$\angle BCM+\angle M+\angle CEM = 180^{\circ}$，将$\angle BCM = \beta$，$\angle CEM = 180^{\circ}-\alpha - 34^{\circ}$代入可得：$\beta+\angle M + 180^{\circ}-\alpha - 34^{\circ}= 180^{\circ}$，整理得$\alpha + 34^{\circ}=\angle M+\beta$ ①。
同理，在$\triangle ADM$和$\triangle CDM$中，可得到$\angle M+\alpha=\beta + 42^{\circ}$ ②。
将①$+$②可得：$2\angle M+\alpha+\beta=\alpha+\beta + 34^{\circ}+ 42^{\circ}$，两边同时消去$\alpha+\beta$，可得$2\angle M = 34^{\circ}+ 42^{\circ}=76^{\circ}$，解得$\angle M = 38^{\circ}$。
【答案】：$38^{\circ}$
设$\angle BAD = 2\alpha$，$\angle BCD = 2\beta$。
因为$AM$平分$\angle BAD$，$CM$平分$\angle BCD$，所以$\angle BAM=\angle DAM=\frac{1}{2}\angle BAD = \alpha$，$\angle BCM=\angle DCM=\frac{1}{2}\angle BCD = \beta$。
在$\triangle ABE$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAM+\angle B+\angle AEB = 180^{\circ}$，即$\alpha + 34^{\circ}+\angle AEB = 180^{\circ}$，所以$\angle AEB = 180^{\circ}-\alpha - 34^{\circ}$。
因为$\angle AEB$与$\angle CEM$是对顶角，所以$\angle AEB=\angle CEM = 180^{\circ}-\alpha - 34^{\circ}$。
在$\triangle CEM$中，$\angle BCM+\angle M+\angle CEM = 180^{\circ}$，将$\angle BCM = \beta$，$\angle CEM = 180^{\circ}-\alpha - 34^{\circ}$代入可得：$\beta+\angle M + 180^{\circ}-\alpha - 34^{\circ}= 180^{\circ}$，整理得$\alpha + 34^{\circ}=\angle M+\beta$ ①。
同理，在$\triangle ADM$和$\triangle CDM$中，可得到$\angle M+\alpha=\beta + 42^{\circ}$ ②。
将①$+$②可得：$2\angle M+\alpha+\beta=\alpha+\beta + 34^{\circ}+ 42^{\circ}$，两边同时消去$\alpha+\beta$，可得$2\angle M = 34^{\circ}+ 42^{\circ}=76^{\circ}$，解得$\angle M = 38^{\circ}$。
【答案】：$38^{\circ}$
【变式2】如图,OC,OD是∠AOB内部的两条射线,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD。若∠EOF= m°,∠BOC= n°,则∠AOD=
$(2m-n)^{\circ}$
。(用含m,n的式子表示)答案：$(2m-n)^{\circ}$