典例3 如图,∠A= ∠C,AD,BC交于点E,∠2= 23°,则∠1的度数为(
A.77°
B.67°
C.45°
D.23°
D
)A.77°
B.67°
C.45°
D.23°
答案：【解析】：本题可根据平角的定义以及对顶角的性质来求解$\angle1$的度数。
步骤一：根据平角的定义列出等式
因为$\angle C+\angle 1+\angle CED = 180^{\circ}$（平角的定义：平角为$180^{\circ}$），$\angle A+\angle 2+\angle AEB = 180^{\circ}$，所以可得$\angle C+\angle 1+\angle CED=\angle A+\angle 2+\angle AEB$。
步骤二：利用对顶角的性质进行等量代换
由于$\angle CED$与$\angle AEB$是对顶角，根据对顶角的性质：对顶角相等，可知$\angle CED = \angle AEB$。
又已知$\angle A = \angle C$，将$\angle CED = \angle AEB$和$\angle A = \angle C$代入$\angle C+\angle 1+\angle CED=\angle A+\angle 2+\angle AEB$中，可得$\angle 1 = \angle 2$。
步骤三：求出$\angle1$的度数
已知$\angle 2 = 23^{\circ}$，因为$\angle 1 = \angle 2$，所以$\angle 1 = 23^{\circ}$。
【答案】：D
步骤一：根据平角的定义列出等式
因为$\angle C+\angle 1+\angle CED = 180^{\circ}$（平角的定义：平角为$180^{\circ}$），$\angle A+\angle 2+\angle AEB = 180^{\circ}$，所以可得$\angle C+\angle 1+\angle CED=\angle A+\angle 2+\angle AEB$。
步骤二：利用对顶角的性质进行等量代换
由于$\angle CED$与$\angle AEB$是对顶角，根据对顶角的性质：对顶角相等，可知$\angle CED = \angle AEB$。
又已知$\angle A = \angle C$，将$\angle CED = \angle AEB$和$\angle A = \angle C$代入$\angle C+\angle 1+\angle CED=\angle A+\angle 2+\angle AEB$中，可得$\angle 1 = \angle 2$。
步骤三：求出$\angle1$的度数
已知$\angle 2 = 23^{\circ}$，因为$\angle 1 = \angle 2$，所以$\angle 1 = 23^{\circ}$。
【答案】：D
【变式3】如图,直线AB,CD相交于点O。若∠1= 40°,∠3比∠2的2倍多10°,则∠2的度数为(
A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
C
)A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
答案：C
解析：
设∠2的度数为$x$，则∠3的度数为$2x + 10^\circ$。
因为直线AB，CD相交于点O，所以∠1与∠2是对顶角的邻补角关系（或∠1+∠2+∠3=180°，根据平角定义），已知∠1=40°，则有：
$40^\circ + x + (2x + 10^\circ) = 180^\circ$
$40^\circ + x + 2x + 10^\circ = 180^\circ$
$3x + 50^\circ = 180^\circ$
$3x = 130^\circ$
$x = 30^\circ$
C
因为直线AB，CD相交于点O，所以∠1与∠2是对顶角的邻补角关系（或∠1+∠2+∠3=180°，根据平角定义），已知∠1=40°，则有：
$40^\circ + x + (2x + 10^\circ) = 180^\circ$
$40^\circ + x + 2x + 10^\circ = 180^\circ$
$3x + 50^\circ = 180^\circ$
$3x = 130^\circ$
$x = 30^\circ$
C
典例4 如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AC⊥CD,AB= 2,AD= 3,则AC长的取值范围是(
A.AC＞2
B.AC＜3
C.2＜AC＜3
D.1＜AC＜5
C
)A.AC＞2
B.AC＜3
C.2＜AC＜3
D.1＜AC＜5
答案：【解析】：本题可根据垂线段最短的性质来确定$AC$长的取值范围。
在$\triangle ABC$中，因为$AB\perp BC$，根据垂线段最短可知，在从点$B$到直线$AC$的所有线段中，$AB$是最短的，所以$AB\lt AC$。
已知$AB = 2$，则$AC\gt 2$。
在$\triangle ACD$中，因为$AC\perp CD$，同样根据垂线段最短可知，在从点$C$到直线$AD$的所有线段中，$AC$是最短的，所以$AC\lt AD$。
已知$AD = 3$，则$AC\lt 3$。
综合以上两个结论，可得$2\lt AC\lt 3$。
【答案】：C
在$\triangle ABC$中，因为$AB\perp BC$，根据垂线段最短可知，在从点$B$到直线$AC$的所有线段中，$AB$是最短的，所以$AB\lt AC$。
已知$AB = 2$，则$AC\gt 2$。
在$\triangle ACD$中，因为$AC\perp CD$，同样根据垂线段最短可知，在从点$C$到直线$AD$的所有线段中，$AC$是最短的，所以$AC\lt AD$。
已知$AD = 3$，则$AC\lt 3$。
综合以上两个结论，可得$2\lt AC\lt 3$。
【答案】：C
【变式4】如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 3,BC= 4,AB= 5,P为直线AB上一动点,连接PC,则PC长的最小值是(
A.3
B.2.5
C.2.4
D.2
C
)A.3
B.2.5
C.2.4
D.2
答案：C
解析：
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5。当P为直线AB上一动点时，PC长的最小值为点C到直线AB的距离。
根据三角形面积公式，S△ABC=$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×AB×PC。
代入数值：$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×5×PC，解得PC=$\frac{12}{5}$=2.4。
C
根据三角形面积公式，S△ABC=$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×AB×PC。
代入数值：$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×5×PC，解得PC=$\frac{12}{5}$=2.4。
C