典例1 若点M,N在数轴上表示的数分别是a,b,且$|a|= 2$,$|b|= 3$,则点M,N之间的距离为(
A.1或3
B.3或5
C.1或5
D.1或-5
C
)A.1或3
B.3或5
C.1或5
D.1或-5
答案：【解析】：
本题主要考察绝对值的定义和数轴上两点间的距离计算。
首先，根据绝对值的定义，有$|a|= 2$，则$a$的可能取值为$2$或$-2$；
同样，$|b|= 3$，则$b$的可能取值为$3$或$-3$。
接下来，我们需要分类讨论$a$和$b$的不同取值组合下，点$M$和$N$在数轴上的位置，并计算它们之间的距离。
当$a= 2$，$b= 3$时，点$M$，$N$都在原点右侧，距离为$3 - 2 = 1$。
当$a= 2$，$b= -3$时，点$M$在原点右侧，点$N$在原点左侧，距离为$2 + |-3| = 5$。
当$a= -2$，$b= 3$时，点$M$在原点左侧，点$N$在原点右侧，距离为$|-2| + 3 = 5$。
当$a= -2$，$b= -3$时，点$M$，$N$都在原点左侧，距离为$|-3| - |-2| = 1$。
综合以上四种情况，点$M$和$N$之间的距离可能为$1$或$5$。
【答案】：
C
本题主要考察绝对值的定义和数轴上两点间的距离计算。
首先，根据绝对值的定义，有$|a|= 2$，则$a$的可能取值为$2$或$-2$；
同样，$|b|= 3$，则$b$的可能取值为$3$或$-3$。
接下来，我们需要分类讨论$a$和$b$的不同取值组合下，点$M$和$N$在数轴上的位置，并计算它们之间的距离。
当$a= 2$，$b= 3$时，点$M$，$N$都在原点右侧，距离为$3 - 2 = 1$。
当$a= 2$，$b= -3$时，点$M$在原点右侧，点$N$在原点左侧，距离为$2 + |-3| = 5$。
当$a= -2$，$b= 3$时，点$M$在原点左侧，点$N$在原点右侧，距离为$|-2| + 3 = 5$。
当$a= -2$，$b= -3$时，点$M$，$N$都在原点左侧，距离为$|-3| - |-2| = 1$。
综合以上四种情况，点$M$和$N$之间的距离可能为$1$或$5$。
【答案】：
C
【变式1】已知$|2 - (-1)|$表示2与-1的差的绝对值,实际上可理解为在数轴上正数2对应的点与负数-1对应的点之间的距离,则$|x - 1| + |x + 1| + |x - 3|$的最小值为(
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案：B 解析：由题意，得|x-1|+|x+1|+|x-3|的几何意义是数轴上的点到表示1，-1和3 的点的距离之和，所以当x=1时，|x-1|+|x+1|+|x-3|取最小值，且最小值为4.
典例2 在数轴上,若点A和点B(点A在点B右侧)表示的数互为相反数,且这两点之间的距离是11,则A,B两点表示的数分别是
5.5
,-5.5
。答案：【解析】：
根据题目描述，点A和点B在数轴上表示的数互为相反数，且点A在点B的右侧。设点A表示的数为$x$，则点B表示的数为$-x$。
由于点A在点B的右侧，因此$x ＞ 0$。
题目还给出这两点之间的距离是11。在数轴上，两点之间的距离等于两点表示的数之差的绝对值，即$|x - (-x)| = |2x| = 2x$。
因此有$2x = 11$。
解这个方程，得到$x = 5.5$。
所以，点A表示的数是5.5，点B表示的数是$-5.5$。
【答案】：
5.5， -5.5
根据题目描述，点A和点B在数轴上表示的数互为相反数，且点A在点B的右侧。设点A表示的数为$x$，则点B表示的数为$-x$。
由于点A在点B的右侧，因此$x ＞ 0$。
题目还给出这两点之间的距离是11。在数轴上，两点之间的距离等于两点表示的数之差的绝对值，即$|x - (-x)| = |2x| = 2x$。
因此有$2x = 11$。
解这个方程，得到$x = 5.5$。
所以，点A表示的数是5.5，点B表示的数是$-5.5$。
【答案】：
5.5， -5.5
【变式2】在数轴上,有A,B,C三个不同的点,它们表示的数分别是a,b,c。已知a,b互为相反数,点A与点B之间的距离为6,点C与点B之间的距离是点C与点A之间的距离的3倍,则$c=$
±1.5或±6
。答案：±1.5或±6
解析：
因为a，b互为相反数，所以$b = -a$。
点A与点B之间的距离为6，即$|a - b| = 6$，将$b=-a$代入得$|a - (-a)| = |2a| = 6$，解得$a = 3$或$a=-3$。
当$a = 3$时，$b=-3$。点C与点B之间的距离是点C与点A之间的距离的3倍，即$|c - (-3)| = 3|c - 3|$。
情况一：$c + 3 = 3(c - 3)$，解得$c=6$；
情况二：$c + 3 = -3(c - 3)$，解得$c=\frac{3}{2}=1.5$。
当$a=-3$时，$b = 3$。点C与点B之间的距离是点C与点A之间的距离的3倍，即$|c - 3| = 3|c - (-3)|$。
情况三：$c - 3 = 3(c + 3)$，解得$c=-6$；
情况四：$c - 3 = -3(c + 3)$，解得$c=-\frac{3}{2}=-1.5$。
综上，$c = \pm1.5$或$\pm6$。
点A与点B之间的距离为6，即$|a - b| = 6$，将$b=-a$代入得$|a - (-a)| = |2a| = 6$，解得$a = 3$或$a=-3$。
当$a = 3$时，$b=-3$。点C与点B之间的距离是点C与点A之间的距离的3倍，即$|c - (-3)| = 3|c - 3|$。
情况一：$c + 3 = 3(c - 3)$，解得$c=6$；
情况二：$c + 3 = -3(c - 3)$，解得$c=\frac{3}{2}=1.5$。
当$a=-3$时，$b = 3$。点C与点B之间的距离是点C与点A之间的距离的3倍，即$|c - 3| = 3|c - (-3)|$。
情况三：$c - 3 = 3(c + 3)$，解得$c=-6$；
情况四：$c - 3 = -3(c + 3)$，解得$c=-\frac{3}{2}=-1.5$。
综上，$c = \pm1.5$或$\pm6$。