1. 数学文化 我国古代数学名著《九章算术》中写到“方自乘,以高乘之即积尺”,若一个底面是正方形的长方体容器的内部长、宽、高分别为$\frac {2}{3}$分米,$\frac {2}{3}$分米,$\frac {8}{5}$分米,则这个容器的容积是(
$\frac{32}{45}$
)升。答案：$\frac{32}{45}$ 提示:根据题意,用底面正方形的边长相乘,再乘高,就是容器的容积,即$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{8}{5}=\frac{32}{45}$(立方分米),$\frac{32}{45}$立方分米=$\frac{32}{45}$升。
解析：
$\frac{2}{3} × \frac{2}{3} × \frac{8}{5} = \frac{32}{45}$（立方分米），$\frac{32}{45}$立方分米$= \frac{32}{45}$升。
$\frac{32}{45}$
$\frac{32}{45}$
2. 人文历史 《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”大意是：一根木棍,第一天截取它的一半,以后每天截取剩下部分的一半,永远也截不完”。
照这样推算,第5次截取后剩下$\frac {1}{(
照这样推算,第5次截取后剩下$\frac {1}{(
32
)}$,第( 9
)次截取后还剩下$\frac {1}{512}$。答案：32 9 提示:第1次截取后剩下$\frac{1}{2}$,第2次截取后剩下$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$,第3次截取后剩下$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$……所以第5次截取后剩下$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{32}$,也就是5个$\frac{1}{2}$的积;因为9个$\frac{1}{2}$的积是$\frac{1}{512}$,所以第9次截取后剩下$\frac{1}{512}$。
解析：
第5次截取后剩下$\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$；设第$n$次截取后剩下$\frac{1}{512}$，则$\frac{1}{2^n}=\frac{1}{512}$，$2^n=512$，$n=9$。
32 9
32 9
3. 算理理解 来一起梳理我们学过的整数乘法、小数乘法和分数乘法吧！
$20×30$
$=(2×10)×(3×10)$
$=(2×3)×(10×10)$
$=6×100$
$=600$
$0.2×0.3$
$=(2×0.1)×(3×0.1)$
$=(2×3)×(0.1×0.1)$
$=6×0.01$
$=0.06$
$\frac {2}{5}×\frac {3}{5}$
(1)观察前两个算式,照样子算一算第三个算式。
(2)下面说法错误的是(
A. 乘法运算都可以用“计数单位个数×计数单位个数”得到新的计数单位的总个数
B. 乘法运算都可以用“计数单位×计数单位”得到新的计数单位
C. 当两个因数的计数单位不同时,以上规律不适用
(3)请你根据上面学到的知识,分别证明$\frac {2}{3}×9= \frac {9}{3}×2,\frac {3}{4}×\frac {2}{9}= \frac {2}{4}×\frac {3}{9}$,并写一写证明思路。
$20×30$
$=(2×10)×(3×10)$
$=(2×3)×(10×10)$
$=6×100$
$=600$
$0.2×0.3$
$=(2×0.1)×(3×0.1)$
$=(2×3)×(0.1×0.1)$
$=6×0.01$
$=0.06$
$\frac {2}{5}×\frac {3}{5}$
(1)观察前两个算式,照样子算一算第三个算式。
$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=(2×\frac{1}{5})×(3×\frac{1}{5})=(2×3)×(\frac{1}{5}×\frac{1}{5})=6×\frac{1}{25}=\frac{6}{25}$
(2)下面说法错误的是(
C
)。A. 乘法运算都可以用“计数单位个数×计数单位个数”得到新的计数单位的总个数
B. 乘法运算都可以用“计数单位×计数单位”得到新的计数单位
C. 当两个因数的计数单位不同时,以上规律不适用
(3)请你根据上面学到的知识,分别证明$\frac {2}{3}×9= \frac {9}{3}×2,\frac {3}{4}×\frac {2}{9}= \frac {2}{4}×\frac {3}{9}$,并写一写证明思路。
$\frac{2}{3}×9=(\frac{1}{3}×2)×9=(\frac{1}{3}×9)×2=\frac{9}{3}×2$ $\frac{3}{4}×\frac{2}{9}=(3×\frac{1}{4})×(2×\frac{1}{9})=(2×\frac{1}{4})×(3×\frac{1}{9})=\frac{2}{4}×\frac{3}{9}$ 提示:因为$\frac{2}{3}$中有2个$\frac{1}{3}$,所以可以把$\frac{2}{3}$写成$2×\frac{1}{3}$,再根据乘法运算律,将$\frac{1}{3}$与9结合先算,这两个数的积是$\frac{9}{3}$,故$\frac{2}{3}×9=\frac{9}{3}×2$。因为$\frac{3}{4}$中有3个$\frac{1}{4}$,$\frac{2}{9}$中有2个$\frac{1}{9}$,所以可以把$\frac{3}{4}$写成$3×\frac{1}{4}$,把$\frac{2}{9}$写成$2×\frac{1}{9}$,再根据乘法运算律,将2与$\frac{1}{4}$结合,3与$\frac{1}{9}$结合,它们的积分别是$\frac{2}{4}$和$\frac{3}{9}$,故$\frac{3}{4}×\frac{2}{9}=\frac{2}{4}×\frac{3}{9}$。
答案：
(1)$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=(2×\frac{1}{5})×(3×\frac{1}{5})=(2×3)×(\frac{1}{5}×\frac{1}{5})=6×\frac{1}{25}=\frac{6}{25}$ 提示:仿照范例,根据“计数单位个数×计数单位个数”写出计算过程即可。
(2)C 提示:当计数单位不同时,规律仍然适用,如:$20×0.3=(2×10)×(3×0.1)=(2×3)×(10×0.1)=6×1=6$。
(3)$\frac{2}{3}×9=(\frac{1}{3}×2)×9=(\frac{1}{3}×9)×2=\frac{9}{3}×2$ $\frac{3}{4}×\frac{2}{9}=(3×\frac{1}{4})×(2×\frac{1}{9})=(2×\frac{1}{4})×(3×\frac{1}{9})=\frac{2}{4}×\frac{3}{9}$ 提示:因为$\frac{2}{3}$中有2个$\frac{1}{3}$,所以可以把$\frac{2}{3}$写成$2×\frac{1}{3}$,再根据乘法运算律,将$\frac{1}{3}$与9结合先算,这两个数的积是$\frac{9}{3}$,故$\frac{2}{3}×9=\frac{9}{3}×2$。因为$\frac{3}{4}$中有3个$\frac{1}{4}$,$\frac{2}{9}$中有2个$\frac{1}{9}$,所以可以把$\frac{3}{4}$写成$3×\frac{1}{4}$,把$\frac{2}{9}$写成$2×\frac{1}{9}$,再根据乘法运算律,将2与$\frac{1}{4}$结合,3与$\frac{1}{9}$结合,它们的积分别是$\frac{2}{4}$和$\frac{3}{9}$,故$\frac{3}{4}×\frac{2}{9}=\frac{2}{4}×\frac{3}{9}$。
(1)$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=(2×\frac{1}{5})×(3×\frac{1}{5})=(2×3)×(\frac{1}{5}×\frac{1}{5})=6×\frac{1}{25}=\frac{6}{25}$ 提示:仿照范例,根据“计数单位个数×计数单位个数”写出计算过程即可。
(2)C 提示:当计数单位不同时,规律仍然适用,如:$20×0.3=(2×10)×(3×0.1)=(2×3)×(10×0.1)=6×1=6$。
(3)$\frac{2}{3}×9=(\frac{1}{3}×2)×9=(\frac{1}{3}×9)×2=\frac{9}{3}×2$ $\frac{3}{4}×\frac{2}{9}=(3×\frac{1}{4})×(2×\frac{1}{9})=(2×\frac{1}{4})×(3×\frac{1}{9})=\frac{2}{4}×\frac{3}{9}$ 提示:因为$\frac{2}{3}$中有2个$\frac{1}{3}$,所以可以把$\frac{2}{3}$写成$2×\frac{1}{3}$,再根据乘法运算律,将$\frac{1}{3}$与9结合先算,这两个数的积是$\frac{9}{3}$,故$\frac{2}{3}×9=\frac{9}{3}×2$。因为$\frac{3}{4}$中有3个$\frac{1}{4}$,$\frac{2}{9}$中有2个$\frac{1}{9}$,所以可以把$\frac{3}{4}$写成$3×\frac{1}{4}$,把$\frac{2}{9}$写成$2×\frac{1}{9}$,再根据乘法运算律,将2与$\frac{1}{4}$结合,3与$\frac{1}{9}$结合,它们的积分别是$\frac{2}{4}$和$\frac{3}{9}$,故$\frac{3}{4}×\frac{2}{9}=\frac{2}{4}×\frac{3}{9}$。