4. 推导探究 $\frac {4}{9}×\frac {3}{5}＜\frac {5}{□}$,□里最大能填几？下面是乐乐的分析。
①分析：$\frac {4}{9}×\frac {3}{5}= \frac {4}{15}$,即$\frac {4}{15}＜\frac {5}{□}$；
②将两个分数的分子变相同,则有$\frac {4}{15}= \frac {20}{75},\frac {5}{□}=\frac {20}{4×□}$；
③进而可知$\frac {20}{75}＜\frac {20}{4×□},75＞4×□$,所以□里最大填( )。
(1)将乐乐的分析过程补充完整。
(2)请你根据乐乐的方法,解决问题：$\frac {3}{8}×\frac {□}{9}＜\frac {5}{6}$,□里最大能填几？
①分析：$\frac {4}{9}×\frac {3}{5}= \frac {4}{15}$,即$\frac {4}{15}＜\frac {5}{□}$；
②将两个分数的分子变相同,则有$\frac {4}{15}= \frac {20}{75},\frac {5}{□}=\frac {20}{4×□}$；
③进而可知$\frac {20}{75}＜\frac {20}{4×□},75＞4×□$,所以□里最大填( )。
(1)将乐乐的分析过程补充完整。
(2)请你根据乐乐的方法,解决问题：$\frac {3}{8}×\frac {□}{9}＜\frac {5}{6}$,□里最大能填几？
答案：
(1)18
(2)$\frac{3}{8}×\frac{□}{9}=\frac{□}{24}＜\frac{5}{6}=\frac{20}{24}$ $□ ＜20$ 最大能填19 提示:$\frac{3}{8}×\frac{□}{9}=\frac{□}{24}$,$\frac{□}{24}＜\frac{5}{6}$,将两个分数的分母变相同,$\frac{5}{6}=\frac{20}{24}$。因为$\frac{3}{8}×\frac{□}{9}＜\frac{5}{6}$,所以$\frac{□}{24}＜\frac{20}{24}$,即$□ ＜20$,$□$里最大能填19。
(1)18
(2)$\frac{3}{8}×\frac{□}{9}=\frac{□}{24}＜\frac{5}{6}=\frac{20}{24}$ $□ ＜20$ 最大能填19 提示:$\frac{3}{8}×\frac{□}{9}=\frac{□}{24}$,$\frac{□}{24}＜\frac{5}{6}$,将两个分数的分母变相同,$\frac{5}{6}=\frac{20}{24}$。因为$\frac{3}{8}×\frac{□}{9}＜\frac{5}{6}$,所以$\frac{□}{24}＜\frac{20}{24}$,即$□ ＜20$,$□$里最大能填19。
5. 数感 三个不同质数的倒数的和是$\frac {71}{105}$,这三个质数分别是多少？
答案：$105=3×5×7$ $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=\frac{71}{105}$ 这三个质数分别是3、5、7。提示:因为三个不同的质数的倒数相加,通分后分母是这三个质数相乘的积,由于$105=3×5×7$,且$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=\frac{35}{105}+\frac{21}{105}+\frac{15}{105}=\frac{71}{105}$,所以这三个质数分别是3、5、7。
解析：
因为三个不同质数的倒数相加，通分后分母是这三个质数的乘积，已知和的分母为105，将105分解质因数可得$105 = 3×5×7$。
计算这三个质数的倒数之和：$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7}$
通分计算：$\frac{35}{105} + \frac{21}{105} + \frac{15}{105} = \frac{35 + 21 + 15}{105} = \frac{71}{105}$，与已知条件相符。
这三个质数分别是3、5、7。
计算这三个质数的倒数之和：$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7}$
通分计算：$\frac{35}{105} + \frac{21}{105} + \frac{15}{105} = \frac{35 + 21 + 15}{105} = \frac{71}{105}$，与已知条件相符。
这三个质数分别是3、5、7。
6. (1)已知$A= \frac {1}{8},B= \frac {1}{8^{2}}+\frac {1}{9^{2}}+\frac {1}{10^{2}}+... +\frac {1}{64^{2}}$,请比较A和B的大小。
(2)$A= \frac {1}{2}×\frac {3}{4}×\frac {5}{6}×... ×\frac {97}{98}×\frac {99}{100},B= \frac {2}{3}×\frac {4}{5}×\frac {6}{7}×... ×\frac {96}{97}×\frac {98}{99},C= \frac {1}{10}$,请比较A、B、C三个数的大小。
(2)$A= \frac {1}{2}×\frac {3}{4}×\frac {5}{6}×... ×\frac {97}{98}×\frac {99}{100},B= \frac {2}{3}×\frac {4}{5}×\frac {6}{7}×... ×\frac {96}{97}×\frac {98}{99},C= \frac {1}{10}$,请比较A、B、C三个数的大小。
答案：
(1)$A＞B$ 提示:$B＜\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{8×9}+\frac{1}{9×10}+…+\frac{1}{63×64}=\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+…+\frac{1}{63}-\frac{1}{64}=\frac{1}{8}$,所以$A＞B$。
(2)$A＜C＜B$ 提示:注意到$A×B=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}×…×\frac{97}{98}×\frac{98}{99}×\frac{99}{100}=\frac{1}{100}$,且$A=\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{5}{6}×…×\frac{99}{100}＜\frac{2}{3}×\frac{4}{5}×\frac{6}{7}×…×\frac{98}{99}×\frac{100}{101}=B$,所以$A^{2}＜A×B=\frac{1}{100}$,即$A＜\frac{1}{10}$;同理,$B^{2}＞A×B=\frac{1}{100}$,即$B＞\frac{1}{10}$。综上,$A＜C＜B$。
(1)$A＞B$ 提示:$B＜\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{8×9}+\frac{1}{9×10}+…+\frac{1}{63×64}=\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+…+\frac{1}{63}-\frac{1}{64}=\frac{1}{8}$,所以$A＞B$。
(2)$A＜C＜B$ 提示:注意到$A×B=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}×…×\frac{97}{98}×\frac{98}{99}×\frac{99}{100}=\frac{1}{100}$,且$A=\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{5}{6}×…×\frac{99}{100}＜\frac{2}{3}×\frac{4}{5}×\frac{6}{7}×…×\frac{98}{99}×\frac{100}{101}=B$,所以$A^{2}＜A×B=\frac{1}{100}$,即$A＜\frac{1}{10}$;同理,$B^{2}＞A×B=\frac{1}{100}$,即$B＞\frac{1}{10}$。综上,$A＜C＜B$。